最新-2021版高考数学理培优增分一轮全国经典版课件：第7章 立体几何73a 精品

(3)因为 E 是 PC 的中点，所以 E 到平面 ABC 的距离为21
PA＝1，
VA－EBC＝VE－ABC＝13×12×2×
3×1＝
3 3.
5．[2018·邯郸一中模拟]已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧 棱长和底面边长均为 2，A1 在底面 ABC 内的射影 O 为底面 △ABC 的中心，如图所示．
板块四 模拟演练·提能增分
[A 级 基础达标]
1．[2018·济宁模拟]直线 l1，l2 平行的一个充分条件是 ()
A．l1，l2 都平行于同一个平面 B．l1，l2 与同一个平面所成的角相等 C．l1 平行于 l2 所在的平面 D．l1，l2 都垂直于同一个平面
解析 对 A，当 l1，l2 都平行于同一个平面时，l1 与 l2 可能平行、相交或异面；对 B，当 l1，l2 与同一个平面所成 角相等时，l1 与 l2 可能平行、相交或异面；对 C，l1 与 l2 可 能平行，也可能异面，只有 D 满足要求．故选 D.
10．[2018·许昌模拟]如下图，G，H，M，N 分别是正 三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异 面直线的图形有___②__④___．
解析 ①中 HG∥MN；③中 GM∥HN 且 GM≠HN， 所以直线 HG 与 MN 必相交．
[B 级 知能提升] 1．[2018·泉州模拟]设 a，b 是互不垂直的两条异面直线， 则下列命题成立的是( ) A．存在唯一直线 l，使得 l⊥a，且 l⊥b B．存在唯一直线 l，使得 l∥a，且 l⊥b C．存在唯一平面 α，使得 a⊂α，且 b∥α D．存在唯一平面 α，使得 a⊂α，且 b⊥α
9．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别 为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，
①GH 与 EF 平行； ②BD 与 MN 为异面直线； ③GH 与 MN 成 60°角； ④DE 与 MN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是_②__③__④___．
解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN 成 60°角，DE⊥MN.
①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相 交；
②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直； ③若 a∥b，则必有 a∥c； ④若 a⊥b，a⊥c，则必有 α⊥β. 其中正确的命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ①中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中 的一条相交，故①正确；②中平面 α⊥平面 β 时，若 b⊥c， 则 b⊥平面 α，此时不论 a，c 是否垂直，均有 a⊥b，故② 错误；③中当 a∥b 时，则 a∥平面 β，由线面平行的性质定 理可得 a∥c，故③正确；④中若 b∥c，则 a⊥b，a⊥c 时， a 与平面 β 不一定垂直，此时平面 α 与平面 β 也不一定垂直， 故④错误，所以正确命题的个数是 2.故选 C.
A．点 A B．点 B C．点 C 但不过点 M D．点 C 和点 M
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又 α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理 3 可知，M 在 γ 与 β 的交线上．同理可知，点 C 也在 γ 与 β 的交线上．故选 D.
6．[2018·大连模拟]已知 a，b，c 为三条不同的直线， 且 a⊂平面 α，b⊂平面 β，α∩β＝c.
3．已知 a，b，c 为三条不重合的直线，已知下列结论： ①若 a⊥b，a⊥c，则 b∥c；②若 a⊥b，a⊥c，则 b⊥c；③ 若 a∥b，b⊥c，则 a⊥c.其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 解法一：在空间中，若 a⊥b，a⊥c，则 b，c 可 能平行，也可能相交，还可能异面，并且相交或异面时不一 定垂直，所以①②错，③显然成立．
2．[2018·太原期末]已知平面 α 和直线 l，则 α 内至少 有一条直线与 l( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
解析 直线 l 与平面 α 斜交时，在平面 α 内不存在与 l 平行的直线，∴A 错误；l⊂α 时，在平面 α 内不存在与 l 异面的直线，∴D 错误；l∥α 时，在平面 α 内不存在与 l 相交的直线，∴B 错误．无论哪种情形在平面 α 内都有无数 条直线与 l 垂直．故选 C.
A1－BCC1
A1－BCC1B1
3
2 .
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
下课
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解析 如图所示，取 BC 的中点 G，连接 FG，EG.
∵E，F 分别为 CD，AB 的中点， ∴FG∥AC，EG∥BD， 且 FG＝21AC，EG＝12BD.
∴∠EFG 为 EF 与 AC 所成的角． ∵AC＝BD，∴FG＝EG. ∵AC⊥BD，∴FG⊥EG， ∴∠FGE＝90°， ∴△EFG 为等腰直角三角形， ∴∠EFG＝45°，即 EF 与 AC 所成的角为 45°.故选 B.
(1)连接 BC1，求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小； (2)连接 A1C，A1B，求三棱锥 C1－BCA1 的体积．
解 (1)连接 AO，并延长与 BC 交于点 D，则 D 是 BC 边的中点．
∵点 O 是正△ABC 的中心，且 A1O⊥平面 ABC，
∴BC⊥AD，BC⊥A1O. ∵AD∩A1O＝O，∴BC⊥平面 ADA1. ∴BC⊥AA1.又 AA1∥CC1， ∴异面直线 AA1 与 BC1 所成的角为∠BC1C 或其补角． ∵CC1⊥BC，即四边形 BCC1B1 为正方形， ∴异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小为π4.
4.如图所示，三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC， ∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E 是 PC 的中点．
(1)求证：AE 与 PB 是异面直线； (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值； (3)求三棱锥 A－EBC 的体积．
解 (1)证明：假设 AE 与 PB 共面，设平面为 α， ∵A∈α，B∈α，E∈α， ∴平面 α 即为平面 ABE， ∴P∈平面 ABE，这与 P∉平面 ABE 矛盾，
解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错， ③正确．故选 B.
4．若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
7．如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( )
1
2Leabharlann A.5B.53
4
C.5
D.5
解析 连接 BC1，易证 BC1∥AD1，则∠A1BC1 或其补 角即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角．连接 A1C1，由 AB＝ 1，AA1＝2，则 A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，
解析 a，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入正 方体中如图，由图可知 A 不正确；由 l∥a，且 l⊥b，可得 a⊥b，与题设矛盾，故 B 不正确；由 a⊂α，且 b⊥α，可得 a⊥b，与题设矛盾，D 不正确．故选 C.
2．[2018·赤峰模拟]如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列说法错误的是 ()
3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论错误 的是___④_____．(填序号)
①A，M，O 三点共线； ②A，M，O，A1 四点共面； ③A，O，C，M 四点共面； ④B，B1，O，M 四点共面．
解析 连接 AO，则 AO 是平面 AB1D1 与平面 AA1C1C 的交线．因为 A1C⊂平面 AA1C1C，M∈A1C，所以 M∈平面 AA1C1C.又 M∈平面 AB1D1，所以 M∈AO，故 A，M，O 三 点共线，从而易知①②③均正确．
A．MN 与 CC1 垂直 B．MN 与 AC 垂直 C．MN 与 BD 平行 D．MN 与 A1B1 平行
解析 如图，连接 C1D，
在△C1DB 中，MN∥BD，故 C 项正确； 因为 CC1⊥平面 ABCD，所以 CC1⊥BD， 所以 MN 与 CC1 垂直，故 A 项正确； 因为 AC⊥BD，MN∥BD， 所以 MN 与 AC 垂直，故 B 项正确； 因为 A1B1 与 BD 异面，MN∥BD， 所以 MN 与 A1B1 不可能平行，D 项错误．故选 D.
∴AE 与 PB 是异面直线．
(2)取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，则 EF∥PB，所以 ∠AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成角．
∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面 ABC， ∴AF＝ 3，AE＝ 2，EF＝ 2， cos∠AEF＝2×2＋22－ ×3 2＝41， ∴异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为41.
解析 构造如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1，取 l1 为 AD，l2 为 AA1，l3 为 A1B1，当取 l4 为 B1C1 时，l1∥l4，当 取 l4 为 BB1 时，l1⊥l4，故排除 A，B，C.故选 D.
5．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l ＝M，过 A，B，C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通 过( )
(2)∵三棱柱的所有棱长都为 2，
∴可求得 AD＝ 3，AO＝23AD＝233，
A1O ＝ AA21－AO2 ＝ 2 3 6 . ∴ VABC － A1B1C1 ＝ S △ ABC·A1O ＝
2 2，
V ＝V － ＝4 3 2. A1－B1C1CB
ABC－A1B1C1 VA1－ABC
∴V ＝V ＝21V ＝2 C1－BCA1
故 cos∠A1BC1＝2×5＋55×－2 5＝45. 则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为45.故选 D.
8．如图，在三棱锥 D－ABC 中，AC＝BD，且 AC⊥BD， E，F 分别是棱 DC，AB 的中点，则 EF 和 AC 所成的角等 于( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°