2021年高中数学三角函数与解三角形多选题100及解析

2021年高中数学三角函数与解三角形多选题100及解析

一、三角函数与解三角形多选题

1．知函数()()sin 04f x x πωω⎛

⎫=+> ⎪⎝

⎭，则下述结论中正确的是（ ）

A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点

B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,

15

π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

D ．若()f x 的图象关于4

x π

=对称，且在5,1836ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】 令4

t x π

ω=+

，由[]

0,2x π∈，可得出,24

4t π

πωπ⎡⎤∈+⎢

⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间

,24

4π

πωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x π

ω=+

，由[]0,2x π∈，可得出,24

4t π

πωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦

， 作出函数sin y t =在区间,24

4π

πωπ⎡⎤+⎢

⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：

对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；

对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254

π

πωππ≤+

<，解得

1519

88

ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若

1519

88ω<≤，则2192154604

πππππω≤+<+，

所以，函数()f x 在区间20,

15

π⎛⎫

⎪⎝

⎭

上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4

x π

=

对称，则

()4

4

2

k k Z ωπ

π

π

π+

=

+∈，

()14k k Z ω∴=+∈.

52361812

T ππππω∴

=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

，当5,1836x ππ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

时，339442x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成

()sin y A ωx φ=+形式，

再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．

2．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2

π

ϕ≤）的图象与x 轴

交于点,A B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，,||23

OCB OA π

∠==，221

||3

AD =

.则下列说法正确的有（ ）

A ．()f x 的最小正周期为12

B ．6

π

ϕ=-

C ．()f x 的最大值为163

D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增

【答案】ACD 【分析】

3sin |2A π

ϕω

=+

，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据

221

||AD =

，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论． 【详解】

由题意可得：||3||OB OC =，3sin 2A π

ϕω

∴=+

，sin(2)0ωϕ+=， (2,0)A ，(2B π

ω+，0)，(0,sin )C A ϕ，sin 1,22A D πϕω

⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭， 2213AD =，2

22sin 281243A πϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭

，把|sin |(2)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240π

π

ω

ω-⨯

-=，0>ω.解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ω

π==，

sin()03π

ϕ∴+=，||2π

ϕ≤，解得3π

ϕ=-.可知：B 不对，3sin 263A π⎛⎫

∴-=+ ⎪⎝⎭

，

0A >，解得16

3

A =

，函数16()sin()363

f x x ππ

=

-，可知C 正确. ()14,17x ∈ 时，52,

6

32x π

πππ⎛⎫⎛⎫

-∈

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，可得：函数()f x 在()14,17x ∈单调递增. 综上可得：ACD 正确.

故选：ACD 【点睛】

关键点点睛：本题的关键是表示点,,B C D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.

3．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >

B ．()f x 在53,2

ππ⎛⎫

--

⎪⎝

⎭

上单调递增 C ．()f x 的值域为[]

12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】

由()23sin 22cos2f =+，结合

322

4

π

π

<<

，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；

结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】

由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，