人教课标版高中数学选修4-5：《排序不等式》教案2-新版

排序不等式
教学目标：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运
用经典不等式的一般方法.
教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程： 一、引入：
1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ，25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元。

在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
分析： 二、排序不等式：
1、基本概念：
一般地，设有两组数：1a ≤2a ≤3a ，1b ≤2b ≤3b ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：
根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论： 同序和332211b a b a b a ++最大，反序和132231b a b a b a ++最小。

2、对引例的验证：
3、类似的问题：
5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。

那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
4、排序不等式的一般情形：
一般地，设有两组实数：1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b ，且它们满足：
1a ≤2a ≤3a ≤…≤n a ，1b ≤2b ≤3b ≤…≤n b ，
若1c ，2c ，3c ，…，n c 是1b ，2b ，3b ，…，n b 的任意一个排列，则和数n n c a c a c a +++ 2211在1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b 同序时最大，反序时最小，即：
112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n +++≥+++≥+++- ， 等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时成立。

分析：用逐步调整法（详见书本P42） 三、典型例题：
例1、有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第(1,2,
,10)i i =个人的水桶需要i t 分，
假设这些i t 各不相同。

问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
分析：关键是正确建立数学模型，即抓住问题中的关键词“等候的总时间”，把它数量化表示为129101092t t t t ++
++，我们可以把问题叙述为“1210,,,t t t 满足什么条件时，
129101092t t t t ++++取最小值？”可以让学生先考虑下面这样的简单问题：
有甲乙丙3个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这3个人的水桶需要的时间分别是1分钟，2分钟，3分钟。

那么如何安排这3个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
解答见书本P44
例2、设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：
321222
111
12323n a a a a n n
+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？
证明：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥. 又222
111
123n >>>⋅⋅⋅>
，由排序不等式，得 3322112222222323n n a a b b a b a b n n
+
++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列.
例3、已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，
于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.
例4、已知c b a ,,为正数，求证：
abc c
b a a
c c b b a ≥++++2
22222 解：不防设c b a ≤≤，则bc ac ab ≤≤，
c
b a 111≥≥
由排序不等式得b
bc c ac a ab a bc b ac c ab 1
11111⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅
即
c b a abc
a c c
b b a ++≥++2
22222，所以原不等式成立。

四、课堂小结：
排序不等式的基本形式.. 五、课后作业：
P45 习题3。

3 1，3，4。