2016年福建省综合质检理科数学答案

2016年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难
度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． （13）0.3 （14）3- （15
）5- （16）
26
3
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分． 解法一：
（Ⅰ）因为BCD S △
即1
sin 2
BC BD B ⋅⋅= ·
····················· 2分 又因为3
B π
=
,1BD =，所以4BC = ． ················································· 3分 在△BDC 中,由余弦定理得，2
2
2
2cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅, ··········· 5分 即2
1
161241132
CD =+-⨯⨯⨯
=
，解得CD =． ·
····························· 6分 （Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，
又AC =sin 2sin AC CD
θθ
=， ······································ 7分
所以2cos CD θ
=
． ·········································································· 8分
在△BDC 中, 22,23
BDC BCD θθπ
∠=∠=
-， 由正弦定理得，sin sin CD BD
B BCD =∠
，即12cos 2sin sin(2)33
θθ=ππ-， ··········· 10分
化简得2cos sin(2)3
θθπ
=-， 于是2sin()sin(2)23θθππ
-=-． ·
······················································· 11分 因为02θπ<<，所以220,222333
θθπππππ
<-<-<-<
， 所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π,
解得==618θθππ或，故=618
DCA DCA ππ
∠∠=或． ······························ 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为DA DC =， 所以A DCA ∠=∠． 取AC 中点E ，连结DE ，
所以DE AC ⊥． ··············································································· 7分 设DCA A θ∠=∠=，
因为AC =
2
EA EC ==． 在Rt △CDE
中，cos CE CD DCA =
=∠ ····································· 8分
以下同解法一．
（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=，
由余弦定理得，222
11112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，
∴1AB =，…………………………………………1分
∴222
11BB AB AB =+，
∴1AB AB ⊥．………………………………………2分 又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =， ∴AC AB ⊥， 又∵1AC
AB A =，
∴AB ⊥平面1AB C ． ········································································· 4分 又∵1B C ⊂平面1AB C ，
∴AB ⊥1B C ．·················································································· 5分
（Ⅱ）∵11
1,2AB AB AC BC ====，
1
B
∴2
2
2
11
B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． ················································ 6分
如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， ······································································································ 7分 则(
)(()()1000,0,100010A B B C ，，0，，，，，，
∴()
()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-． ···················································· 8分 设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，
由10,0,BB BC ⎧⋅=
⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-=⎪⎨
-+=⎪
⎩令1z =，得
x y ==
∴平面1BCB 的一个法向量为)
=
n ． ……………………9分
∵()((1
1
1
0,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-
=-，
……………………………………………………………………………10分
∴111cos ,35||||AC AC AC ⋅<>=
=
=n n n ，….……………11分 ∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为35
． ······································ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）过点A 作AH ⊥平面1BCB ，垂足为H ，连结1HC ，
则1AC H ∠为1AC 与平面1BCB 所成的角． ·····································
········· 6分 由（Ⅰ） 知，1AB AB ⊥，1AB =1AB AC ==，12B C =，
∴222
11AB AC B C +=，∴1AB AC ⊥，
又∵AB
AC A =，∴1AB ⊥平面ABC ， ·
·······························
············ 7分 ∴1111113326
B AB
C ABC V S AB AB AC AB -=
⋅=⨯⨯⨯⨯=△． ······················· 8分 取BC 中点P ，连结1PB ，∵112BB B C
==，∴1PB BC ⊥．
又在Rt ABC △中，1AB AC ==
，∴BC
=
2
BP =
， ∴
12
PB ===， ∴1112B BC S BC B P =
⨯=△． ···························································· 9分
1
1
∵11A BCB B ABC V V --=，
∴
1136BCB S AH ⋅=△
，即13AH =
7
AH =． ············ 10分 ∵1AB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AB BC ⊥， 三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，112B C BC ==， ∴111AB B C ⊥
，∴1AC =
= ·
··································· 11分 在1Rt AHC △
中，11sin AH AC H AC ∠===
所以1AC 与平面1BCB
所成的角的正弦值为
35
． ································ 12分 （19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ，
则2
20210019
()495
C P M C ==． ····································································· 4分
（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 当38a =时，384152X =⨯=； 当39a =时，394156X =⨯=； 当40a =时，404160X =⨯=； 当41a =时，40416166X =⨯+⨯=； 当42a =时，40426172X =⨯+⨯=．
所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． ······································· 6分 故X 的分布列为：
······································································································ 8分
11121
()1521561601661721621055510
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=所以． ·
····· 9分 （ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为
380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ·
············ 10分
所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+⨯=元． ·························· 11分 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．
因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘． ········································· 12分
（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：(Ⅰ)将2
p x =
代入2
2y px =，得y p =±，所以2ST p =， ··················· 1分 又因为90SPT ∠=，所以△SPT 是等腰直角三角形， 所以SF PF =，即32
p p =-， 解得2p =，
所以抛物线2
:4E y x
=，…………………………………………3分
此时圆P =
所以圆P 的方程为()2
2
38x y -+=． ···························································· 4分
(Ⅱ)设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，
依题意()2
2
0038x y -+=，即2200061y x x =-+-． ·········································
·· 5分
（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，()
3M ±， ①当3x
=+2
4y x =，得()
2y =±
．
不妨设()()
32,32A B ++-， 则1,1,1,AF BF AF BF k k k k ==-=-
即AF BF ⊥．
②当3x =-AF BF ⊥．………………….6分 （ⅱ）当直线l 斜率存在时，因为直线l 与抛物线E 交于,A B 两点，
所以直线l 斜率不为零，01x ≠且00y ≠． 因为l MF ⊥，所以1l MF k k =-，
所以00
1l x k y -=，…………………………………………………..7分
直线()0
000
1:x l y x x y y -=
-+．
由()20
0004,1y x x y x x y y ⎧=⎪-⎨=-+⎪⎩
得，22
2
0000004444011y x y x y y x x +--+=-- ， ················ 8分 即2
00004204011y x y y x x --
+=--，所以00121200
4204
,11y x y y y y x x -+==--， ············· 9分 所以()()121211FA FB x x y y ⋅=--+=22
12121144y y y y ⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
·
······················ 10分 ()()()2
22
22
12
12121212123
1116
41642y y y y y y y y y y y y ++=-++=-++
()()
()
2
200
02
2
0005143061111x y x x x x --=-
++---()()()()()2
2
2
0000020514165111x y x x x x --+-+--=- ()
22
000
2
0244441x x y x ---=
-()
()
220002
046101x y x x -+-+=
=-，
所以AF BF ⊥． ··················································································· 12分 解法二：(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ)设()00,M x y ，依题意()2
2
0038x y -+=，即2200061y x x =-+-， （*） ······ 5分
设()22121212,,,44y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2
2
2100211,,,4y y FM x y AB y y ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，
2212010020,,,44y y MA x y y MB x y y ⎛⎫⎛⎫
=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ·
······································· 6分 由于FM AB ⊥，//MA MB ，
所以()()()()22
21002122
1202001010,40.44y y x y y y y y x y y x y y ⎧--+-=⎪
⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-----= ⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎩ ································ 7分 注意到12y y ≠，()()()
()()
1200120120140,140.
2y y x y y y y y y x +-+=⎧⎪⎨
-++=⎪⎩ ························ 8分 由（1）知，若01x =，则00y =，此时不满足（*），故010x -≠，
从而（1），（2）可化为00121200
4204
,11y x y y y y x x -+==--． ························· 9分 以下同解法一.
（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分
12分．
解法一：（Ⅰ）因为()()1
11
f x a x x '=-
>-+，()e 1x g x '=-， ·
··························· 2分 依题意，()()00f g ''=，解得1a =， ························································ 3分 所以()111f x x '=-
+1
x
x =
+，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>． 故()f x 的单调递减区间为()1,0-， 单调递增区间为()0,+∞． ···················· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．
所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111
x k k
F x k x k x x '=+
-+++-+++≥， ·
···································· 6分 （ⅰ）当1k =时，因为0x ≥，所以()1
1201
F x x x '++
-+≥≥（当且仅当0x =时等号成立）
， 此时()F x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······ 7分 （ⅱ）当1k <时，由于()0f x ≥，所以()()f x kf x ≥． ································ 8分 由（ⅰ）知()()0g x f x -≥，所以()()()g x f x kf x ≥≥，故()0F x ≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分
（ⅲ）当1k >时， 令()()e 11x k
h x k x =+
-++，则()()
2
e 1x k h x x '=-+，
显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，又())
1
010,110h k h ''
=-<=->，
所以()h x '在()
1-上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '<所以()h x 在[)00,x 上单调递减， 从而()()00h x h <=，即()0,F x '<所以()F x 在[)00,x 上单调递减，
从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．·········· 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．
所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+
-+++-+++≥()11
x
x k x =+-+， ·
·············· 6分
（ⅰ）当1k ≤时，()0F x '≥在[)0,+∞恒成立，所以()F x 在[)0,+∞单调递增． 所以()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ··················································· 9分 （ⅱ）当1k >时，由（Ⅰ）知，当1x >-时，e
1x
x +≥
（当且仅当0x =时等号成立）
， 所以当01x <<时，e
1x
x ->-+，1
e 1x x
<
-． 所以1()e 1(1)e 111
x
x kx F x k x x '=---=--
++ 1111kx x x <
---+11
x kx
x x =--+()2
1
1()11k k x x k x -+-
+=-． ··············· 10分
于是当101k x k -<<
+时，()0,F x '<所以()F x 在10,1k k -⎡⎫
⎪⎢+⎣⎭
上单调递减.
故当1
01
k x k -<<
+时，()(0)0F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ······ 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分 解法三：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）（ⅰ）当0k ≤时，由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0． 所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥，即()0g x ≥．
所以()0kf x ≤，()0g x ≥，()()g x kf x ≥． ················································ 6分 （ⅱ）当0k >时，
设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()e 11
x k
F x k x '=+-++， 令()()h x F x '=，则()()
2
=e 1x k
h x x '-
+．
显然()h x '在[)0,+∞上单调递增． ·························································· 7分 ①当01k <≤时，()()'010h x h k '=-≥≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h =≥； 故()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分 ②当1k >时，由于(
)
)
1
'010,'
110h k h =-<=->，
所以()h x '
在()
1-上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '< ()h x 单调递减，
从而()()00h x h <=，即()0,F x '<()F x 在[)00,x 上单调递减，
从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．·········· 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分
请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作
答时请写清题号．
（22）选修41-：几何证明选讲
本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．
解法一：（Ⅰ）连结DE ，因为,,,D C E G 四点共圆，则ADE ACG ∠=∠． ········· 2分 又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线， 所以点,D E 分别是,BC AC 的中点，故DE
AB ． ·
··········································· 3分 所以BAD ADE ∠=∠， ················································································ 4分 从而BAD ACG ∠=∠． ················································································ 5分 （Ⅱ）因为G 为AD 与BE 的交点，
故G 为△ABC 的重心，延长CG 交AB 于F ，
则F 为AB 的中点，且2CG GF =． ······························································· 6分 在△AFC 与△GFA 中，因为FAG FCA ∠=∠，AFG CFA ∠=∠，
所以△AFG ∽△CFA ， ······································································· 7分 所以
FA FG
FC FA
=
，即2FA FG FC =⋅．………………………………………………………9分 因为12FA AB =，12FG GC =，3
2
FC GC =， 所以
2213
44
AB GC =
，即AB =， 又1GC =
，所以AB =． ········································································ 10分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ······································································· 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，BAD ACG ∠=∠，
因为,,,D C E G 四点共圆，所以ADB CEG ∠=∠， ·········································· 6分
所以ABD △∽CGE △，所以
AB AD
CG CE
=， ……………………………………………7分 由割线定理，AG AD AE AC ⋅=⋅， ······························································ 9分
又因为,AD BE 是ABC △的中线，所以G 是ABC △的重心， 所以2
3AG AD =
,又=2=2AC AE EC ， 所以22
2=23AD EC
，所以
AD CE
= F
A
B
C
D
E
G。