2023-2024学年江苏省盐城市高三三模数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省盐城市高三三模数学模拟试题
一、单选题
1．已知复数(1i z =，其中i 为虚数单位，则z =（）
A ．
14
B ．1
2
C ．1
D ．2
【正确答案】C
【分析】根据复数的除法运算求解出z ，然后根据复数模的计算公式求解出z .
【详解】由题知i 14i i
4z ===，所以
1z =
=，
故选：C.
2．如图所示的Venn 图中，A 、B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若{}21,,4A x x n n n ==+∈≤N ，{}2,3,4,5,6,7B =，则A B ⊗=（
）
A ．{}2,4,6,1
B ．{}2,4,6,9
C ．{}2,3,4,5,6,7
D ．{}
1,2,4,6,9【正确答案】D
【分析】分析可知()(){}
,A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂，求出集合A 、A B ⋃、A B ⋂，即可得集合A B ⊗.
【详解】由韦恩图可知，()(){}
,A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂，因为{}{}21,,41,3,5,7,9A x x n n n ==+∈≤=N ，{}2,3,4,5,6,7B =，则{}1,2,3,4,5,6,7,9A B = ，{}3,5,7A B = ，因此，{}1,2,4,6,9A B ⊗=.故选：D.
3．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：2781a a a +=+，且248,,a a a 成等比数列，则2023a =（
）
A ．2023
B ．2023-
C ．0
D ．
12023
【正确答案】A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则2781112771a a a a d a d +=+⇔+=++，11a =，
因为248,,a a a 成等比数列，所以2
4
28a a a =，即()()()2
13117d d d +=++，因为0d ≠，所以1d =，
所以()20231202312023a a d =+-⨯=.故选：A
4．在△ABC 中4AB AC ⋅=
，
2BC = ，且点D 满足BD DC = ，则AD = （）
A B C
D ．
3
2
【正确答案】A
【分析】由1()2
AD AB AC =+ 、22()BC AC AB =-
，结合向量数量积的运算律转化求模长即
可.
【详解】由题设，D 为BC 中点，则1()2
AD AB AC =+
，
所以22
2211||()(2)44
AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+ ，
又2222()24BC AC AB AC AC AB AB =-=-⋅+= ，即224212AC AB AC AB +=+⋅=
，
所以21||(128)54
AD =⨯+= ，故||AD =
故选：A
5．
已知函数()f x 的导函数()3
f x x '=，21lo
g 3a f ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则（）
A ．b a c <<
B ．b<c<a
C ．a b c <<
D ．a c b
<<
【正确答案】A
【分析】由题，写出原函数()f x ，讨论其奇偶性、单调性，再结合21log 3
、342-、3
42--的范围即可比较大小
【详解】()3
f x x '=，则()4
14
f x x c =
+，()f x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，()221log log 32,-13=-∈-，10342(22),-
-∈，即3412,12-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()4324,2-∈--，
所以()234342log 32f f f -⎛⎫⎛⎫>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，∴c a b >>，故选：A
6．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为2
3，乙在每局中获胜的概率为13
，
且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（）A ．
241
81
B ．
26681
C ．
27481
D ．
670243
【正确答案】B
【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为
22215
()()339
+=；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为49，且对下一轮比赛是否停止无
影响.由此可计算ξ为2，4的概率，ξ为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.
【详解】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215
()()339
+=．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==
，4520
(4)()()9981
P ξ===，ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮
24(6)916
()81
P ξ===，
故52016266
2469818181
E ξ=⨯+⨯+⨯=．
故选：B
7．
设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()()(),2223f x f x f x f x -=+'-='，则下列结论不一定正确的是（）
A ．()()113f x f x -++=
B ．()()22f x x f ''=+-
C ．()()()()11f f x f f x -='+'
D ．()()()()
2f f x f f x ''+=【正确答案】C
【分析】根据题意令2x x =可得()()23f x f x +-=，即函数()f x 图象关于31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，即可
判断A ；根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数()f x '的周期为2，即可判断BD ；由(2)(2)f x f x ''-=+知函数()f x '图象关于直线2x =对称，举例说明即可判断C.
【详解】A ：()()2223
f x f x +-=令2x x =，得()()23f x f x +-=，则函数()f x 图象关于点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
对称.
若(1)(1)3f x f x -++=，则函数()f x 图象关于点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，符合题意，故A 正确；
B ：由选项A 的分析知()()23f x f x +-=，等式两边同时求导，得()()20f x f x ''--=，即()()2f x f x ''=-①，
又()()f x f x ''=-，()f x '为偶函数，所以()2(2)f x f x ''-=-②，由①②得()(2)f x f x ''=-，所以函数()f x '的周期为2.
所以(2)()(2)f x f x f x '''-==+，即(2)(2)f x f x ''-=+，故B 正确；
C ：由选项B 的分析知(2)(2)f x f x ''-=+，则函数()f x '图象关于直线2x =对称.
令()()()()331Δ,1Δ22f x x f x x -=
-+=+，若33
(Δ())(+Δ())22
f x f x ''-=，则函数()f x '图象关于直线3
2
x =对称，不符合题意，故C 错误；
D ：由选项B 的分析可知函数()f x '的周期为2，则()(2)f x f x ''=+，所以(())((2))f f x f f x ''=+，故D 正确.故选：C.
8．已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的公共顶点，P
是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan 3AMB ∠=-，则双曲线的离心率为（）
A ．2
B
C
D
．
3
【正确答案】D
【分析】设出点P ，M 的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得MN x ⊥轴，再利用和角的正切公式求出a ，b 的关系作答.
【详解】如图，设00(,)P x y ，点,,P M A 共线，点,,P B N 共线，所在直线的斜率分别为,PA PB k k
，
点P 在双曲线上，即22
00221x y a b -=，有200200y y b x a x a a ⋅=-+，因此2
2PA PB b k k a
⋅=，点11(,)M x y 在椭圆上，即2
2
11221x y a b +=，有
2
11211y y b x a x a a
⋅=--+，直线,MA MB 的斜率,MA MB k k ，有2
2MA MB
b k k a
⋅=-，
即2
2PA MB b k k a
⋅=-，于是MB PB BN k k k =-=-，即直线MB 与NB 关于x 轴对称，
又椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，由222
21x c x y a
b =⎧⎪
⎨+=⎪⎩得
2
||b y a
=，
显然222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a ac
BMF b b a
--∠==，
222222222
22
tan tan 2tan 31tan tan 1a ac a ac
AMF BMF a b b AMB a ac a ac AMF BMF b a b b +-+∠+∠∠====-+--∠⋅∠--⋅
，解得221
3
b a =
，所以双曲线的离心率3
e a =
==
.故选：D
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；
特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、多选题
9．已知(),,0,1a b c ∈,随机变量ξ的分布列为:
ξ
1
23
P
a
b
c
则()
A ．()()2E E ξξ-=
B ．()()
2D D ξξ-=C ．()()2
2
[]
E E ξ
ξ≥D ．()()
2
2
[2]D D ξξ-=【正确答案】BC
【分析】根据期望方差的相关公式2
()(),()()E aX b aE X b D aX b a
D X +=++=，以及()
22()[()]D X E X E X =-判断ABC ,再举特例判断D 即可.
【详解】因为(2)()2E E ξξ-=-,所以A 错，因为(2)()D D ξξ-=,所以B 对，
因为[][][]2
2
2
1122()()()()n n
D X x
E X p x E X p x E X p =-+-++- []{
}
2
1
()n
i i i x E X p ==-∑()
()2
21
n
i i i x p E X =⎡⎤=-⎣⎦∑，
所以()()2
2
[()]
0E E D ξ
ξξ=-≥,所以()
22[()]E E ξξ≥,所以C 对，
举特例来说明D 错,取1
3
a b c ===
，则2222
1112(2)(12)(22)(32)3333
E ξ⎡⎤-=-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，2
2
2
2
2121212(2)1013333339
D ξ⎛
⎫⎛
⎫⎛⎫⎡⎤-=-⨯-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭，
()
211114
1493333
E ξ=⨯+⨯+⨯=，
()
222
2
141141141149333333D ξ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭2
121416929498(2)272727279
D ξ⎡⎤=
++==-⎣⎦,所以D 错.故选:BC 10．已知曲线2:
14
x x C y +=，则（
）
A ．曲线C 关于原点对称
B ．曲线
C 上任意点P 满足1OP ≥（O 为坐标原点)C ．曲线C 与2240x y -=有且仅有两个公共点
D ．曲线C 上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）【正确答案】BC
【分析】选项A ，取特殊点(2,0)，(2,0)-验证即可判断；选项B
，由==OP 0x ≥，0x <讨论，即可判断；选项C ，联立2221440x x
y x y ⎧+=⎪
⎨⎪-=⎩
，分0x ≥，0x <讨论，即可判断；
选项D ，分0x ≥，0x <讨论，分析即可判断【详解】选项A ，(2,0)满足
214
x x y +=，故点(2,0)在曲线上，但(2,0)-不满足
214
x x y +=，
故点(2,0)-不在曲线上，故曲线C 不关于原点对称，错误；选项B ，令(,)P x y
在曲线上，故==OP 当0x ≥
时，1
=≥O P 当0x <
时，1
=
>O P 故曲线C 上任意点P 满足1OP ≥（O 为坐标原点)，正确；
选项C ，联立2221440x x
y x y ⎧+=⎪
⎨⎪-=⎩
，故2||4
+=x x x 当0x ≥时，224=x
，解得x =
，故有两个交点22
当0x <时，04=，无解
故曲线C 与2240x y -=有且仅有两个公共点，正确；选项D ，当0x ≥时，曲线C 为2
21
4
+=x y 若为整点，则22
104，==x y 或2201
4
，==x y 故有(2,0),(0,1),(0,1)-三个整点当0x <时，曲线C 为2
21
4
-+=x y 若为整点，则2,x k k Z =∈
，=y
若=∈y Z ，则0k =，与0x <矛盾故曲线C 上只有三个整点，不正确故选：BC
11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，H 为棱1AA （包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）
A ．CH BD
⊥B ．二面角11D AB C --的大小为
3
πC ．点H 到平面11B CD
距离的取值范围是⎣
⎦D ．若CH ⊥平面β，则直线CD 与平面β
所成角的正弦值的取值范围为32⎣⎦
【正确答案】ACD
【分析】根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出,CH DB
的坐标后利
用数量积可判断A 的正误，求出平面1AB C 的法向量和平面11AB D 的法向量可利用数量积计算夹角的余弦值后可判断B 的正误，利用点到平面的距离的公式计算后可判断C 的正误，
最后利用直线CD 和平面β的法向量计算线面角的正弦值后可判断D 的正误.
【详解】
由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1D B C A D C B ，设()1,0,H h ，其中01h ≤≤，
对于A ：()()1,1,,1,1,0CH h DB =-= ，故0CH DB ⋅=
即CH BD ⊥，
故A 正确.
对于B ：()10,1,1AB =
，()()11,0,1,1,1,0AD AC =-=- ，设平面11AB D 的法向量为(),,m x y z =
，
则1100m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则1,1x y ==-，
故()1,1,1m =-
.
设平面1AB C 的法向量为(),,n a b c =
，
则100
n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00b c a b +=⎧⎨-+=⎩，取1b =，则1,1a c ==-，
故()1,1,1n =-
.
故1
cos ,3m n =
- ，而二面角11D AB C --为锐二面角，
故其余弦值为13，不为1
2，故二面角11D AB C --的平面角不是π3，故B 错误.
对于C ：()111,1,0D B = ，()10,1,1D C =-
，
设平面11CB D 的法向量为(),,k p q r =
，
则1110
0k D B k D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00p q q r +=⎧⎨-=⎩，取1q =，则1,1p r =-=，
故()1,1,1k =-
.而()10,1,1B H h =--
，
故H 到平面11CB D
的距离为33BH k
BH BH k
⎤⋅⨯∈⎢⎥⨯⎣⎦
，
故C 正确.
对于D ：设直线CD 与平面β所成的角为θ.
因为CH ⊥平面β，故()1,1,CH h =-
为平面β的法向量，
而()0,1,0DC =
，故
sin cos ,DC CH θ===
而[
]0,1,h ∈∈⎣⎦
，故D 正确.故选：ACD.
思路点睛：空间中位置关系的判断、角的计算或范围的判断，可结合几何体的规则性建立合适空间直角坐标系，通过向量的共线、向量的数量积等来判断位置关系，通过平面的法向量、直线的法向量等来处理相关角的计算或范围问题.
12．已知函数()()e 1x
f x x =+，()()1ln
g x x x =+，则（
）
A ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点
B ．()f x '为函数()f x 的导函数，若函数()()h x f x a '=-有两个零点，则实数a 的取值范围是211,1e ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
C ．若对任意0x >，不等式()()2
ln f ax f x ≥恒成立，则实数a 的最小值为
2
e
D ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1t x x +的最大值为
1
e
【正确答案】BCD
【分析】对于A ：利用导数推出()g x 在()0,∞+单调递增，可得A 错误；对于B ：利用导数研究函数()y f x '=的性质，得其图象，根据函数()y f x '=的图象与直线y a =有两个交点，
可得B 正确；对于C ：根据()f x 在()0,∞+单调递增，将不等式化为2ln x
a x
≥
恒成立，右边构造函数求出最大值，可得C 正确；对于D ：根据()()()120f x g x t t ==>以及指对同构得
12e x x =，将
()12ln 1t x x +化为ln t
t
，再求导可求出最大值，可得D 正确.
【详解】对于A ：()11ln g x x x
'=+
+，令11()1ln g x x x =++，则()1
22111
x g x x x x -'=-+=，令()1
0g x '>，解得：1x >，令()10g x '<，解得：01x <<，故()g x '在()1,+∞单调递增，在()0,1单调递减，
故()()120g x g ''≥=>，故()g x 在()0,∞+单调递增，函数()g x 在()0,∞+上无极值点，故A 错误；
对于B ：()e 1e (1)e 1x x x f x x x '=++=++，令1()(1)e 1x
f x x =++，则
1()e (1)e (2)e x x x f x x x '=++=+，
当<2x -时，1()0f x '<，当2x >-时，1()0f x '>，故1()f x 在(),2-∞-上为减函数，在(2,)-+∞上为增函数，故1min 121()(2)1e f x f =-=-
，即min
2
1
()1e f x '=-，又1x <-时，()1f x '<，作出函数()y f x '=
的图象，如图：
若函数()()h x f x a '=-有两个零点，得()f x a '=有两个实根，得函数()y f x '=的图象与直线y a =有两个交点，由图可知，2
1
11e a -
<<，故B 正确；对于C ：由B 得：()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在()0,∞+单调递增，则不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，等价于2ln ax x ≥恒成立，故2ln x
a x
≥
，设()2ln x h x x =
，则()()
221ln x h x x
-'=，
令()0h x '>，解得：0e x <<，令()0h x '<，解得：e x >，故()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故max 2
()(e)e h x h ==
，故2e a ≥，则实数a 的最小值为2e
，故C 正确；
对于D ：若()()()120f x g x t t ==>，则()()1122e 11ln x
x x x t +=+=，即()()1122e 1ln e 1ln x x
x x t +=+=，
∵0t >，∴1>0x ，1e 0x >，21x >，
由A 知，()(1)ln g x x x =+在()0,∞+上单调递增，故12e x
x =，
所以
()1
121ln ln ln 1(e 1)x t t t
x x x t
==++，设ln ()t t t ϕ=
，则()2
1ln t
t t ϕ-'=，令()0t ϕ'>，解得：0e t <<，令()0t ϕ'<，解得：t e >，故()t ϕ在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故()()max 1e e
t ϕϕ==
，此时()()1122e e 11ln x
x x x =+=+，故()12ln 1t x x +的最大值是1e
，故D 正确；故选：BCD
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，
（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <；（4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >.
三、填空题
13．6人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
______种．【正确答案】216．
【分析】分最左端排甲、乙两类，结合分步计数，求最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲的排法.
【详解】（1）当最左端排甲的时，排法的种数为5
5A ；（2）当最左端排乙的时，排法种数为1
4
44C A ．
∴不同的排法的种数为514
54412096216A C A +=+=．
故216
14．(),P x y 为圆C ：()()2
2
215x y -+-=上任意一点，且点P 到直线1l ：240x y -+=和2l ：
20x y m -+=的距离之和与点P 的位置无关，则m 的取值范围是_______.
【正确答案】(,8]
-∞-【分析】作出图形，结合图形可知当圆C 位于直线1l 与2l 之间时即为所求，根据直线与圆相切时是临界值即可求解.
【详解】由图可知当圆C 位于两直线1l 与2l 之间时，
点P 到两直线1l 和2l 的距离之和即为1l 与2l 两平行直线间的距离，即点P 到直线1l 和2l 的距离之和与点P 的位置无关，
当直线2l =，解得8m =-或2m =（舍去），所以8m ≤-，
即m 的取值范围是(,8]-∞-，故答案为.(,8]
-∞-
15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，a =34
A π
=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是______.
【正确答案】2⎛ ⎝
由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得sin()b c B λϕ+=+
，其中
tan ϕ=
04B π<<，由于b c λ+
1>，进而求解λ的取值范围.【详解】由于34A π=
，所以04
B π
<<，
由正弦定理得2
3sin sin sin sin
4
b c a B C A π
====，所以2sin b B =，2sin c C =，
所以2sin 2sin 2sin 2sin 4b c B C B B πλλλ⎛⎫
+=+=+- ⎪
⎝
⎭2sin 2sin (222B B B B B λλ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭
.
当20λ=
，即λ
b c B λ+=
，没有最大值，所以λ≠
则sin()b c B λϕ+=+
，其中tan ϕ=，
要使b c λ+有最大值，则B ϕ+要能取
2
π，由于04B π<<，
所以
4
2
π
π
ϕ<<
，所以tan 1ϕ>
1,>
，解得2λ<<.
所以λ
的取值范围是⎝.
故2⎛ ⎝解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转
化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
16．已知正四面体ABCD 的棱长为3，点E 满足()01AE AB λλ=<<
，过点E 作平面α平行
于AC 和BD ，设α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，DA 相交于点F ，G ，H ，则四边形
EFGH 的周长为______，四棱锥A EFGH -的体积的最大值为______.
【正确答案】
6
3【分析】根据线面平行的性质可得四边形EFGH 为平行，根据线段的比例关系可求该平行四边形的周长为6，取BD 的中点为M ，AC 的中点为Q ，连接,,AM MC MQ ，则可求MQ 的长度，故可求A 到平面EFGH 的距离，故可求四棱锥A EFGH -的体积，利用导数可求体积的最大值.
【详解】//AC 平面α，平面α 平面ABC EF =，AC ⊂平面ABC ，故AC EF ∥，同理AC GH ∥，故EF GH ∥，
同理EH GF ∥，故四边形EFGH 为平行四边形.由AE AB λ=
，可得:AE AB λ=，则:HE DB λ=，:1EF AC λ=-又正四面体ABCD 的棱长为3，则3HE GF λ==，()31EF GH λ==-四边形EFGH 的周长为()23316HE GF EF GH λλ+++=+-=⎡⎤⎣⎦.取BD 的中点为M ，AC 的中点为Q ，连接,,AM MC MQ ，
则由正四面体可得AM MC ==，故322MQ ==
且MQ AC ⊥，故MQ EF ⊥.
因为,AD AB DM MB ==，故AM BD ⊥，同理CM BD ⊥，而,,AM MC M AM MC =⊂ 平面AMC ，故BD ⊥平面AMC ，因,AC MQ ⊂平面AMC ，故BD MQ ⊥，BD AC ⊥，故HE MQ ⊥，且HE EF ⊥，故平行四边形EFGH 为矩形.而,,HE EF E HE EF =⊂ 平面EFGH ，故MQ ⊥平面EFGH ,因为//AC 平面EFGH ，//BD 平面EFGH ，
故A 到平面EFGH 的距离即为Q 到平面EFGH 的距离，
B 到平面EFGH 的距离即为M 到平面EFGH 的距离，
而AE AB λ= ，故1AE EB λ
λ
=-，
故A 到平面EFGH 的距离与B 到平面EFGH 的距离的比值为1λ
λ
-，
结合MQ A 到平面EFGH
，则四棱锥A EFGH -的体积(
)()2133113V λλλ=⨯⨯--.令(
)()()2101f x x x =
-<<，则(
)()23f x x '=-，由()0f x ¢>得2
03
x <<，由()0f x '<，得213x <<，
则()f x 在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，
在2
3
x =
时取最大值
2
22213333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
()21λ-
的最大值为3
.故6
四、解答题
17．已知正项数列{n a }中，11a =，n S 是其前n
项和，且满足)
2
11
n S S +=+(1)求数列{n a }的通项公式：(2)已知数列{n b }满足()
1
1
1
1n n n n n a b a a +++=-，设数列{n b }的前n 项和为n T ，求n T 的最小值.【正确答案】(1)21(N*)n a n n =-∈(2)25
【分析】（1）根据已知条件，利用列{n a }为正项数列，将条件给的式子两边开方，从而构造出
n S ，然后再利用1n n n a S S -=-去求解数列{n a }的通项公式，注意验证1n =时是否满足；
（2）将第（1）问中求解出的数列{n a }的通项公式带入n b ，并使用裂项的方法将通项公式展开，然后求解出n T 的表达式，根据n 取奇数、偶数不同通过讨论分别求解出对应的最小值，即可完成求解.
【详解】（1）正项数列{n a }，11a =
，满足)
2
11n S S +=
+
1=，
所以数列
是以1为首项1为公差的等差数列，
1(1)1n n =+-⨯=，所以2
n S n =，
当2n ≥时，22
1(1)21(N*)n n n a S S n n n n -=-=--=-∈，
当1n =时也成立，所以21(N*)n a n n =-∈.（2）因为()
1
1
11n n n n n a b a a +++=-()
()()
()1
1
121
11212122121n n n
n n n n ++-⎛⎫=-=
+ ⎪
-+-+⎝⎭
所以1
11
1
1
1
1
1
1
1(1)()(1)(
)1(1)23352121221n n n T n n n ++⎡⎤⎡⎤=+-+++-+=+-⎢⎥⎢⎥-++
⎣⎦⎣⎦
，所以当n 为奇数时，11112212
n T n ==++（）＞；当n 为偶数时，1112
21
n T n ==-+（），由{n T }递增，得225
n T T ≥=，所以n T 的最小值为
2
5
.18．如图，该几何体是由等高的半个圆柱和1
4
个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C ，E ，D ，G 四点共面.
(1)证明：平面⊥BDF 平面BCG ；
(2)若平面BDF 与平面ABG 15
AB 长度为2，求点G 到直线DF 的距离.
【正确答案】(1)证明见解析62
【分析】（1）过G 作//GH CB ，交底面弧于H ，连接HB ，有HBCG 为平行四边形，根据题设可得FB HB ⊥，即FB CG ⊥，再由线面垂直的性质可得CB ⊥FB ，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.
（2）构建如下图示空间直角坐标系A xyz -，令半圆柱半径为r ，高为h ，确定相关点坐标，进而求平面BDF 、平面ABG 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得
2h r =，即可求出点G 到直线DF 的距离.
【详解】（1）过G 作//GH CB ，交底面弧于H ，连接HB ，易知：HBCG 为平行四边形，所以//HB CG ，又G 为弧CD 的中点，则H 是弧AB 的中点，
所以45HBA ∠=︒，而由题设知：45ABF ∠=︒，则90HBF HBA ABF ∠=∠+∠=︒，所以FB HB ⊥，即FB CG ⊥，由CB ⊥底面ABF ，FB ⊂平面ABF ，则CB FB ⊥，又CB CG C ⋂=，,CB CG ⊂平面BCG ，
所以FB ⊥平面BCG ，又FB ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面BCG .（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系A xyz -，
令半圆柱半径为r ，高为h ，则()0,2,0B r ，()2,0,0F r ，()0,0,D h ，(),,G r r h -，
所以()2,0,FD r h =- ，()0,2,BD r h =- ，()0,2,0AB r = ，(),,AG r r h =-
，
若(),,m x y z = 是面BDF 的一个法向量，则2020m FD rx hz m BD ry hz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，令2z r =，则(),,2m h h r = ，
若(),,n a b c = 是面ABG 的一个法向量，则20
0n AB rb n AG ra rb hc ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令c r =，则(),0,n h r = ，
所以22cos ,m n m n m n ⋅=
整理可得()()2222
420h r h r -+=，则2h r =，又2AB =，
由题设可知，此时点()1,1,2G -，()0,0,2D ，()2,0,0F ，
则()2,0,2DF =- ，()1,1,0DG =- ，
所以点G 到直线DF
的距离d =
..
19．如图，在平面四边形ABCD 中，2AB BC CD ===
，AD =
(1)若DB 平分ADC ∠，证明：A C π+=；
(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【正确答案】(1)证明见解析(2)14
【分析】（1）利用cos cos ADB CDB ∠=∠可构造方程求得2BD ，利用余弦定理可求得
cos cos A C =-，由此可得结论；
（2）在,ABD BCD 中，利用余弦定理可构造方程求得cos 1C A =-，利用三角形面
积公式化简2212S S +为2
24cos 146A ⎛--+ ⎝⎭
，结合二次函数性质可得最大值.【详解】（1）DB 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，则cos cos ADB CDB ∠=∠，由余弦定理得：222222
22AD BD AB CD BD BC AD BD CD BD
+-+-=
⋅⋅，
2244
4BD BD +-=，解得：)
2
41BD =；
22212441
1cos
22
AD AB BD A AD AB +-+-==⋅ ，
)
22244411
cos 282CD BC BD C CD BC +-+-===
⋅，
cos cos A C ∴=-，又()0,A π∈，()0,C π∈，A C π
∴+=（2）222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-⋅=+-⋅ ，
1688cos A C ∴-=-，整理可得：cos 1C A =-；
2
2
2
2221
2
11sin sin 12sin 4sin 22S S AD AB A BC CD C A C
⎛⎫⎛⎫
+=⋅+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
)
2
2221212cos 44cos 1612cos 4
1
A C A A =-+-=---
2
2
24cos 1224cos 146A A A ⎛=-++=--+ ⎝⎭
，
()0,A π∈ ，∴当cos 6
A =时，2212S S +取得最大值，最大值为14.
20．2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.
(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有()
N k k *
∈发子弹，甲每次打靶的命中率均
为1
2，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；
(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有(1)m m ≥发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次
射击相互独立且均随机，在进行()N n n ∈次射击后，记弹巢中空包弹的发数为n X ，①当N k *∈时，请直接写出数学期望()n E X 与()1n E X -的关系；②求出()n E X 关于n 的表达式.
【正确答案】(1)分布列见解析，数学期望为11()2
k
-；
(2)①()()15
16n n E X E X -=
+；②()()56()N 6
n n E X m n =-∈.【分析】（1）根据给定条件，求出X 的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
（2）①按第n 次射出是空包弹和实弹求出对应的概率及空包弹数，进而求出()n E X 即可；②利用构造法求出数列{()}n E X 的通项公式作答.
【详解】（1）依题意，X 的所有可能取值为0,1,2,,1,k k - ，
1111()()(1)(),(0,1,2,,1)222m m P X m m k +==-==- ，1
()(2
k P X k ==，
所以X 的分布列为X
12…1k -k P
1
2
21()2
31()2
…
1()2
k 1()2
k X 的数学期望23111(1()()(((2222)2)1k k
E X k k =+++-+ ，显然
341111111
()()(1()2()1()22222(2)()2k k k E X k k k ++=+++-+-+ ，两式相减得231112()111111()()()()2(1)()(2222
2)
k k k k E X k k k ++=++++--- 2111111111()()()()222211
([1()]
111122(1)()()1222212
k k k k k k k k k k -++++-=+---=-+=--，
所以()11()2
k
E X =-.
（2）①第n 次射击后，包含两种情况：第n 次射出空包弹和第n 次射出实弹，第n 次射击前，剩余空包弹的期望是()1n E X -，
若第n 次射出空包弹，则此时对应的概率为
()
16
n E X -，因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为()()1111n n E X E X ---+=，若第n 次射出实弹，则此时对应的概率为()
116
n E X --，此时空包弹的数量为()11n E X -+，所以()()()()()()111115
111666n n n n n n E X E X E X E X E X E X -----⎡⎤⎡⎤⋅+-+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=
.②当0n =时，弹巢中有6m -发空包弹，即()06E X m =-，由()()15
16n n E X E X -=
+，得()()15666n n E X E X --=-⎡⎤⎣
⎦，当N n *∈时，数列{()6}n E X -是首项为15()66E X -=-，公比为5
6的等比数列，
因此1555()6(()666n n
n E X m m --=-⋅=-，而当0n =时，0()6E X m =-满足上式，
所以5()6()(N)6
n
n E X m n =-∈.
21．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点在圆E ：221x y +=上.
(1)设点P 是双曲线2
2
14
y x -=左支上一动点，
过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，证明：直线AB 与圆E 相切；
(2)设点T 是圆E 上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l 是圆E 在点T 处的切线，若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，求TM TN ⋅的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)5
【分析】（1）联立直线PA 与抛物线方程，根据相切得判别式为0，进而得2
000m my x -+=，进而得00,m n y mn x +==，()2,2A m m ，()2
,2B n n ，根据两点坐标可得直线AB 的方程，根
据点到直线的距离公式即可求解；
（2）根据切线得MN 的方程，进而联立直线MN 与抛物线方程，根据韦达定理得
121244,b y y y y a a +=-=-，222221212121222241
,416y y y y a b x x x x a a +++====，进而由向量的坐
标运算即可得2
125TM TN a ⎛⎫
=--+ ⎪⎝⎭
⋅，根据二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故可知122p p =⇒=，
设00(,)P x y ，PA 的直线方程为()00x m y y x =-+，PB 的直线方程为()00x n y y x =-+，m n ≠，
则()2
20000
44440y x
y my my x x m y y x ⎧=⎪⇒-+-=⎨
=-+⎪⎩，由于PA 与抛物线相切，所以()2200001644400m my x m my x ∆=--=⇒-+=，故方程的根为
2y m =，将其代入抛物线方程得2x m =，故()2,2A m m ，
同理2000n ny x -+=,()2,2B n n ，因此,m n 是方程2
000x y x x -+=的两个根，
故00,m n y mn x +==，直线AB 的方程为()2
22
222m n y x m m m n -=
-+-，化简得()20
22y x m m y =-+，圆心(0,0)到直线AB
的距离为d =
，
由于22
0014
y x -=，2
00m my x =-
，将其代入得
212x d r x =
==
，故直线AB 与圆E
相切（2）联立22
22
441021y x x x x x y ⎧=⇒+-=⇒=-⎨+=⎩
设(,)T a b ，且满足221a b
+=，21a -<<，则OT b k a =，则MN a
k b
=-，此时MN 的直线方程为()a
y x a b b
=-
-+，
联立直线MN 与抛物线方程()22
4440y x
b y y a
a a y x a
b b ⎧=⎪⇒+-=⎨=--+⎪
⎩
，设()()1122,,,M x y N x y ,所以121244
,b y y y y a a
+=-=-，
进而22222121212122
2241
,416y y y y a b x x x x a a
+++====，()()1122,,,MT a x b y TN x a y b =--=--
，
因此
()()()()22212121212121MT TN x a a x y b b y ax x x a ax by y y b by ⋅=--+--=--++--+ ()()222
2112211222224144
1411a b b MT TN a x x x x b y y y y b a a b
a a a a
a a +⎛⎫⋅=+-++---=⨯-+-+-=-+ ⎪
⎝⎭ 2
125a ⎛⎫
=--+ ⎪⎝⎭
，
由于21a -<≤，当1
2a
=时，12a =时MT TN ⋅ 取最大值5，由于T 是圆E 上在第一象
限内且位于抛物线开口区域以内的一点，所以,M N 在T 的两侧，故MT TM N T T N =⋅⋅
，故
此时TM TN ⋅的最大值为5
，
本题重点考查了圆锥曲线的综合运用，主要考查直线与曲线位置关系问题．常需要联立直线与曲线的方程，根据韦达定理法处理直线和曲线的相交问题.对交点设而不求，勇用韦达定理实现转化，必要时也可采用点差法配合求解与中点弦有关的问题，关于参数范围问题常用思路有：几何法，二次配方法，三角代换法，均值不等式.
22．已知函数()e cos x
f x x =，()()cos 0
g x a x x a =+<，曲线()y g x =在6
x π
=
处的切线的斜
率为
32
.
(1)求实数a 的值；
(2)对任意的,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
π，()()0tf x g x '-≥恒成立，求实数t 的取值范围；
(3)设方程()()f x g x '=在区间()2,232n n n ππππ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭∈+N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、
L 、n x 、L ，求证：12n n x x +->π．
【正确答案】(1)1a =-；(2)1t ≥；(3)证明见解析.
【分析】（1）由已知可得出3
62
g π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即可求得实数a 的值；
（2）由题意可知e cos 1sin x t x x ≥+对任意的,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦π恒成立，验证2x π=-对任意的R
t ∈恒成立；在,02x π⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
时，由参变量分离法可得出1sin e cos x x t x +≥，利用导数求出函数
()1sin e cos x x h x x +=在区间,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦
上的最大值，可得出t 的取值范围，综合即可得解；
（3）令()e cos sin 1x
x x x ϕ=--，利用导数分析函数()x ϕ在区间()
2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭∈+N 上的单调性，利用零点存在定理可知()2,232n x n n n ππππ⎛
⎫∈++ ⎪⎝
⎭∈+N ，求得
()112,232n x n n n ππππ+⎛
⎫-∈++ ⎪⎝
⎭∈+N ，证明出()()12n n x x ϕπϕ+-<，结合函数()x ϕ的单调性，
即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为()()cos 0g x a x x a =+<，则()1sin g x a x '=-，由已知可得131622g a π⎛⎫
'=-= ⎪⎝⎭
，解得1a =-.
（2）解：由（1）可知()1sin g x x '=+，对任意的,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
π，()()0tf x g x '-≥恒成立，
即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
π恒成立，
当2
x π
=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立；当02
x π
-
<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x
x
t x
+≥
，令()1sin e cos x x h x x +=，其中02x π-<≤，()()()()
()()
22
2e cos e cos sin 1sin 1cos 1sin 0e cos e
cos x x x x
x x x x x x h x x
x --+-+'=
=
≥且()h x '不恒为零，
故函数()h x 在,02π⎛⎤
- ⎥⎝⎦
上单调递增，则()()max 01h x h ==，故1t ≥.
综上所述，1t ≥.
（3）证明：由()()f x g x '=可得e cos 1sin x x x =+，
令()e cos sin 1x
x x x ϕ=--，则()()e cos sin cos x x x x x ϕ'=--，
因为()2,232x n n n ππππ⎛
⎫∈++ ⎪⎝
⎭∈+N ，则sin cos 0x x >>，
所以，()0x ϕ'<，所以，函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭∈+N 上单调递减，
因为2233
12e
cos 2sin 21e 13332n n n n n πππππππϕπππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭23
e
1022
π
π+
≥
->，2202n πϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以，存在唯一的()02,232x n n n ππππ⎛
⎫∈++ ⎪⎝
⎭∈+N ，使得()00x ϕ=，
所以，()2,232n x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，则()122,232n x n n n πππππ+⎛
⎫-∈++∈ ⎪⎝
⎭+N ，
所以，()()()121112e
cos 2sin 21
n x n n n x x x π
ϕπππ+-+++-=----()
()1111122211111e cos sin 1e cos e cos e e cos 0n n n n n x x x x x n n n n n n x x x x x x πππϕ+++++---+++++=--=-=-<=，
因为函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭∈+N 上单调递减，故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π.
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。