高中数学 数列 习题课2 数列求和高效测评 新人教A版必修5

2016-2017学年高中数学 第二章 数列 习题课2 数列求和高效测评
新人教A 版必修
5
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为5
4
，则S 5等于( ) A ．35 B ．33 C ．31
D ．29
解析： 设{a n }的公比为q ，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q ·a 1q 2
＝2a 1，a 1q 3＋2a 1q 6
＝52，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝16，q ＝1
2
.
∴S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12
＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝31，故选C.
答案： C
2．数列{(－1)n
n }的前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A ．1 006 B ．－1 006 C ．2 012
D ．－2 012
解析： S 2 012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 011＋2 012)＝1 006. 答案： A
3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1
n ＋n ＋1
，若前n 项和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121
解析： ∵a n ＝
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ，
∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，
令n ＋1－1＝10，得n ＝120.
答案： C
4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，1
1＋2＋…＋n 的前n 项和为( )
A ．2n
2n ＋1 B ．2n n ＋1
C.
n ＋2
n ＋1
D ．n
2n ＋1 解析： 该数列的通项为a n ＝
2n
n ＋
，
分裂为两项差的形式为a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1，令n ＝1,2,3，…，
则S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－1
4＋…＋1n －1n ＋1，
∴S n ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n
n ＋1
. 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则数列
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ·a n ＋1的前n 项和S n ＝________. 解析： a n ＝2n －1， ∴
1
a n a n ＋1
＝
1
n －n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1.
∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－1
5＋…＋12n －1－12n ＋1
＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n ＋1
＝
n 2n ＋1
. 答案：
n 2n ＋1
6．求和：S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1
4＋…＋12n －1＝
________.
解析： 被求和式的第k 项为：
a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫12k 1－12＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12k . 所以S n ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋1
2
3＋ (12)
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n
1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n
＝2n ＋
12
n －1
－2.
答案： 2n ＋1
2
n －1－2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解析： (1)设q 为等比数列{a n }的公比， 则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2
＝2q ＋4，
即q 2
－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1
＝2n (n ∈N *
)．
(2)易知b n ＝2n －1， 则S n ＝
－2n
1－2
＋n ×1＋
n n －
2
×2＝2
n ＋1
＋n 2
－2.
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＝n 2
＋n . (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 的前n 项和为T n ，求证T n <1.
解析： (1)∵S n ＝n 2
＋n ，
∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
＋n －(n －1)2
－(n －1)＝2n ， 又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *
)．
(2)证明：∵S n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴1S n ＝
1n
n ＋＝1n －1n ＋1
，
∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1＝1－1n ＋1. ∵n ∈N *
，∴
1
n ＋1
>0，即T n <1.
尖子生题库
☆☆☆
9. (10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2
＋n ，n ∈N *
，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n
＋3，n ∈N *
.
(1)求a n ，b n ；
(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解析： (1)由S n ＝2n 2
＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 所以a n ＝4n －1，n ∈N *.
由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1
，n ∈N *
.
(2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2
n －1
，n ∈N *
，
所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1
，
2T n ＝3×2＋7×22
＋…＋(4n －5)·2
n －1
＋(4n －1)·2n
，
所以2T n －T n ＝(4n －1)2n
－[3＋4(2＋22
＋…＋2n －1
)]
＝(4n －5)2n
＋5.
故T n ＝(4n －5)2n
＋5，n ∈N *
.。