近世代数复习提纲

近世代数复习提纲

群论部分

一、基本概念

1、群的定义（四个等价定义）

2、基本性质

（1）单位元的唯一性；

（2）逆元的唯一性；

（3） ( ab) 1 b 1a 1 ,(a 1 ) 1 a ；

（4）ab ac b c ；

（5）ax b x a 1b ；ya b y ba 1。

3、元素的阶

使a m e成立的最小正整数m叫做元素a的阶，记作| a | m；若这样的正整数不存在，则称 a 的阶是无限的，记作| a |。

（1）| a | | a1 | , | a | | g 1ag | ( g G) 。

（2）若a m e，则

① | a | m ；

② | a | m由 a n e可得m | n。

（3）当群G是有限群时，a G ，有 | a |且 | a ||G|。

（4）| a | n| a r |n

，其中 d(r ,n) 。

d

n r

e，所以k

n

。

证明设 | a r | | k 。因为 (a r ) d(a n ) d

d

另一方面，因为 (a r ) k a rk e ，所以 n rk ，从而n r

k ，又 (

r

,

n

) 1，d d d d

所以n

k ，故 k n 。

d d

注：1

| ab | | a || b |，但若

ab ba

，且

|( ,||a)| 1 b

，则有（P70.3）。

| ab | | a || b |

2 |G| a G , | a |；但 a G , | a ||G |。

例 1令 G{ a C | n Z ,a n1} ，则G关于普通乘法作成群。显然， 1是 G 的单位元，所以 a G ，有 | a |，但|G|。

二、群的几种基本类型

1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。

2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。

3、变换群：集合A上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合 A 上的变换群。

（1）变换群的单位元是 A 的恒等变换。

（2）A的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成 A 上最大的变换群。

（3）一般地，变换群不是交换群。

（4）任一个群都与一个变换群同构。

4、置换群：有限集合 A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置

换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。

例 2 设(123) ,(13)(24) 是S5中元素，求。

解

1234512 345123 4 512 345 (123)(13)(24)

3214 5143 2 5

(142) 2314 5413 25

（1） n 元集合A的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作 S n。

（2）|

S n | ! 。n

（3）每个 n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。

（4） (i1i 2i k ) 1(i k i2 i1 ) 。

（5）任一有限群都与一个置换群同构。

5、循环群：若群G中存在元素 a ，使得 G (a) { a n | n Z} ，则称G是循环群。

（1）循环群是交换群（ P61.1）。

（2）素数阶群是循环群（ P70.1）。

（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。

（4）当| G |时，G Z G { , a 2 , a 1 , e a0 , a , a2 , } ；

当 | G | n 时，G Z n G { e a0 , a , a2 ,, a n 1} 。

（5）| G | | a |

（6）当| G |时，G有且仅有两个生成元a , a 1；

当 | G | n 时， G 有且仅有(n) 个生成元，这里(n) 表示小于n且与

n 互素的正整数个数。且当(m , n)1时， a m是 G 的生成元。

（7）若G与 G 同态，则

1G 也是循环群；

2当(a) a 时， G(a) ；

3G 的阶整除G的阶。

例3（ P79、 3）

三、子群

1、定义：设H是群G的非空子集，若H关于G的于是也构成群，则称H是G的

子群，记作 H G 。

2、等价条件

（ 1）群G的非空子集H是子群 a , b H ，有ab , a 1H

a ,

b H ，有 ab 1H

（ 2）群G的非空有限子集H是子群 a , b H ，有 ab H 。

3、运算

（1）若 H1 ,H 2G，则 H1H 2G （可推广到任意多个情形）。

（2）若 H1,H 2G，则 H1H 2未必是G的子群。

（3）若 H1,H 2G ，则 H 1H 2 { h1 h2 | h1 H1 , h2 H 2 } 未必是G的子群。

（4）若 H1,H 2G，则 H1H2不是G的子群。

4、陪集

设 H G ，则 G 的子集 aH { ah | h H } 叫做 H 的包含a的左陪集； G 的子集 Ha { ha | h H } 叫做 H 的包含a的右陪集。

（1）一般地，aH Ha 。

（2）aH bH b 1 a H ； Ha Hb ab 1H ； aH ( Ha) H a H 。

（3）aH ( Ha )G a H 。

（4）aH bH (Ha Hb )( aH ) (bH )[( Ha) ( Hb)] 。

（5）{ aH | a G} 是 G 的一个分类， { Ha | a G} 也是 G 的一个分类。即

G aH ，且( aH )(bH )（当aH bH 时）

a G

或

G Ha ，且( Ha )( Hb)（当Ha Hb 时）

a G

5、指数：

群 G 的子群 H 的左陪集（右陪集）个数叫做H 的指数，记作 [G : H ] 。

当|G|时，有|G| |H |[G:H]。

6、不变子群

设 H 是群 G 的子群，若 a G ，都有 aH Ha ，则称 H 是 G 的不变子群，记作H G。

群 G 的子群 H 是不变子群 a G ，有 a 1 Ha H

a G ,h H ，有 a 1ha H 。

例4（ P74、 1）

例5（ P74、 3）

1? 不变子群的交是不变子群。

2? 交换群的子群是不变子群。

3? 群G的中心C (G ){ a G | x G , xa ax} 是 G 的不变子群。