湖南省永州市2020届高三一模考试数学(文)试题 含解析

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【详解】依题意
z
1i i
1 i i i i
1 i
,故
z
的虚部为
1.
故选 B. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查虚部的概念,属于基础题.
-1-
3. 2 cos15 2 sin195 的值为( )
2
2
A. 3 2
1
B.
2
C. 3 2
D. 1 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式,化简得原式 cos(45 15) ,即可求解
4.设 x R ,则“ lg x 0 ”是“ 2x1 1”的( ).
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
分别解对数不等式和指数不等式,求得题目所给两个条件的等价条件,由此判断出正确选项.
【详解】由 lg x 0 解得 0 x 1 ;由 2x1 1 20 解得 x 1,所以“ 0 x 1 ”是“ x 1”
9.函数 f x x2 ex ex 的大致图象为 (
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数的奇偶性排除 B, D ,利用函数的单调性排除 C ,从而可得结果.
【详解】 f x x2 ex ex , f x (x)2 ex ex x2 ex ex f x ,
AF1
AF2
2a

c
2
.根据椭圆的定义
和三角形面积公式得
1
2
AF1
AF2
2
,解得 a2 6 ,所以
AF1 2 AF2 2 4c 2
b2 a2 c2 2 ,所以 a2 b2 6 2 8 .
故选:D.
【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆的定义,考查勾股定理,考查方
x
1
,所以样本容量为
10 1
40
.
4
4
故选:C.
【点睛】本小题主要考查由频率分布直方图小长方形的面积关系计算频率,考查样本容量的
计算,属于基础题.
7.若双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的离心率为
5 ,则其渐近线方程为(
).
A. y 6x
B. y 6x
C. y 2x
D. y 2x
f x 为奇函数,其图象关于原点对称,故排除 B, D , y x2 在 0, 上是增函数且 y 0 ,
-5-
y ex ex 在 0, 上是增函数且 y 0 ,
所以 f x x2 ex ex 在 0, 是增函数,排除 C ,故选 A.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
根据椭圆的对称性判断出 AF1BF2 是矩形,由此得到 2c F1F2 AB 4 ,根据三角形
F1 AF2 的面积,结合椭圆的定义求得 a2 的值,进而求得 b2 的值,从而求得 a2 b2 的值.
【详解】连接 BF1, BF2 ,根据椭圆的对称性可知 AF1BF2 是矩形,所以 2c F1F2 AB 4 ,
本关系式,属于基础题.
11.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元 222 年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,
介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角
三角形再加上中间的一个小正方形组成).类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形,
它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设
回答选择题时选出每小题答案后用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效10答案解析分析解一元二次不等式求得集合若复数z满足解析分析化简复数bi的形式由此求得cos15sin195解析分析利用三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式化简得原式45即可求解详解由题意得cos15sin195cos15sin18015cos15sin154515点睛本题主要考查了三角函数的诱导公式以及两角差的余弦公式的化简求值着重考查了推理与运算能力属于基础题既不充分也不必要条件答案解析分析分别解对数不等式和指数不等式求得题目所给两个条件的等价条件由此判断出正确选项点睛本小题主要考查充分必要条件的判断考查指数不等式和对数不等式的解法属于基础题解析分析画出可行域向下平移基准函数到可行域边界的位置由此求得目标函数的最小值点睛本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值考查数形结合的数学思想方法属于基础题且中间一组的频数为10则这个样本的容量是50答案解析分析设出中间小长方形的面积也即频率根据已知条件列方程求得中间小长方形的面积由此计算出样本容量详解设中间小长方形的面积为x则其它小长方形面积之和为3x所以样本容量为1040点睛本小题主要考查由频率分布直方图小长方形的面积关系计算频率考查样本容量的计算属于基础题解析分析根据双曲线离心率求得故渐近线方程为已知正方形abcd的边长为bc的中点babquuuruuur则向量pdpquuuruuur13答案解析分析pdpquuuruuur表示为cdcbuuuruur的线性和形式再结合向量数量积的运算求得pdpquuuruuur是线段bq的中点是线段bc的中点pdcdcbuuuruuuruuurpqcbcduuuruuuruuurpdpqcdcbcbcduuuuuruuururuuuruuuruuurcdcdcbcbuuuruuuruuuruuur点睛本小题主要考查平面向量加法和减法运算考查平面向量数量积的运算考查化归与转化的数学思想方法属于基础题解析分析利用函数的奇偶性排除利用函数的单调性排除c从而可得结果
【 详 解 】 由 2kπ π x π 2kπ π
2
6
2
,解得
2kπ 2π
2kπ π
3 x
3
,所以
-9-
2kπ
2kπ
2π 3 0
π 3π
4

0 k
1 3
8k
4 3
,由于
k
Z
,故
k
0
,所以
0
4 3
.
故填:
0,
4 3
.
【点睛】本小题主要考查已知三角函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围,考查化归 与转化的数学思想方法,属于基础题.
【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值,考查指数运算和根式运算,属于基础题.
14.已知各项均为正数的等比数列 an 满足 a5a6a7a8a9 32 ,则 a7 ______.
【答案】2 【解析】 【分析】
根据等比数列下标和的性质化简已知条件,由此求得 a7 的值.
【详解】由等比数列下标和的性质可知 a5a6a7a8a9 a75 32 ,解得 a7 2 . 故填: 2 .
【答案】D
【解析】
【分析】
c
b
根据双曲线离心率求得 ,进而求得 ,由此求得渐近线方程.
a
a
【详解】由于双曲线离心率为
5
,故
c a
5 ,即
1
b a
2
5
,解得
b a
2
,故渐近线
方程为 y 2x .
故选:D.
【点睛】本小题主要考查双曲线离心率,考查双曲线渐近线方程的求法,属于基础题.
8.已知正方形
ABCD
16.已知四面体 ABCD 的各棱长都为 4,点 E 是线段 BD 的中点,若球 O 是四面体 ABCD 的 外接球,过点 E 作球 O 的截面,则所得截面圆的面积取值范围是______.
【答案】4 ,6
【解析】 【分析】 先求得外接球的半径,然后根据球的截面计算出最小的截面圆和最大的截面圆的面积,由此 求得截面圆的面积取值范围.
【详解】画出可行域如下图所示,向下平移基准函数
3x
y
0
到可行域边界的
C
1 2Leabharlann ,1 2位
置,故 z 3x y 的最小值为 3 1 1 2 . 22
故选:A.
【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值,考查数形结合的数学思想方法,属
于基础题.
6.在样本频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,已知中间小长方形的面积是其余 4 个小长
PD
CD
1
CB
,
PQ
1
CB
2CD
.

2
2
-4-
PD PQ
CD
1 2
CB
1 2
CB
2CD
2 2CD
1 2
CD CB
1 4
2 CB
8 1
7
.
故选:C.
【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法运算,考查平面向量数量积的运算,考查化归
与转化的数学思想方法,属于基础题.
的充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查指数不等式和对数不等式的解法,属
于基础题.
2x 1 0
5.已知实数
x

y
满足
x
y
0
,则 z 3x y 的最小值为(
).
x y 2 0
-2-
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
画出可行域,向下平移基准函数 3x y 0 到可行域边界的位置,由此求得目标函数的最小值.
求得三角形 ABC 的面积.
【 详 解 】 由 余 弦 定 理 得 cos C a2 b2 c2 2ab
3 , 所 以 sin C 2
1 cos2 C 1 , 由 2
bc sin
A
2sin C
得 SABC
1 bc sin 2
A
sin C
1 2
.
故选:B.
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查三角形面积公式,考查同角三角函数的基
【点睛】本小题主要考查等比数列下标和的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
15.已知函数
f
x
sin x
6
0
在区间
0,
1 4
上单调递增,则
的取值范围是
______.
【答案】
0,
4 3
【解析】 【分析】
根据正弦函数的单调递增区间求得
x
的取值范围,这个取值范围包含区间
0,
1 4
,由此列不
等式组,解不等式组求得 的取值范围.
的边长为
2,点
P

BC
的中点,BA
1
BQ
,则向量
PD
PQ

).
2
A. 1
B. 5
C. 7
D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】
uuur uur
将 PD, PQ 表示为 CD,CB 的线性和形式,再结合向量数量积的运算,求得 PD PQ 的值.
【详解】画出图像如下图所示,依题意可知 A 是线段 BQ 的中点, P 是线段 BC 的中点.故
【详解】由题意,得 2 cos15 2 sin195 2 cos15 2 sin(180 +15 )
2
2
2
2
2 cos15 2 sin15 cos(45 15 ) cos 30 3 ,故选 A.
2
2
2
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式,以及两角差的余弦公式的化简求值,着重考
查了推理与运算能力,属于基础题.
程的思想,考查椭圆的几何性质,属于基础题.
二、填空题:
13.已知函数
f
x
2x ,
x
0
,则 f f 2 ______.
2 x, x 0
【答案】1
【解析】
-8-
【分析】
先求得 f 2 的值,进而求得 f f 2 的值.
【详解】依题意
f
2
22
1 4

f
1 4
2
1 2 1 1. 42
故填:1.
1
方形面积之和的 ,且中间一组的频数为 10,则这个样本的容量是( ).
3
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】
设出中间小长方形的面积,也即频率,根据已知条件列方程,求得中间小长方形的面积,由
-3-
此计算出样本容量.
【详解】设中间小长方形的面积为 x ,则其它小长方形面积之和为 3x ,故 x 3x 1,解得
1.已知集合 A x x2 4x 0 , B 1, 0,1 ,则 A B ( ).
A. 0,1
B. 1
C. 1,0,1
D. 1, 0
【答案】B 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得集合 A ,由此求得两个集合的交集.
【详解】由 x2 4x x x 4 0 解得 0 x 4 ,故 A B 1 .
4
4
AD 2, BD 1, ADB 120 ,由余弦定理得 AB 4 1 2 21 cos120 7 ,故大
等边三角形的面积为 3 7 2 7 3 .故在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等
4
4
3 边三角形的概率是 4 1 .
73 7
4
故选 C. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查等边三角形的面积公式,考查几何概型的 计算,属于基础题.
【详解】设等边三角形 BCD 的外心为 O1 ,正四面体 ABCD 外接球的球心为 O ,高为 O1A .
2
设 球 的 半 径 为 R , 由 OB2 O1B2 OO12 得 R2 O1B2 AB2 O1B2 R ,
故选 B.
【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.
2.若复数 z 满足 z i 1 i ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部为( ).
A. 0
B. 1
C. i
【答案】B
D. 1 i 2
【解析】
【分析】
化简复数 z 为 a bi 的形式,由此求得 z 的虚部.
DF AF 1,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是( ).
-6-
1
A.
5
【答案】C
1
B.
6
1
C.
7
1
D.
8
【解析】
【分析】
分别计算出小等边三角形和大等边三角形的面积,再根据几何概型概率计算公式,计算出所
求的概率.
【 详 解 】 依 题 意 可 知 小 等 边 三 角 形 的 面 积 为 3 12 3 . 在 三 角 形 ABD 中
12.已知
F1

F2
为椭圆
C

x a
2 2
y2 b2
1a
b
0 的左右焦点,过原点 O 的直线 l 与椭圆 C
交于 A , B 两点,若 AF1 AF2 S , F1AF2 2 , AB 4 ,则 a2 b2 (
A. 36
B. 12
C. 10
【答案】D
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