用二分法求方程的近似解课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[思路探究] 1．方程f(x)＝0在区间[a，b]内有解应具备什么条件？ 2．是否可按照用二分法求函数零点近似值的步骤来求方 程f(x)＝0的近似解？
[边听边记] 令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε. 第二步：求区间(a，b)的中点c. 第三步：计算f(c)． (1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0， 则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解
1．二分法
对 于 在 区 间 [ a ， b ] 上 _ _ _ _ _连_ 续_ _不_ _断_ 且 _ _ _ _f(_a_)·_f(_b_)<_0_ _ 的 函 数 y ＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 _一_ _分_ _为_ 二_ _ _ _ ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼 近 _零_ _点_ _ _ _ ， 进 而 得到零点近似值的方法叫做二分法．
如此继续下去，如下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5) (1.25,1.375)
1.375 1.312 5
0.22 －0.05
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.08
因为|1.328 12(15 －.311.23250,131.32453| ＝705.)007 812 51<.03.2081 ，125
c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两 个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似 值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点；中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
答案： 1.562 5
二分法的概念
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
[思路探究] 1．二分法的实质是什么？ 2．函数具有零点与该函数的图象有何关系？
解析： 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值 异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案： B
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号 零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零 点不适用．
用二分法求函数零点的近似值
用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01)
0.01
所
以
函
数
f
(
x
)
＝
x(31－.3x1－21 5精,确1.度32为80 125)
.
0
1
的
一
个1近.3似20零3点1可2
取5
为
1
.
3
2
8
125.
－0.02
1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估
计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，
函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方 程成立很显然．要求方程近似解，先看零点的区间，每次 区间分为二，分后两端近零点．
1．下列函数零点不宜用二分法的是( )
A．f(x)＝x3－8
B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2 2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x＋1
解析： 由题意知选 C. 答案： C
2．用二分法求方程 f(x)＝0 在(1,2)内近似解的过程中得
f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间( )
据此数据，可得方程 3x－x－4＝0 的一个近似解(精确度 0.01)可取________．
解析： f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2,1.562 5)上，且满足精确度0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表：
(a，b)
中点 c
f(a)
f(b)
a＋b
f
2
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5，0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75) >0 f(0.625) <0
(3)若f(c)·f(b)<0，
则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． 第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四
步．
对二分法定义的理解 (1)二分法的基本思想：逼近思想； (2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
(0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75) >0 f(0.687 5) <0
(0.687 5，0.75)
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以 0.75 可作为方程的
一个正实数近似解．
二分法的记忆口诀
[思路探究] 1．在用二分法求函数的零点时，将选取的初始区间等分 的次数由哪个因素决定？ 2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点的初始区间 是唯一的吗？
解析： 经计算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0， 因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)，
A．(1.25,1.5)
B．(1,1.25)
C．(1.5,2)
D．不能确定
解析： 由题意知 f(1.25)·f(1.5)<0，
∴方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选 A.
答案： A
3．用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数 据如下：
f(1.600 0) ＝0.200 f(1.587 5) ＝0.133 f(1.575 0) ＝0.067 f(1.562 5) ＝0.003 f(1.556 2) ＝－0.029 f(1.550 0) ＝－0.060
[边听边记] 令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0， 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε. 第二步：求区间(a，b)的中点c. 第三步：计算f(c)． (1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0， 则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解
1．二分法
对 于 在 区 间 [ a ， b ] 上 _ _ _ _ _连_ 续_ _不_ _断_ 且 _ _ _ _f(_a_)·_f(_b_)<_0_ _ 的 函 数 y ＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 _一_ _分_ _为_ 二_ _ _ _ ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼 近 _零_ _点_ _ _ _ ， 进 而 得到零点近似值的方法叫做二分法．
如此继续下去，如下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5) (1.25,1.375)
1.375 1.312 5
0.22 －0.05
(1.312 5,1.375)
1.343 75
0.08
因为|1.328 12(15 －.311.23250,131.32453| ＝705.)007 812 51<.03.2081 ，125
c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两 个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似 值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点；中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
答案： 1.562 5
二分法的概念
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
[思路探究] 1．二分法的实质是什么？ 2．函数具有零点与该函数的图象有何关系？
解析： 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值 异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案： B
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号 零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零 点不适用．
用二分法求函数零点的近似值
用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01)
0.01
所
以
函
数
f
(
x
)
＝
x(31－.3x1－21 5精,确1.度32为80 125)
.
0
1
的
一
个1近.3似20零3点1可2
取5
为
1
.
3
2
8
125.
－0.02
1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估
计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，
函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方 程成立很显然．要求方程近似解，先看零点的区间，每次 区间分为二，分后两端近零点．
1．下列函数零点不宜用二分法的是( )
A．f(x)＝x3－8
B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2 2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x＋1
解析： 由题意知选 C. 答案： C
2．用二分法求方程 f(x)＝0 在(1,2)内近似解的过程中得
f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间( )
据此数据，可得方程 3x－x－4＝0 的一个近似解(精确度 0.01)可取________．
解析： f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2,1.562 5)上，且满足精确度0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表：
(a，b)
中点 c
f(a)
f(b)
a＋b
f
2
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5，0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75) >0 f(0.625) <0
(3)若f(c)·f(b)<0，
则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． 第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四
步．
对二分法定义的理解 (1)二分法的基本思想：逼近思想； (2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
(0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75) >0 f(0.687 5) <0
(0.687 5，0.75)
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以 0.75 可作为方程的
一个正实数近似解．
二分法的记忆口诀
[思路探究] 1．在用二分法求函数的零点时，将选取的初始区间等分 的次数由哪个因素决定？ 2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点的初始区间 是唯一的吗？
解析： 经计算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0， 因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)，
A．(1.25,1.5)
B．(1,1.25)
C．(1.5,2)
D．不能确定
解析： 由题意知 f(1.25)·f(1.5)<0，
∴方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选 A.
答案： A
3．用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数 据如下：
f(1.600 0) ＝0.200 f(1.587 5) ＝0.133 f(1.575 0) ＝0.067 f(1.562 5) ＝0.003 f(1.556 2) ＝－0.029 f(1.550 0) ＝－0.060