初三数学专题02 圆的证明与计算题研究(含答案)

专题二：圆的证明与计算题研究
【题型导引】
题型一：与圆的性质有关的证明与计算
（1）与圆内三角形、四边形为背景研究形状及其线段、周长面积等问题；（2）圆内多边形关于角的问题；（3）已知圆内特殊三角形背景下线段的长度计算等。

题型二：与圆的切线有关的证明与计算
（1）已知圆的切线与特殊三角形的关系，计算半径、线段等问题；（2）已知圆与特殊三角形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题；（3）已知圆与特殊四边形相关条件判定圆的切线及其线段计算等问题。

题型三：与扇形、弧长等有关的计算
（1）根据圆的性质及其相关条件进行计算弧长、扇形面积等问题；（2）根据圆的性质及其相关条件进行计算圆锥等问题； 【典例解析】
类型一：与圆的性质有关的证明与计算
例题1：（2019•湖北省荆门市•10分）已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ． （1）求证：
sin AC
B
＝2R ； （2）若△ABC 中∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sin C 的值．
【解答】解：（1）如图1，连接AO 并延长交⊙O 于D ，连接CD ， 则∠CD ＝90°，∠ABC ＝∠ADC ， ∵sin ∠ABC ＝sin ∠ADC ＝AC AD ＝2AC
R
∴
sin AC
B
＝2R ； （2）∵sin AC
B
＝2R ，
同理可得：sin AC B －sin AB C ＝sin BC
A
＝2R ，
∴2R ＝
3
sin 60︒
＝2，
∴BC ＝2R •sin A ＝2sin45°＝2， 如图2，过C 作CE ⊥AB 于E ， ∴BE ＝BC •cos B ＝2cos60°＝
22，AE ＝AC •cos45°＝6
2
， ∴AB ＝AE ＋BE ＝622
+， ∵AB ＝AR •sin C ，
∴sin C ＝＝
62
4
+．
技法归纳：圆的性质综合运用题中，经常用到的重要性质及技法：①运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对相关结论作合理的猜测；②利用垂径定理，通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行计算；③在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；④由直径所对的圆周角是直角构造直角三角形；⑤相似三角形、锐角三角函数、勾股定理是计算线段长度及其线段数量关系的重要手段． 类型二：与圆的位置关系有关的证明与计算
例题2：(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵
，弦CD 交AB 于点E . (1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD ＝∠DAB ； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE ·DE ；
(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．
【解析】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线，
∴∠ABP ＝90°，∴∠PBD ＋∠ABD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠PBD .
(2)∵∠A ＝∠DCB ，∠AED ＝∠CEB ， ∴△ADE ∽△CBE ， ∴
DE BE ＝AE
CE
，即DE ·CE ＝AE ·BE . 如图，连接OC .
设圆的半径为r ， 则OA ＝OB ＝OC ＝r ，
则DE ·CE ＝AE ·BE ＝(OA －OE )(OB ＋OE )＝r 2－OE 2. ∵AC ︵＝BC ︵，
∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°， ∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2， BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，
则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2， ∴BC 2－CE 2＝DE ·CE .
(3)∵OA ＝4，∴OB ＝OC ＝OA ＝4， ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝4 2. 又∵E 是半径OA 的中点， ∴AE ＝OE ＝2，
则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5. ∵BC 2－CE 2＝DE ·CE ， ∴(42)2－(25)2＝DE ·25，
解得DE ＝65
5
.
技法归纳：与切线有关的证明与计算，最常用的辅助线是连接经过切点的半径，利用直径构造直角三角形，利用圆周角相等转移角的位置等．运用三角形全等、三角形相似、勾股定理、锐角三角函数等知识进行证明与计算．
类型三：与扇形面积有关的证明与计算
例题3：（2019•湖北武汉•8分）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN 于D .C 两点． （1）如图1，求证：AB 2＝4AD •BC ；
（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC .OD ，如图1所示： ∵AM 和BN 是它的两条切线， ∴AM ⊥AB ，BN ⊥AB ， ∴AM ∥BN ，
∴∠ADE ＋∠BCE ＝180° ∵DC 切⊙O 于E ， ∴∠ODE ＝
12∠ADE ，∠OCE ＝1
2
∠BCE ， ∴∠ODE ＋∠OCE ＝90°， ∴∠DOC ＝90°， ∴∠AOD ＋∠COB ＝90°， ∵∠AOD ＋∠ADO ＝90°， ∴∠AOD ＝∠OCB ， ∵∠OAD ＝∠OBC ＝90°， ∴△AOD ∽△BCO ，
∴AD OA BO BC
=,
∴OA2＝AD•BC，
∴（1
2
AB）2＝AD•BC，
∴AB2＝4AD•BC；
（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，
∴∠ADO＝∠OFC，
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，
∴CF＝OC，
∴CD垂直平分OF，
∴OD＝DF，
在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），
∴∠CDO＝∠CDF，
∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝60°＝∠BOC，
∴∠BOE＝120°，
在Rt△DAO，AD 3 OA，
Rt△BOC中，BC3OB，∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB3
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×1
2
×33
2
120(3)
π⨯
3π．
技法归纳：求与圆有关的阴影部分的面积时，常常是通过把不规则图形的面积，用扇形的面积和三角形的面积的和差来解决．特别地，对于旋转图形，要利用旋转的性质，确定旋转的中心(扇形的圆心)和旋转半径(相应的线段)的位置的变化，常常运用三角形全等进行面积的割补．
【变式训练】
1. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于点D，E，F.
(1)求证：BF＝CE；
(2)若∠ACB＝30°，CE＝2 3，求AC的长．
【解析】：(1)证明：连结AO并延长，∵AB＝AC，
∴AO的延长线交BC于切点D，则BD＝CD.
又由切线长定理，得BF＝BD，CD＝CE，
∴BF＝CE.
(2)∵CE＝2 3，∴CD＝2 3.
又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
又∵∠ACB＝30°，
∴AC＝
CD
cos∠ACB
＝
2 3
cos30°＝
2 3
3
2
＝4.
2. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠COA＝60°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝4，AD＝2，
所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，
因为∠COA＝60°，
所以S扇形COA＝＝π，
所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．
3. （2018辽宁抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD ＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接O C．
∵CB ＝CD ，CO ＝CO ，OB ＝OD ， ∴△OCB ≌△OCD ， ∴∠ODC ＝∠OBC ＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴DC 是⊙O 的切线． （2）解：设⊙O 的半径为r ． 在Rt △OBE 中，∵OE 2＝EB 2＋OB 2， ∴（8﹣r ）2＝r 2＋42， ∴r ＝3， ∵tan ∠E ＝＝
，
∴＝
，
∴CD ＝BC ＝6， 在Rt △ABC 中，AC ＝
22AB BC +＝ 2266+＝62．
4. （2019•甘肃庆阳•8分）已知：在△ABC 中，AB ＝A C ．
（1）求作：△ABC 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，BC ＝6，则S ⊙O ＝ ．
【解答】解：（1）如图⊙O 即为所求．
（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ． 由题意OE ＝4，BE ＝EC ＝3， 在Rt △OBE 中，OB ＝2
2
34 ＝5， ∴S 圆O ＝π•52＝25π． 故答案为25π．
5. （2018云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ．
（1）求证：AD ⊥ED ；
（2）若CD ＝4，AF ＝2，求⊙O 的半径．
【解答】（1）证明：连接OC ，如图， ∵AC 平分∠BAD ， ∴∠1＝∠2， ∵OA ＝OC ， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC ∥AD ，
∵ED 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥DE ， ∴AD ⊥ED ；
（2）解：OC 交BF 于H ，如图， ∵AB 为直径， ∴∠AFB ＝90°，
易得四边形CDFH 为矩形， ∴FH ＝CD ＝4，∠CHF ＝90°， ∴OH ⊥BF ， ∴BH ＝FH ＝4， ∴BF ＝8，
在Rt △ABF 中，AB ＝ 22AF BF +＝ 2228+＝217，
∴⊙O 的半径为17．
6. （2019•四川省凉山州•8分）如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．
【解答】解：（1）如图，连接OD ，BD ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3＋∠4＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1＋∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．
7. （2019•山东省德州市•12分）如图，∠BPD＝120°，点A.C分别在射线PB.PD上，∠P AC＝30°，AC ＝3．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A.C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留
作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段P A .PC 围成的封闭图形的面积．
【解答】解：（1）如图，
（2）已知：如图，∠BPD ＝120°，点A .C 分别在射线PB .PD 上，∠P AC ＝30°，AC ＝3过A .C 分别作PB .PD 的垂线，它们相交于O ，以OA 为半径作⊙O ，OA ⊥PB ，
求证：PB .PC 为⊙O 的切线；
证明：∵∠BPD ＝120°，P AC ＝30°，
∴∠PCA ＝30°，
∴P A ＝PC ，
连接OP ，
∵OA ⊥P A ，PC ⊥OC ，
∴∠P AO ＝∠PCO ＝90°，
∵OP ＝OP ，
∴Rt △P AO ≌Rt △PCO （HL ）
∴OA ＝OC ，
∴PB .PC 为⊙O 的切线；
（3）∵∠OAP ＝∠OCP ＝90°﹣30°＝60°，
∴△OAC 为等边三角形，
∴OA ＝AC ＝3AOC ＝60°，
∵OP 平分∠APC ，
∴∠APO ＝60°，
∴AP 33＝2，∴劣弧AC 与线段P A .PC 围成的封闭图形的面积＝S 四边形APCO ﹣S 形AOC ＝2×12×3×2260(23)360
＝3﹣2π．
8. （2019湖北省鄂州市）（10分）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O 于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，P B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△P AB的内心；
（3）若cos∠P AB＝
10
10
，BC＝1，求PO的长．
【解答】（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP ＝∠OAP ，
∵P A 为⊙O 的切线，
∴∠OAP ＝90°，
∴∠OBP ＝90°，
∴PB 是⊙O 的切线；
（2）证明：连结AE ，
∵P A 为⊙O 的切线，
∴∠P AE ＋∠OAE ＝90°，
∵AD ⊥ED ，
∴∠EAD ＋∠AED ＝90°，
∵OE ＝OA ，
∴∠OAE ＝∠AED ，
∴∠P AE ＝∠DAE ，即EA 平分∠P AD ，
∵P A 、PD 为⊙O 的切线，
∴PD 平分∠APB
∴E 为△P AB 的内心；
（3）解：∵∠P AB ＋∠BAC ＝90°，∠C ＋∠BAC ＝90°，
∴∠P AB ＝∠C ，
∴cos ∠C ＝cos ∠P AB
在Rt △ABC 中，cos ∠C ＝BC AC ＝1AC ，
∴AC AO ∵△P AO ∽△ABC ， ∴PO AO AC BC
，
∴PO ＝
AO AC BC 5．
9. 已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若＝，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．
【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴∠CFE＝∠CEF＝∠BDO＝∠BEO＝90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，
∵＝，
∴∠EOF＝∠DOE，
∴∠B＝∠C，AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，
∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE＝CE，
∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AF＝AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，
∴AD＝AF，BD＝CF，
∴DF∥BC，
∴＝，
∵AE＝＝4，
∴AM＝4×＝．
10. （2019•山东威海•12分）（1）方法选择
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝A C．求证：BD＝AD＋C D．
小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…
小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
【探究1】
如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝A C．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．
【探究2】
如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，B D．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．
（3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，B D．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．
【解答】解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴AM＝AD，
∵∠ABM＝∠ACD，
∵∠AMB＝∠ADC＝120°，
∴△ABM≌△ACD（AAS），
∴BM＝CD，
∴BD＝BM＋DM＝CD＋AD；
（2）类比探究：如图②，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
过A作AM⊥AD交BD于M，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝AD，∠AMD＝45°，
∴DM2AD，
∴∠AMB＝∠ADC＝135°，
∵∠ABM＝∠ACD，
∴△ABM≌△ACD（AAS），
∴BM＝CD，
∴BD ＝BM ＋DM ＝CD AD ；
【探究2】如图③，∵若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°，
过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，
∵∠ADB ＝∠ACB ＝60°，
∴∠AMD ＝30°，
∴MD ＝2AD ，
∵∠ABD ＝∠ACD ，∠AMB ＝∠ADC ＝150°，
∴△ABM ∽△ACD ，
∴BM CD ＝AB AC ，
∴BM ，
∴BD ＝BM ＋DM ＋2AD ；
故答案为：BD CD ＋2AD ；
（3）拓展猜想：BD ＝BM ＋DM ＝b c CD ＋b
a AD ； 理由：如图④，∵若BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC ＝90°，
过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，
∴∠MAD ＝90°，
∴∠BAM ＝∠DAC ，
∴△ABM ∽△ACD ， ∴
BM CD ＝AB AC ＝b
c ， ∴BM ＝b c CD ， ∵∠ADB ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠NAD ＝90°，
∴△ADM ∽△ACB ， ∴
AD DM ＝AC BC ＝b a
， ∴DM ＝b a AD ，
∴BD ＝BM ＋DM ＝b c CD ＋v A D ． 故答案为：BD ＝b c CD ＋b a AD。