2021版新高考数学：等差数列及其前n项和含答案

(对应学生用书第103页)
考点1等差数列基本量的运算
解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )
A ．23
B ．32
C ．35
D ．38
C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×8
2×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]
确定等差数列的关键是求出两个
最基本的量，即首项a 1和公差d .
考点2 等差数列的判定与证明
等差数列的4个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.
2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．
(1)证明：a n＋2－a n＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．
[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n
＋1(a n
＋2
－a n)＝λa n＋1，
由于a n
＋1
≠0，
所以a n
＋2
－a n＝λ.
(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，
可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，
解得λ＝4.
故a n
＋2
－a n＝4，
由此可得{a2n
－1
}是首项为1，
公差为4的等差数列，a2n
－1
＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，
因此存在λ＝4，
使得数列{a n}为等差数列．
考点3等差数列的性质及应用
B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，
则m ＝20.故选B.]
2．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有Sn Tn ＝2n －34n －3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11
的值为( ) A ．2945 B ．1329 C ．919 D ．1930
C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，
∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919
.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值
问题
求等差数列前n 项和S n 最值的2
种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧am≥0，am ＋1≤0
的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧am≤0，am ＋1≥0
的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。