人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组

性质5（同向传递性）:如果a>b,b>c,那么a>c.
例3 如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可变形为 x＞1，那 么a 必须满足__a_＜__－__1_.
解析：根据不等式的基本性质可判断，a＋1为 负数，即a＋1＜0，可得 a＜－1.
方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一 个负数时，不等号的方向才改变．
练一练
2.判断下列说法是否正确？
(1) x=2是不等式x+3<4的解；
（× ）
(2) 不等式x+1<2的解有无穷多个； （√ ）
(3) x=3是不等式3x<9的解
（× ）
(4) x=2是不等式3x<7的解集； （ ×）
四 在数轴上表示不等式的解集
问题1 如何在数轴上表示出不等式x＞2的解集呢？
则都点点大表因不A于示此等右2的可式，边数以的而所都像解点有小图集A的于左那x点>2边样2表. 所表示有示的的数 先在数轴上标出表示2的点A
(5)a2___＞__0; (6)a3__＜____0; (7)a-1_＜____0； (8)|a|__＞____0．
思考: 等式有对称性及传递性，那么不等 式具有对称性和传递性吗?
已知x>5,那么5<x吗? x>5 5<x
性质4（对称性）:如果a>b,那么b<a. 由8<x,x<y,可以得到8<y吗? 如：8<10，10<15 ，8 < 15.
解 ： （1）（2）（5）（6）是不等式； （3）（4）不是不等式.
二 用不等式表示数量关系
合作与交流
例1 用不等式表示下列数量关系：
（1）x的5倍大于-7； （2）a与b的和的一半小于-1；
5x >-7
（3）长、宽分别为xcm，ycm的长方形的面积小于 边长为acm的正方形的面积. xy ＜ a2
把表示2 的点Ａ
画成空心圆圈，表 示解集不包括2.
A -1 0 1 2 3 4 5 6
解集的表示方法： 第一种:用式子(如x>2),即用最简形式的不等式 (如x>a或x<a)来表示.
第二种:用数轴,一般标出数轴上某一区间,其中的 点对应的数值都是不等式的解. 用数轴表示不等式的解集的步骤: 第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向.
（2）已知 a>b，则-a < -b . 因为 a>b，两边都乘-1， 由不等式基本性质3，得 -a < -b.
（3）已知 a<b，则 -a32 > -b32 .
因为 a<b，两边都除以-3，
由不等式基本性质3，得
-a 3
>
-b 3
,
因为
-a 3
>
-b 3
，两边都加上2，
由不等式基本性质1，得
观察由上述问题得到的关系式：x＞1 ， x＜100， x>50，s>60x，s<100x ，它们有什么共同的特点？
左右不相等
总结归纳 一般地，用不等号“>”，“<”连接而成的式
子叫做不等式.像a≠2这样的式子也叫做不等式.
练一练 判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0； （3）x=3; （4） x2+xy+y2； （5）x≠5; （6）x+2>y+5.
20， 40， 50, 100.
解 当x=20，20<50, 不成立； 当x=40，40<50, 不成立； 当x=50，50=50, 不成立； 当x=100，100>50, 成立.
概念学习 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值
就是方程的解”，与方程类似 , 能使不等式成立
的未知数的值叫不等式的解. 例如：100是x>50的解. 代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、
由不等式基本性质1，得 a+3 > b+3；
（2）已知 a<b，则a-5 < b-5 因为 a<b，两边都减去5，
由不等式基本性质1，得 a-5 < b-5 .
练一练 用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式
的哪一条性质： (1)若x＋3＞6，则x__>____3， 根据_不__等__式__性__质__1___； (2)若a－2＜3，则a__<____5， 根据_不__等__式__性__质__1_．
例3：直接写出x+4＜6的解集，并在数轴上表示出来． 解：x＜2． 这个解集可以在数轴上表示为：
012 变式1：已知x的解集如图所示，你能写出x的解集吗?
（1）
-4 0
解：（1）x＜－4；
（2） 04
（2）x＞4．
变式2：直接写出不等式2x＞8的解集，并在数轴上表 示出来．
解：x＞4． 这个解集在数轴上表示为：
-a3+2 > -b3+2 .
练一练
1.设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等
式的哪一条基本性质. （1） a - 7__＞__b - 7； （2） a÷6_＞___b÷6 （3） 0.1a_＞___0.1b;
不等式的性质1 不等式的性质2 不等式的性质2
（4） -4a_＜___-4b
不等式的性质3
猜想 ：不等式也具有同样的性质吗？
情境引入 哈哈！三我年比前你我大还两岁， 呵呵是，比所再你以过大我二是十你年哥, 哥 你也比我小!
大两岁,那三 年前，你不就
比我哦小?呀
那....再过十 年，我肯定比 你大。
讲授新课
一 不等式的性质1
合作探究 活动1 用天平探究不等式的性质
+
ab
ac bc
三 利用不等式的性质解简单的不等式
例4 利用不等式的性质解下列不等式：
(1) x-7＞26； (3) 2 x＞50；
-ac<-bc
总结归纳
不等式基本性质3 不等式的两边都乘（或 除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即，如果a > b，c < 0，那么 ac < bc ，ac
<
b c
.
例2 用“>”或“<”填空：
（1）已知 a>b，则3a > 3b ； 解： 因为 a>b，两边都乘3，
由不等式基本性质2，得 3a > 3b.
即，如果a
>
b，c
>
0，那么
ac
>
bc
， ac
>
b c
.
合作与交流
a>b -a-b a-a-b>b-a-b -b>-a (-1)×a<(-1)×b
×(-1)
不等式两边同乘以-1，不等号方向改变.
猜想：不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变.
a>b ×(-1) -a<-b ×3 -3a<-3b
×c(c>0) ×-c(-c<0)
3
是是 是
（1）你发现了哪些数是这个不等式的解？ （2）你从表格中发现了什么规律？
概念学习 一般的，一个含有未知数的不等式的所有的解，
组成这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程叫解不等式.
想一想：
1.不等式的解和不等式的解集是一样的吗?
2.不等式的解与解不等式一样吗？
概念区分 不等式的解与不等式的解集的区别与联系
户扫码解锁后有效骑行红包车超过10分钟，锁车后 即可获得1个现金红包；骑行红包车次数及领取红包 次数不限.红包金额随机，高于1元，且低于100元. 你能用关系式表示可获红包金额的大小吗？
x＞1 且 x＜100
讲授新课
一 不等式的概念
问题引导 问题1 如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放 上一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜， 问圆球的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样的 关系？
（5） 2a+3_＞___2b+3; 不等式的性质1,2 （6）(m2+1)a__＞__ (m2+1)b(m为常数) 不等式的性质2
2.已知a＜0，用“＜”“＞”填空： (1)a+2 _＜___2； (2)a-1 __＜___-1； (3)3a___＜___0； (4) a __＞____0;
4
用不等号填空： a÷3 > b÷3.
合作与交流
如图所示，托盘天平的右盘放上一质量为bg的
立体木块，左盘放上一质量为ag的立体木块，天平
向左倾斜.
用不等号填一填：
1.a
2.2a 3.2a
2
> b;
> 2b;
>
2b .
2
ag
bg
ag
你发现了什么？
bg
总结归纳
不等式基本性质2 不等式的两边都乘（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变.
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
学习目标
1.了解不等式及其解的概念; 2.学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表
达中渗透数形结合的思想．（难点） 3.理解不等式的解集及解不等式的意义．(重点)
导入新课
图片引入
谁快谁慢导入新课
情境引入 摩拜单车在2017年3月推出了红包车的运动.用
3.在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（ A ）
0 1 52 3
A
0 1 52 3
C
0 1 52 B3
0 1 52 3
D
4.直接写出下列不等式的解集.
x+3>6的解集是 x>3 ； 2x<8的解集是 x<4 ； x-2>0的解集是 x>2 .
课堂小结
解、解集
↓
不等式 → 实际问题中不等式的
画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
空心圆圈表 (1)x＞-1 ；
示不含此点
(2)
x＜
1 2
.
表示
1 2
的点
-1 0
表示-1的点
方向向右
01
方向向左
变式:
已知x的解集在数轴上表示如图,你能写出x的
解集吗?
-2
0
x＜-2
总结归纳 用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:
1.大于向右画,小于向左画; 2.>,<画空心圆圈.
不等式的解
不等式的解集
定义 满足一个不等式的 满足一个不等式的
区别
未知数的某个值 未知数的所有值
特点
个体
形式 如:x=3是2x-3<7 的一个解
联系 某个解定是解集中
的一员
全体 如:x<5是2x-3<7 的解集
解集一定包括了 某个解
练一练
1.下列说法正确的是( A ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集
我们很容易知道圆球 的质量大于砝码的质量， 即x > 50.
问题2 一辆轿车在一条规定车速应高于60km/h，且 低于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表 示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间 x(h)之间的关系呢？
根据路程与速度、时 间之间的关系可得：
s>60x，且s<100x.
二 不等式的基本性质2、3
问题1 已知苹果的价格是a元/kg，梨的价格是b元/kg， 且a > b. 小李各买了3kg苹果和梨，则买哪种水果花钱 较多？
用不等号填空： 3a > 3b.
问题2 在某次知识抢答赛中，甲、乙两队的总得分分 别为a，b，其中a>b. 已知每队人员均为3名，则哪队 的平均得分高？
04 变式3：直接写出不等式－2x＞8的解集．
解：x＜－4．
当堂练习
1. 用不等式表示下列数量关系： （1）a是正数； a > 0. （2）x比-3小； x <-3.
（3）两数m与n的差大于5. m-n >5.
2.下列不是不等式5x－3<6的一个解的是( B ) A.1 B.2 C.－1 D.－2
活动2 用数轴探究不等式的性质
a a+2
b b+2
a <b
a+2 < b+2
a-c a b-c b
a <b a-c <b-c
归纳总结
不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或 式子），不等号的方向不变.
如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.
典例精析 例1 用“>”或“<”填空： （1）已知 a>b，则a+3 > b+3 解： 因为 a>b，两边都加上3，
实用的方法.
练一练 判断下列数中哪些是不等式 2 x > 50 的解：60，73，
3
74.9，75.1，76，79，80，90.你还能找出这个不等式
的其他解吗？这个不等式有多少个解？ 无数个
xx 60 73 74.9 75.1 76 79 80 90
2 x > 50 不 不 不 是 是 是 是 是
例2 已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每 支贵y元. 小华想要买3支圆珠笔和10支签字笔，若付 50元仍找回若干元，则如何用含x，y的不等式来表 示小华所需支付的金额与50元之间的关系？
解 3x+10(x+y)<50
三 不等式的解与解集
交流：下面给出的数中，能使不等式x>50成立吗？你 还能找出其他的数吗？
↓
表示
概
念
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.2 不等式的性质
第1课时 不等式的性质
学习目标 1.理解并掌握不等式的基本性质;
2.通过实例操作,培养学生观察、分析、比较问题的能 力, 会用不等式的基本性质解简单的不等式.(重点、 难点)
导入新课
复习引入
前面我们已经学习过等式的基本性质 （1）等式的两边都加上（或都减去）同一个 数或同一个整式，等式仍然成立. （2）等式的两边都乘以（或除以）一个不为0 的数，等式仍然成立.