中考数学复习指导 轨迹问题中的合情推理和演绎推理(2021-2022学年)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
轨迹问题中的合情推理和演绎推理
由于轨迹问题渗透着集合、运动和数形结合等重要思想,具有涉及面广，综合性强,技能要求高等特点，近年来，越来越多地出现在中考压轴题中。这类题型与通常给出图形的几何证明与计算题不同，需要经历一个“据性索图”的推理过程。本文举例对轨迹问题进行解析。 题目 （2０1６年日照）阅读理解:
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹. 例如，角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹. 问题:如图1,已知为的中位线， 是边上一动点，连结交于点,
那么动点为线段中点.
理由： 线段为的中位线,
， 由平行线分线段成比例得，动点为线段中点.
由此你得到动点的运动轨迹是: 。
知识应用: 如图２,已知为等边边、上的动点，连结;若,且等边的边长为８,求线段中点的运动轨迹的长。
拓展提高： 如图3, 为线段上一动点(点不与点、重合)，在线段的同侧分别作
等边和等边,连结、,交点为。
(1）求的度数;
(２)若,求动点运动轨迹的长。
EF A B C ∆M
BC
AM EF
P
P
AM Q
EF
A B C ∆//E F B C ∴
P AM P EF A B C ∆AB AC EF
A
F B E =A B C ∆EF
Q
P
AB
P
A
B
AB
A P C ∆P
B D ∆
AD BC Q
A Q
B ∠6A
B =Q
一、运动轨迹是线段
动点是与的交点，根据轨迹的定义易知，动点的运动轨迹是线段。
1.合情推理,三点共线 知识应用中，因为点可与点、重合,点可与点、重合，要判断线
段中点的运动轨迹，可以通过画出起点、终点、中间点进行探索。
如图4，当时,动点运动到的中点,将的中点记为运动轨迹的起点
；
当时,动点运动到的中点,将的中点记为运动轨迹的终点
;
当时，满足条件的任意一点记为中间点.
通过观察,可以发现、、
在同一直线上,因此可以猜想出动点的运动轨迹是线
段
.
2.演绎推理,证明平角 在猜想出的运动轨进是线段后、需要演绎推理判断猜想的正确性。
在图２中,分别作出的中点
，的中点
.要确定动点始终在线段
上,需要连
结
、
,证明
为平角，如图5.
在上取,连结，在上取,连结.
由,，得, 又因为
为的中点,得,
ﻬ
易知
是的中位线，得。 同理,,又易知,
P AM EF P EF
E B
A
F
A
C
EF
Q
0A
FB E ==Q AB
AB
Q 8A
FB E ==Q AC AC n
Q (08)A
F B E a a ==<<Q 0
Q Q
n
Q Q
0n
Q
Q Q
AB 0
Q AC n
Q Q
0n
Q Q 0Q Q
n
QQ 0n
QQ Q ∠AB A F A F '=F F 'AC A
E A E '=EE 'A
F A F '=A F B E =A F B E '=0
Q AB
00Q
E Q
F '=0Q Q
E F F '∆
0//Q Q F F '//n Q
Q E E '//F
F E E ''
故
. 由于线段是的中位线,即的运动轨迹的长为3．
二、运动轨迹是圆弧
拓展提高(１)中,根据证明,易知。 1.合接推理,三点不共线
拓展提高(2)中,因为点不与点、重合，要判断、交点的运动轨迹，可以通过画出两个极限点和中间点进行探索. 如图3,当点无限接近点时，动点也无限接近点，将点记为运动轨迹的
一个极限点。 当点无限接近点时,动点也无限接近点,将点记为运动轨迹的另一个极
限点; 当点在上时，满足条件的任意一点中间点.通过观察，发现、、不在同
一直线上,因此可以猜想出动点的运动轨迹是圆弧。 2。演绎推理，计算角度
猜想之后，同样需要演绎推理判断猜想的正确性。
通过拓展提高(1），可以发现，这正好是点轨迹为圆弧的演绎推理，
说明了是的圆周角.
而对运动轨迹长度的计算,可以利用作外心的方法找到圆心补齐圆求解,如
图6.
在圆上任惫取一点，连绪，得， ﻬ所以． 作于点
易知，
所以弧的长
,
故动点.
以上问题中包含了初中数学轨迹问题中的两种典型情况:线段或圆弧 ．在研究轨迹问题时,需要找到三个静止的点,合情推理出轨迹形状,然后进行逻辑推理证明角的度数，从而计算出轨迹长度.
0180n Q Q Q ∠=
︒0n Q Q A B C
∆Q
A P DC P
B ∆
≅∆120A Q B ∠=︒P A B AD BC Q
P A
Q
A
A
P B Q
B
B
P AB
Q
A
Q
B
Q 120A Q B ∠
=︒Q A Q B ∠120︒AQ B ∆O
M
,A
MB M 60M ∠=︒2120A O B M ∠=∠=︒O
H A B ⊥H 3,A H B H ==AB Q