人教版A高中数学必修第一册4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计(2)

【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂
教学设计（人教A版）
学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念,又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念,以及整数指数幂的运算法则。

有了这些知识作储备,教科书通过实际问题引入分数指数幂,说明了扩张指数范围的必要性。

课程目标
1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念、
2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值;
3. 掌握分数指数幂的运算性质。

数学学科素养
1.数学抽象:n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念;
2.逻辑推理:分数指数幂和根式之间的互化;
3.数学运算:利用分数指数幂的运算性质化简求值;
4.数学建模:通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质。

重点:（1）根式概念的理解;
（2）分数指数幂的理解;
（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.
难点:根式、分数指数幂概念的理解、
教学方法:以学生为主体,采用类比发现,诱思探究式教学,精讲多练。

教学工具:多媒体。

一、情景导入
我们已经知道…是正整数指数幂,它们的值分别为….那么,
的意义是什么呢?这正是我们将要学习的知识.下面,我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此,需要先学习根式的知识.
要求:让学生自由发言,教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本,引入新课
阅读课本104-106页,思考并完成以下问题 ( 1)n 次方根是怎样定义的?
( 2)根式的定义是什么?它有哪些性质?
( 3)有理数指数幂的含义是什么?怎样理解分数指数幂? ( 4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律? ( 5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简?
要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1、n 次方根
2、根式
( 1)定义:
叫做根式,这里n 叫做 根指数 ,a 叫做 被开方数 、 ( 2)性质:( n ＞1,且n ∈N *
)
23
111,(),(),
222111,,,248600010000100000
573057305730111(),(),()222
①( n
a )n
＝ a . ②n
a n
＝,,.a n a n ⎧⎨⎩
为奇数
为偶数
3、分数指数幂的意义
4、有
理数指数幂的运算性质
(
1)a r
a
s
＝a
r
＋s
( a ＞0,r ,s ∈Q)、
( 2)( a r )s
＝rs a ( a ＞0,r ,s ∈Q)、
( 3)( ab )r
＝r r
a b ( a ＞0,b ＞0,r ∈Q)、
四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简( 求值) 例1 求下列各式的值 【答案】
解题技巧
:（根式求值）
（1）化简√a n n
时,首先明确根指数n 是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简( √a n
)n 时,
(1)(2)
(3)
(4)
关键是明确√a n 是否有意义,只要√a n 有意义,则( √a n
)n=a.
( 2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a 的正负,再结合n 的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简
( 1)n (x －π)n ( x ＜π,n ∈N *);( 2)6
4a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 【答案】见解析
【解析】 ( 1)∵x ＜π,∴x －π＜0.
当n 为偶数时,n
(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ; 当n 为奇数时,n
(x －π)n ＝x －π. 综上可知,
n
(x －π)n
＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *. ( 2)∵a ≤1
2
,∴1－2a ≥0,
∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝3
1－2a . 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2 求值
【答案】见解析
【解析】
解题技巧:( 分数指数幂的运算技巧)
1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算
2
233
3
8(2)
=2323
2
24
⨯
===334()44162
()()813-⨯-=3227()38
-==
( 1)(12527)-2
3
; ( 2)0.008-
2
3
; ( 3)(81
2 401
)-
34
; ( 4)( 2a+1)0
; ( 5)[5
6-(35)-1
]-1. 【答案】见解析 【解析】( 1)(
12527
)-2
3
=(53
33)-
2
3
=5-23-2=32
52=9
25. ( 2)0.008
-
23
=( 0.23
)-2
3=0.2-2=(15)
-2=52=25.
( 3)(81
2 401)-
34
=(34
74)-
34
=3-37-3=73
33=34327
.
( 4)( 2a+1)0
={1,a ≠-1
2,无意义,a =-12.
( 5)[5
6-(35)-1
]-1=(56-53)-1=(-56)-1
=-6
5.
题型三 根式与分数指数幂的互化
例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）
【答案】见解析 【解析】
解题技巧:（根式与分数指数幂的互化）
（1）根指数化为分数指数的分母,被开方数
( 式)的指数化为分数指数的分子、
（2）在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题、 跟踪训练三
1、下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A 、－x ＝( －x )12
( x ＞0)
B.6y 2
＝y 13( y ＜0)
C 、x －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3( x ＞0)
D 、x －13
＝－3
x ( x ≠0)
【答案】C
【解析】 －x ＝－x 12
( x ＞0);6y 2＝[( y )2
]16
＝－y 13
( y ＜0);
2223
a a a ⋅=⋅2823
3
a
a
+
===42133
2
()a a
==
x －3
4＝( x －3)14
＝ 4
⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3( x ＞0);x 1
-3
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x —13
＝31
x ( x ≠0)、
题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例4 计算:0.064-1
3−(-78)0
+[( -2)3]-4
3+16
-0.75
+|-0.01|1
2.
【答案】143
80 【解析】原式=( 0.43
)
-
13-1+( -2)-4+( 24)-34+( 0.12)1
2=0.4-1
-1+
116+18+0.1=14380
. 解题技巧:（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）
( 1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序、
( 2)在明确根指数的奇偶( 或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算、 ( 3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示、 跟踪训练四
1.计算:(235)0+2-2
×(214)-1
2-( 0.01)0.5;
2 .化简:√a 7
2√a -33
÷√√a -83·√a 153
√√a -3·√a -13
( a>0).
【答案】见解析
【解析】( 1)原式=1+14×(4
9)12
−(1
100
)12
=1+16−110=16
15.
( 2)原式=√a 7
2·a -3
23
÷√a -8
3·a 15
3÷√a -3
2·a -1
23
=√a 23
÷√a 7
3
÷√a -23=a 23
÷(a 73
)12÷a -2
3
=a 23÷a 76÷a -23=a 23-76+23=a 1
6=√a 6
.
五、课堂小结 让学生总
结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书
设计
七、作业
课本109页习题4.1
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法,坚持“以学生为主体,以教师为主导”的原则,通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用,为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.。