高二数学 空间直角坐标系
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(4)中点坐标公式 平面中点坐标公式可推广到空间， 即设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
则P1P2的中点P的坐标为____x_1 _2_x2__y1_2_y_2 _z_1 2_z_2___．
2. 空间中两点间的距离公式： 空间中的两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2) 之间的距离|P1P2|＝____x1__x_2 _2___y1__y_2_2___z1__z_2 .2 特别地，空间任意一点P(x，y，z)与原点O之间
分析：确定每一点的横坐标、纵坐标和竖坐标．
解：(1)由题可知
S(0,0,1)，C(4,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，
因为点M是棱SB的中点，所以由中点坐标公式 可又得ONM∶NC 12=, 121,∶12 3，，所以N(1,0,0)． (2)根据两点间的距离公式
MN=
1 2
12
的距离|OP|＝_____x_2 __y2__z_2_.
基础达标
1. 已知点M(2,0,2)，N(1,2，－1),则MN的中点 P的坐标为____ _32 _,1_, 12_．
2. 点A(－1,2,13)到平面xOy的距离为___1_3____．
解析：竖坐标的绝对值即为点到平面xOy的距离， 所以距离为13.
1 2
0
2
1 2
0
2
3 2
题型二 空间中的对称问题
【例2】已知点A(2,4,－3)，点B与点A关于 平面xOz对称，点C与点 A关于z轴对称， 求点B和点C的坐标，以及B，C两点间的距离．
分析：点P(x，y，z)关于平面xOz对称的点的 坐标为(x，-y，z)；关于z轴对称的点的坐标 为(-x，-y，z)．
解析：设N(0,0，a)，MN= 22 12 7 a2 30 解得a=2或12，所以点N的坐标为 (0,0,2)或(0,0,12)．
经典例题
【例1】(2010·南京模拟)如图所示，在直角梯形OABC中， ∠点CMO是A棱＝S∠B的OA中B＝点，2 ，N是OOA＝C上OS的＝点A，B＝且1O，NO∶CN＝C4＝，1∶3， 以OC，OA，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系Oxyz. (1)试写出点A、B、C、S、M、N的坐标； (2)求线段MN的长．
3. (教材P111习题第6题改编)已知点A(－4，－3,6)， 则点A关于原点的对称点的坐标为___(4_,_3_，__-6．)
解析：类比平面直角坐标系中关于原点对称的规律， 点A关于原点的对称点的坐标为(4,3，-6)．
4. (教材P111习题第6题改编)在空间直角坐标系中， 点(3，－5，8)关于xOz平面对称的点的坐标为___(3_,_5_,8_)_．
解析：关于xOz平面对称的点的坐标特点为： 纵坐标互为相反数，横坐标、竖坐标不变， 所以填(3,5,8)．
5. (教材P111习题第4题改编)已知点M(2，－1,7)， 在z轴上求一点N，使MN＝ 3，0 则点N的坐标为_____(0_,_0_,_2_)或__(_0_,_0_,1__2_) __．
AB 1 32 0 02 3 12 20
于是 10 y2 20 解得y=± 10 故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形， 此时点M的坐标为 (0, 10, 0) 或(0, 10, 0) .
解：点A关于平面xOz对称的点B的坐标为 (2，-4，-3)，点A关于z轴对称的点C的坐标 为(-2，-4，-3)， 则BC= 2 22 02 02 4
变式2－1
求点A(3,2，－1)关于x轴及平面xOy的对 称点B，C的坐标，以及B，C两点间的距离．
解析：点A(3,2，-1)关于x轴对称的点B的坐标为 (3，-2,1)，关于平面xOy的对称的点C的坐标为 (3,2,1)，所以BC= 02 2 22 02 4第七节 空 Nhomakorabea直角坐标系
基础梳理
1. 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系 从空间一点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz， 点O叫做坐_标__原_点____，x轴、y轴、z轴叫做坐__标_轴_____． 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 __x_O_y____平面，__y_O_z____平面，_x_O_z_____平面． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向__y ______轴的正方向，如果中指指向z________ 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
(3)空间直角坐标系中点的坐标空间中任意一点A，作 点A在三条坐标轴上的射影，即过点A作三个平面分 别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别 交于E、F、G，E、F、G在相应数轴上的坐标依次 为x，y，z，则有序数对(x，y，z)叫做点A的坐标， 记作___A_(_x，__y_，__z)____．
题型三 空间中两点间距离公式的运用
【例3】在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1) 和B(1,0，－3)，试问在y轴上是否存在点M， 使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．
分析：y轴上的点的坐标为(0，y,0)，若△MAB为等边 三角形，则MA=MB=AB，利用两点间距离公式求得y.
解：假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边 三角形．利用两点间距离公式可求得恒有 MA=MB=AB，就可以使得△MAB是等边三角形． 因为MA= 3 02 0 y2 1 02 10 y2 =MB
则P1P2的中点P的坐标为____x_1 _2_x2__y1_2_y_2 _z_1 2_z_2___．
2. 空间中两点间的距离公式： 空间中的两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2) 之间的距离|P1P2|＝____x1__x_2 _2___y1__y_2_2___z1__z_2 .2 特别地，空间任意一点P(x，y，z)与原点O之间
分析：确定每一点的横坐标、纵坐标和竖坐标．
解：(1)由题可知
S(0,0,1)，C(4,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，
因为点M是棱SB的中点，所以由中点坐标公式 可又得ONM∶NC 12=, 121,∶12 3，，所以N(1,0,0)． (2)根据两点间的距离公式
MN=
1 2
12
的距离|OP|＝_____x_2 __y2__z_2_.
基础达标
1. 已知点M(2,0,2)，N(1,2，－1),则MN的中点 P的坐标为____ _32 _,1_, 12_．
2. 点A(－1,2,13)到平面xOy的距离为___1_3____．
解析：竖坐标的绝对值即为点到平面xOy的距离， 所以距离为13.
1 2
0
2
1 2
0
2
3 2
题型二 空间中的对称问题
【例2】已知点A(2,4,－3)，点B与点A关于 平面xOz对称，点C与点 A关于z轴对称， 求点B和点C的坐标，以及B，C两点间的距离．
分析：点P(x，y，z)关于平面xOz对称的点的 坐标为(x，-y，z)；关于z轴对称的点的坐标 为(-x，-y，z)．
解析：设N(0,0，a)，MN= 22 12 7 a2 30 解得a=2或12，所以点N的坐标为 (0,0,2)或(0,0,12)．
经典例题
【例1】(2010·南京模拟)如图所示，在直角梯形OABC中， ∠点CMO是A棱＝S∠B的OA中B＝点，2 ，N是OOA＝C上OS的＝点A，B＝且1O，NO∶CN＝C4＝，1∶3， 以OC，OA，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系Oxyz. (1)试写出点A、B、C、S、M、N的坐标； (2)求线段MN的长．
3. (教材P111习题第6题改编)已知点A(－4，－3,6)， 则点A关于原点的对称点的坐标为___(4_,_3_，__-6．)
解析：类比平面直角坐标系中关于原点对称的规律， 点A关于原点的对称点的坐标为(4,3，-6)．
4. (教材P111习题第6题改编)在空间直角坐标系中， 点(3，－5，8)关于xOz平面对称的点的坐标为___(3_,_5_,8_)_．
解析：关于xOz平面对称的点的坐标特点为： 纵坐标互为相反数，横坐标、竖坐标不变， 所以填(3,5,8)．
5. (教材P111习题第4题改编)已知点M(2，－1,7)， 在z轴上求一点N，使MN＝ 3，0 则点N的坐标为_____(0_,_0_,_2_)或__(_0_,_0_,1__2_) __．
AB 1 32 0 02 3 12 20
于是 10 y2 20 解得y=± 10 故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形， 此时点M的坐标为 (0, 10, 0) 或(0, 10, 0) .
解：点A关于平面xOz对称的点B的坐标为 (2，-4，-3)，点A关于z轴对称的点C的坐标 为(-2，-4，-3)， 则BC= 2 22 02 02 4
变式2－1
求点A(3,2，－1)关于x轴及平面xOy的对 称点B，C的坐标，以及B，C两点间的距离．
解析：点A(3,2，-1)关于x轴对称的点B的坐标为 (3，-2,1)，关于平面xOy的对称的点C的坐标为 (3,2,1)，所以BC= 02 2 22 02 4第七节 空 Nhomakorabea直角坐标系
基础梳理
1. 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系 从空间一点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz， 点O叫做坐_标__原_点____，x轴、y轴、z轴叫做坐__标_轴_____． 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 __x_O_y____平面，__y_O_z____平面，_x_O_z_____平面． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向__y ______轴的正方向，如果中指指向z________ 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
(3)空间直角坐标系中点的坐标空间中任意一点A，作 点A在三条坐标轴上的射影，即过点A作三个平面分 别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别 交于E、F、G，E、F、G在相应数轴上的坐标依次 为x，y，z，则有序数对(x，y，z)叫做点A的坐标， 记作___A_(_x，__y_，__z)____．
题型三 空间中两点间距离公式的运用
【例3】在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1) 和B(1,0，－3)，试问在y轴上是否存在点M， 使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．
分析：y轴上的点的坐标为(0，y,0)，若△MAB为等边 三角形，则MA=MB=AB，利用两点间距离公式求得y.
解：假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边 三角形．利用两点间距离公式可求得恒有 MA=MB=AB，就可以使得△MAB是等边三角形． 因为MA= 3 02 0 y2 1 02 10 y2 =MB