2020春冀教版九年级数学下册 第30章 全章课后作业

2 (4)函数y＝axa2＋a的图像是开口向上的抛物线．
解：(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜
2 3
.
(3)由题意得|a＋2|＝

1 2
，
解得a1＝－
5 2
，a2＝－
3 2
.
(4)由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1.
又由题意知a＞0，∴a＝1.
15．已知一次函数y＝kx＋b与二次函数y＝ax2的图像如 图所示，其中一次函数的图像与x轴，y轴的交点分 别为A(2，0)，B(0，2)，直线与抛物线的交点分别 为P，Q，且它们的纵坐标的比为1∶4，求这两个 函数的表达式．
这两盏灯的水平距离．( 5≈2.24，结果精确到1 m)
解：由题意得点E，F的纵坐标为8，把y＝8代入y＝－
1 40
x2
＋10，解得x＝4 5或x＝－4 5，
所以EF＝|4 5－(－4 5 )|＝8 5 ≈
18(m)，即这两盏灯的水平距离约
为18 m.
30.2 二次函数的图像和性质
第三十章 二次函数
口方向与抛物线y＝－ 1 x2相同． 2
(1)确定a，k的值；
(2)画出抛物线y＝ax2＋k.
解：(1)由题意易知a＝－
1 2
，把点(0，2)的坐标代入y＝
1
－ 2 x2＋k，得k＝2.
(2)略．
15．【中考·衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与 直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上， 点B的横坐标为2，连接AM，BM. (1)求抛物线的函数表达式； (2)判断△ABM的形状，并说明理由．
－2时，函数有最大值．
14．已知抛物线y＝a(x－h)2向右平移3个单位长度后得 1
到抛物线y＝ 4 x2. (1)求a，h的值；
(2)写出抛物线y＝a(x－h)2的对称轴及顶点坐标． 解：(1)a＝ 1 ，h＝－3.
4 (2)抛物线y＝ 1 (x＋3)2的对称轴为x＝－3，顶点坐
4
标为(－3，0)．
30.2 二次函数的图像和性质
第三十章 二次函数
第4课时
二次函数y=a(x－h)2+k
∴S△ABC＝
1 2
AB·AC＝
1 2
×
2×
2 ＝1.
16．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图像与x轴交于点A， 与y轴交于点B. (1)写出点A，点B的坐标． (2)求S△AOB. (3)求出抛物线的对称轴． (4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶 点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标； 若不存在，请说明理由．
30.2 二次函数的图像和性质
第三十章 二次函数
பைடு நூலகம்
第2课时 二次函数y=ax2+c的 图像和性质
1 利用二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c的关系求函数表达式 2 利用二次函数图像上点的坐标求函数表达式 3 利用抛物线的特征探究存在性问题 4 利用二次函数的图像和性质解实际问题
14．抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是(0，2)，且形状及开
第3课时
二次函数y=a(x－h)2的
图像和性质
1 利用二次函数的图像和性质求函数表达式 2 利用二次函数的图像平移求函数表达式 3 利用二次函数图像的位置变换探究几何问题 4 利用二次函数的图像和性质解几何问题
13．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，且过点
(1，－3)．
(1)求抛物线的表达式．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，F是 CD上一点，且AE＝AF，设△AEF的面积为y，EC的 长为x，求y与x的函数关系式．
解：由已知条件可证Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE＝DF.∴EC＝FC＝x，BE＝DF＝4－x.
∴S△ABE＝S△ADF＝
1×4×(4－x)＝8－2x， 2
30.1 二次函数
第三十章 二次函数
1 利用二次函数的表达式建立实际问题模型 2 利用二次函数的表达式建立几何问题模型 3 利用二次函数探究最值问题 4 利用二次函数探究图形排列规律问题
13．某商店以每双42元的价格购进一种皮鞋，根据试销 得知这种皮鞋每天的销售量t(双)与每双的售价x(元) 之间可以看成一次函数关系：t＝－4x＋204.请写出 每天的销售利润y(元)与每双的售价x(元)之间的函数 表达式，并确定自变量x的取值范围．
解：(1)将A(2，4)的坐标代入y＝ax2得4＝4a，∴a＝1. ∴抛物线表达式为y＝x2.
(2)设有一点P(x，0)使△AOP为等腰三角形． 由题意知OA＝ 22 +42 ＝2 5 . 当OA＝OP时，OP＝2 5， ∴P(2 5，0)或P(－2 5，0)． 当OA＝AP时，(x－2)2＋16＝20， ∴x＝0(舍去)或x＝4.∴P(4，0)． 当OP＝AP时，x2＝(x－2)2＋16， ∴x＝5.∴P(5，0)． ∴当点P的坐标为(2 5，0)，(－2 5，0)，(4，0)或(5， 0)时，△AOP为等腰三角形．
解：(1)在y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y ＝4.∴点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)∵点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4.
∴S△AOB＝
1 2
OA·OB＝
1 2
×2×4＝4.
(3)抛物线的对称轴为x＝－2.
(4)存在．①以OA和OB为邻边可作平行四边形P1AOB， 易求得P1(－2，4)；②以AB和OB为邻边可作平行 四边形P2ABO，易求得P2(－2，－4)．
13．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数． (1)求m的值． (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？
解：
(1)根据题意，得
m2

3m

2

2,
m 3 0,
解得
m m

4或1, 3.
∴m＝－4或m＝1.
(2)∵函数图像的开口向下， ∴m＋3＜0. ∴m＜－3. ∴m＝－4. ∴当m＝－4时，该函数图像的开口向下．
解：把点A的坐标(2，0)和点B的坐标(0，2)分别代入y＝kx＋b，
得b2k2b. 0,
解得
k b

1, 2.
∴一次函数的表达式为y＝－x＋2.
设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，则y1∶y2＝
1∶4，∴y2＝4y1，即ax12 ax22＝1∶4. 又点Q在第二象限，点P在第一象限，∴x1∶x2＝－1∶2. ∴x2＝－2x1.∴点Q的坐标为(－2x1，4y1)． 把P，Q两点的坐标分别代入y＝－x＋2，
(3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0. ∴m＞－3.∴m＝1. ∴当m＝1时，该函数有最小值．
14．根据下列条件分别求a的值或取值范围．
(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值； (3)抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－ 1 x2的形状相同；
解：(1)S＝n2＋1.(2)是二次函数．
30.2 二次函数的图像和性质
第三十章 二次函数
第1课时 二次函数y=ax2的图 像和性质
1 利用二次函数y＝ax2的图像的特征解相关问题 2 利用二次函数y＝ax2的性质解相关问题 3 利用二次函数图像的几何特征求它的表达式 4 利用函数的图像探究存在性问题
x/m S/m2 设计费/元
解：(1)S＝x

12 2

x

＝－x2＋6x(0＜x＜6)．
(2)填表如下：
x/m S/m2
1
2
3
4
5
5
8
9
8
5
设计费/元 5 000 8 000 9 000 8 000 5 000
由表格可知，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
16．观察如图所示的构成规律． (1)如果第n个图中有S个圆，试写出S与n的函数表 达式； (2)这个函数是不是二次函数？
(2)画出函数的图像．
(3)从图像上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？
当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
解：(1)由题意知h＝－2.将点(1，－3)的坐标代入y＝a(x＋2)2
得a＝－
1 3
，所以抛物线的表达式为y＝－
1 3
(x＋2)2.
(2)图像略．(3)当x<－2时，y随x的增大而增大；当x＝
∴抛物线的表达式为y＝x2－1.
(2)△ABM为直角三角形，理由如下：由(1)中求得的抛物线
表达式为y＝x2－1可知M点的坐标为(0，－1)，
∴AM＝ 2 ，AB＝ 32 32 18 3 2,
BM＝ 22 3 (1)2 2 5,
∴AM2＋AB2＝2＋18＝20＝BM2.
坐标为(0，2)．
(2)不存在．理由：由已知条件易求出点A的坐标为(2，0)，
点B的坐标为(－2，0)，则OA＝OB＝2，又易知OC＝
2，故△OAC是等腰直角三角形．假设存在一点M，使
△MAC≌△OAC，∵AC为公共边，OA＝OC，∴点M
与点O关于直线AC对称，即四边形OAMC是正方形．
∴M点的坐标为(2，2)．当x＝2时，y＝－ 1 x2＋2＝
S△AEF＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△EFC＝16－2×(8－2x)
－
1 2
x2，即y＝－ 1 2
x2＋4x(0<x≤4)．
15．某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，设 计费为每平方米1 000元，设矩形一边的长为x m，面 积为S m2. (1)求S与x之间的函数表达式，并确定自变量x的取值 范围； (2)若要求设计的广告牌的边长为整数，请你填写下表， 并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
解：(1)∵A点为直线y＝x＋1与x轴的交点，∴A(－1，0)．又B 点的横坐标为2，代入y＝x＋1可求得y＝3，∴B(2，3)．
∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线的表达式为y＝ax2
＋c，把A，B两点坐标代入可得
a c 0, 4a c 3,
解得
a 1, c 1.
y＝x2－2ax＋a2.
又OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，
a2)，∴a2＝a.∵a≠0，∴a＝1.
(2)存在．由(1)可得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为
(0，1)，由抛物线的对称性可知，C点的坐标为(2，
1)，此时可求AB＝AC，∠BAC＝90°.
又易知AB＝AC＝ 2，
2
－
1 2
×22＋2＝0≠2，即点M不在抛物线y＝－
1 2
x2＋2
上．∴在抛物线上不存在点M，使△MAC≌△OAC.
17．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一座抛物线形
廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝ － 1 x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距
40
水面AB高为8 m的点E，F处要安装两盏警示灯，求
∴△ABM为直角三角形．
1 16．如图，抛物线y＝－ 2 x2＋2与x轴交于A，B两点，其
中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的
得
4y1y12xx1 122, .
解得

x1 y1

1, 1.
∴点P的坐标为(1，1)．把点P的坐标(1，1)代入y＝ax2，
得a＝1.∴二次函数的表达式为y＝x2.
16．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b在第一象限内交 于点A(2，4)． (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？ 若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由．
15．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点 为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． (1)求a的值． (2)在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰 直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求 S△ABC；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即
解：y与x之间的函数表达式为y＝(x－42)t＝(x－42)(－4x ＋204)＝－4x2＋372x－8 568. 因为进价为42元，所以x≥42. 而销售量t≥0，故－4x＋204≥0，即x≤51. 所以自变量x的取值范围为42≤x≤51.
本题最终要求的是y与x之间的函数表达式，即式 子中不应该含有t，于是，在运算过程中，应利 用t与x之间的函数表达式将t代换掉．