《几何概型(第一课时)》的教学设计

《几何概型（第一课时）》的教学设计
江苏省太湖高级中学蔡旭林214125
教学内容
本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（苏教版）必修3第3章《概率》第3节内容.
教材的地位与作用
概率的初步知识在初中已经介绍，在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了继往开来的作用.
本章的核心是运用数学方式去研究不肯定现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取熟悉世界的初步知识和科学方式.
本末节是在学生已经掌握一般性的随机事件即概率的统计概念的基础上，继古典概型后对另一常见概型的学习，这对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有增进的作用.
三维目标
知识与技术
了解几何概型的意义，会求简单的几何概型事件的概率.
进程与方式
通过学习运用几何概型的进程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别.
情感、态度与价值观
通过对几何概型的教学，帮忙学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯.
教学重点
几何概型的大体特点及“测度”的寻觅.
教学难点
从实际背景中找测度.
课时安排
1课时
教学进程
一、创设情境，导入新课
问题情境一：取一根长度为3m的绳索，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？（教师演示绳子）
问题情境二：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环？从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶星是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？（播放flash动画）设置用意：这两个问题都来自于日常生活中，特别是当第二个问题提出时，学生们会跃跃欲试.按照心理学，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生自觉不自觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习踊跃性和思维活动就会被极大的调动起来.
二、师生互动，意义建构
通过度析，在这两个问题中，大体事件有无穷多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，可是显然不能用古典概型的方式求解.
通过学生的讨论，解决以上两个问题并非困难，解决以后，教师向学生介绍“测度”这一新名词（没必要深究）.学生只需要知道第一个问题中的测度是指（线段的）长度，第二个问题中的测度是指（圆的）面积.
教师提问：由以上两个问题，你感觉此类问题与古典概型相较有何特点？如何求此类问题的概率？ 让学生分组讨论，教师适当点拨.引出几何概型的概念、大体特点、概率计算公式，以后要加以说明，以便学生理解与记忆.帮忙学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延.
几何概型的概念及概率计算公式
对于一个随机实验，若是咱们将每一个大体事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机缘都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以够把随机事件与几何区域联系在一路.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方式处置随机试验，称为几何概型（geometric probability model ）.
一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率
()d P A D =的测度的测度
. 说明以下两点：
（1）D 的测度不为0；
（2）区域为“开区域”，不包括边界点.
接着教师提问：（1）当d 内只有一个点时，d 的测度是？
（2）当D 别离是线段、平面图形时，相应的测度别离是长度、面积，那么，当D 是立体图形时，测度应该是什么呢？
（3）完成下表
古典概型 几何概型 所有的基本事件（是否有限）
每个基本事件的发生（是否等可能）
每个基本事件的发生的概率
概率的计算公式 设置用意：设置表格是让学生明确几何概型与古典概型的区别与联系，进一步理解与掌握几何概型.
三、数学应用
（一）例题教学
例1 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率. 分析由于是随机丢豆子，故可以为豆子落入正方形内任一点的机缘都是均等的（符合几何概型），于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比.
解记“豆子落入圆内”为事件A ，则
答 豆子落入圆内的概率为4
π. 拓展引申向正方形内撒n 颗豆子，其中落在圆内的豆子数为m ，你会估算π的值
绿黄绿
绿
红绿黄吗？（在课堂上师生一路推导出“4m n
π≈”，然后则由教师给出.cn/move/003，“用Excel 来模拟撒豆子试验”留给学生课后去探究.）
点评解题时先判断是不是符合几何概型的条件，再找出测度，本题中的测度是面积.
例2 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？ 分析 病种子在这1L 种子中的分布可以看做是随机的（符合几何概型），取得10mL 种子可视作区域d ，所有种子可视为区域D.
解掏出10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则
答含有麦锈病种子的概率是1100
. 点评通过度析本题符合几何概型的条件，测度是体积，注意书写的规范性.
例3在等腰直角三角形中ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率.
分析 点M 随机地落在线段AB 上（符合几何概型），故线段AB 为区域D.当点M 位于右下图中线段'AC 内时，AM AC <，故线段'
AC 即为区域d .
解 在AB 上截取'AC AC =．于是 'AC AB =AC AB =2=答 AM 小于AC 的概率为22
. 变式在等腰直角三角形中ABC 中，过直角极点C 在ACB ∠内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率. 解析 由题意，射线CM 在ACB ∠内等可能散布的（符合几何概型），在AB 上取'AC AC =，则'
67.5ACA ，故知足条件的概率为67.5
3904
.
点评 例3也符合几何概型，测度是线段的长度，变式的
莫非稍大一些，关键是找测度.（二）形成性练习
1．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机掏出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是.
2．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定:顾客每购买100元的商品，就可以取得一次转动转盘的机缘.若是转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就能够获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他获得100元、50元、20元的购物券的概率别离是多少？
3．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r <a 的硬币任意掷在这平行线相碰的概率. 参考答案：
1．0．004
2．P（取得购物券）=1247
2020
++
=；P（获得100元购物券）=
1
20
；
P（取得50购物券）=21
2010
=；P（获得20购物券）=
41
205
=
3．
a r
a-
学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息.对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正.通过形成性练习，培育学生的应变和触类旁通的能力，慢慢形成技术.
四、小结反思
本节课的小结反思从以下几个方面进行：
（1）几何概型的概念及大体特点；
（2）几何概型中概率的计算公式；
（3）背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.
（4）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部份的可能性大小只与该部份的测度成正比而与其形状位置无关.
通过师生的一路小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培育学生的归纳和归纳能力；进一步完成教学目标.
五、布置作业
（1）讲义第103页习题3.3 第1，2，3题；
（2）请解释为何随机事件A发生的概率0≤P（A）≤1，别离何时取到0，1？
（3）上网下载课件，用Excel来模拟撒豆子实验；
（4）上网搜索阅读“贝特朗（Bertrand）问题”，谈谈阅读以后的感想.
这一组作业符合新课程的理念，作为本节课的的升华.
设计感想
由于几何概型是在学习了古典概型以后，将等可能事件的概念从有限向无穷的延伸，因此，在引出几何概型以后，将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同的地方和不同的地方.
按照几何概型中测度最多见的三种形式：长度、面积、体积，设置三个典型例题，讲义上的前三个例题恰好符合以上要求，就直接拿过来用.
例题本身属于几何概型及概率计算公式的直接应用、简单应用，目的是增强对几何概型的理解；帮忙学生明确解题步骤，规范解题格式.因此，三个例题的讲解都设置了：分析、解答、点评三个步骤.其中分析进程主要强调判断是不是符合几何概型，解答进程强调书写的规范性，点评主要强调如何将实际背景转化为测度和测度是什么.
另外，为了进一步突出本节课的重点与化解难点，同时也是为了与下一节课衔接，例1设置有拓展引申，例3设置有变式.
例1的拓展引申在课堂师生推导出“
4m
n
π≈”，然后则由教师给出网址，“用Excel来模拟撒豆子
实验”留给学生课后去探讨.这样一来，既激发了学生学习数学的兴趣，调动了他们的踊跃性，又为下一节课顶用随机模拟方式计算封锁曲线围成图形的面积作好了铺垫.
绝大部份学生在单独处置例3时是不用费多大劲的，可是当面对例3变式时，大部份学生很有可能感觉无从下手，原因安在？在于学生找不到本题中的测度是什么——这恰好是本节课的难点，因此本题的教学对本节课的难点的冲破相当重要.课堂上，教师不要急于讲解，可让学生讨论，哪怕是争辩，让学生参与进来，另外，本题的点评也留给学生完成.如此一来，不仅本节课的重点、难点得以突破，而且学生的数学思维的深刻性、广漠性等思维品质就取得了提高，思维品质提高了，思维能力也就提高了.这样，这节课的教学目标就大体上都达到了.
例题处置后，设置一组形成性练习，作为对本节课的实时检测.三个练习是按由易到难、由简单到复杂的熟悉规律和心理特征设计的，有利于提高学生的踊跃性.
小结与反思由师生一路完成，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培育学生的归纳和归纳能力；进一步完成教学目标.。