32二维离散型随机变量的分布律及性质

P { X x , Y y }p i j ij P { X x Y y } ,i 1 , 2 , (2.4) i j P { Y y } p j j
易知，上述条件概率满足概率分布的性质
(1) P { X x y } 0 , i 1 , 2 , iY j
(2)
p 1 j p 1 i j p p i 1 p 1 j j i j

p i j
P { X x } 0 同理，设 p ，则可得到在 X xi i i 时随机变量 Y的条件概率分布为：
P { X x , Y y } p i j i j P { Y y X x } ,j 1 , 2 ,( 2 . 5 ) j i P { X x } p i i
{ X x , Y y } P { X x } P { Y y } 即P (2.7) i j i j
例4
X ,Y
相互独立，填如下表3-8空白处的值
解：
例5 设 X 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的 Y 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么， 次数， 二维随机变量 ( X ,Y ) 概率分布如表3-9所示.问随机 变量 X与Y 是不是相互独立？
且
(1) P { Y y x } 0 ,j 1 , 2 , jX i
(2)

p 1 i p 1 ij p p i i i i j 1p 1 p ij


i 1 , 2 , ,
例3 设二维离散形随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布如表3-7, 1时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 求 Y 条件概率分布。
解：
四、 独立性
下面借助于随机事件的相互独立性，引入随机 变量的相互独立性的概念，已知任二事件 A, B ( AB ) P ( A ) P ( B ) 相互独立的充分必要条件是: P , 从而有如下定义
F(x, y)
( X ,Y )
FX ( x) FY ( y)
x, y
P { X x , Y y } P { X x } P { Y y } )F F(x, y) F X (x Y (y)
§2
二维离散型随机变量的分 布律及性质
一、 二维离散型随机变量的联合概率分布 定义 若二维随机变量 ( X ,Y ) 的可能取值的 全体为有限或可数多个数组，则称 ( X ,Y ) 为 二维离散型随机变量．
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象一维离散型分布那样，可以用一个概率分布来表达 二维离散型分布．设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 可能 的取值为 ( xi , y j ) , i ,j 1 , 2 , ,
解：
解：
二、 二维离散型随机变量的边缘概率分布
二维随机变量 ( X ,Y ) 作为一个整体，具有分 布函数 F(x, y) ,而 X 和 Y 都是随机变量，也分别具 FY ( y) ．依次称为二维 有分布函数，记之为 F (x) ， 随机变量 ( X ,Y ) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数．边 缘分布函数可以由 ( X ,Y )的分布函数 F(x, y) 所确定， F ( x ){} P X x P {, X x Y } F ( x , ) 事实上 X F ( x ) F ( x , ) 即 （2.2） X Fy ( ) F ( ,y ) 同理 （2.3） Y 对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2） 可得： F ( x ) F ( x , ) p
X
X
x xj 1 i

ij
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，它的概率分 { X x } P {( X x ( Y y 布如表3-1所示，那么 P i i) j)}
j 1
P { X x , Y y } P { X x , Y y ) P { X x , Y y } i 1 i 2 i j pp p p ( i 1 , 2 ,) i 1 i 2 i j i j
j

X
j
p ij
pi.
Y
p j 1 , 2 , ) j p ij (
i

例2 设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布如 表3-5,求关于 X 及关于 Y 的边缘概率分布.
解：
三、 二维离散型随机变量的条件概率分布 对二维随机的变量 ，我们考虑在其中一个变 B 前面第一章讨论过事件的条件概率．在事件 发 P (AB ) 量 P ( A B ) 生的条件下事件A 发生的条件概率为 P (B ) 取固定值的条件下，另一个变量的概率分布．这样 (B ) 0 这里 P 得到的 或 的概率分布叫条件分布． ( X ,Y )
{ X x , Y y } p , j 1 , 2 , , 记P i j ij , i 则 ( X ,Y)的联合概率分布律（简称分布律）也可用 如下表3-1表示： p 1 , p 1 . 其中：0
ij ij i j
对二维离散型随机变量，由图3-1知离散型随机变 量 X 和 Y的联合分布函数为：
X和Y
X和Y是相互独立的条 当( X ,Y ) 为离散型随机变量时， 件（2.6）式等价于：对于 ( X ,Y ) 的所有可能取值 ( xi , y j ) 有 p p p ( i ,j 1 , 2 , ) ij i j
反之，若存在 i0 , j 0 ; p i j i p j 使得 p 0 0 0 0 ， 则称 X与Y 不独立．
解：
例6 证明 离散型随机变量 X与Y 独立的充分必要条 件是：对实数轴上的任意两个点集
S { x , x , , x , }, S { y , y , , y , }, 1 1 2 n 2 1 2 m
{ X S , Y S } P { X S } P { Y S } 有 P （2.8） 1 2 1 2 成立．
F ( x ,) y P { X x , Y y } p i j i j
x x yy i j x x yy i j
(2.1)
例 1 一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这 袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球. X 设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同．以 Y 分别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求 、 ( X ,Y ) 的概率分布．
X
Y
P { Y y 0 对二维离散型随机变量( X ,Y ) ,设 p ,考 j j} 虑在随机变量 Y 取得可能值 y j 的条件下，随机变量 X取它的任一可能值 x i 的条件概率
P { X x y }, i 1 , 2 , iY j
由上述随机事件的条件概率公式可得：