【课堂新坐标】2015届高考数学(理)一轮总复习课后限时自测：第7章-第5节 直线、平面垂直的判定及其性]

课后限时自测
A组基础训练
一、选择题
1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直【解析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．
【答案】 C
2．已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是()
A．3B．2C．1D．0
【解析】根据面面垂直的性质定理知，命题④正确；两平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线，故命题②正确，命题①③错误．
【答案】 B
3．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错
误．
平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．
AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.
【答案】 D
4．(2014·大连模拟)如图7－5－10，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()
图7－5－10
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC.
其中SD∩BD＝D，∴AC⊥面SDB，从而AC⊥SB.故A正确；易知B正确；设AC与DB交于O点，连结SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正确；由排除法可知选D.
【答案】 D
5．(2013·皖北协作区高三联考)已知l，m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()
A．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m
B．若l∥α，m∥β，l∥m，则α∥β
C．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m∥β
D．若l⊥α，m⊥β，l∥m，则α∥β
【解析】A中直线l，m平行，垂直，相交都有可能，所以错误；B中当α∩β＝a，l∥a，m∥a时，结论是错误的；C中m⊂β或者m，β相交，所以错误；D中m∥l，m⊥β，可得l⊥β，又因为l⊥α，所以β∥α，所以正确．【答案】 D
二、填空题
6．如图7－5－11，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC 的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．
图7－5－11
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
【解析】由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确．
【答案】③
7．如图7－5－12，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．
图7－5－12
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.
【解析】取AE的中点F，连接MF，NF，则MF∥DE，NF∥AB∥CE，从而平面MFN∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；
又AE⊥MF，AE⊥NF，所以AE⊥平面MFN，从而AE⊥MN，②正确；
又MN与AB是异面直线，则③错误．
【答案】①②
8．如图7－5－13，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
图7－5－13
【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D，∴为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)，设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.
【答案】a或2a
三、解答题
9．(2013·江西高考)如图7－5－14，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.
图7－5－14
(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；
(2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．
【解】 (1)证明 过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则
BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.
在Rt △BFE 中，BE ＝ 3.
在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.
在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC .
由BB 1⊥平面ABCD ，得BE ⊥BB 1，
所以BE ⊥平面BB 1C 1C .
(2)连接B 1E ，则三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.
在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.
同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32，
A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝23，
故S △A 1C 1E ＝3 5.
设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，
则三棱锥B 1－EA 1C 1的体积
V ＝13·d ·S △EA 1C 1＝5d ， 从而5d ＝2，d ＝105.
10．(2013·皖南八校高三第三次联考)如图7－5－15所示，已知四棱锥的侧棱PD ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在侧棱PC 上．
图7－5－15
(1)求证：BC ⊥平面BDP ；
(2)若tan ∠PCD ＝12，点M 是棱PC 的中点，求三棱锥M －BDP 的体积V M －
BDP .
【解】 (1)证明 由已知条件，得BD ＝BC ＝22，且BD 2＋BC 2＝16＝DC 2， 于是，BD ⊥BC .
因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故PD ⊥BC .
⎭
⎬⎫BD ⊥BC PD ⊥BC BD ∩PD ＝D ⇒BC ⊥平面BDP .
(2)过M 作MG ⊥DC 交DC 于点G .
由PD ⊥DC ，M 是PC 中点，知MG 是△DCP 的中位线，因此，MG ∥PD ，
MG ＝12PD .
所以MG ⊥平面BDC . 又tan ∠PCD ＝12，得PD ＝2，MG ＝12PD ＝1.
所以，V M －BDP ＝V P －BCD －V M －BCD ＝13×12×22×22×2－13×12×22×22
×1＝43.
B 组 能力提升
1．如图7－5－16所示，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A —BCD .则在三棱锥A —BCD 中，下列命题正确的是( )
图7－5－16
A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCD
C．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，
又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.
【答案】 D
2．如图7－5－17所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：
图7－5－17
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
【解析】由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，
又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF.故①②③正确．
【答案】①②③
3．(2013·浙江高考)如图7－5－18，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，P A＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．
图7－5－18
(1)证明：BD ⊥平面APC ；
(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；
(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC 的值．
【解】 (1)证明 设点O 为AC ，BD 的交点．
由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线，所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .
又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .
所以BD ⊥平面APC .
(2)连接OG .由(1)可知，OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．
由题意得OG ＝12P A ＝32.
在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝23， 所以OC ＝12AC ＝ 3.
在直角△OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝7－3＝2.
在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433
. 所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为433.
(3)因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG .
在直角△P AC 中，PC ＝ P A 2＋AC 2＝3＋12＝15，
所以GC ＝AC ·OC PC ＝23×315
＝2155.
315
5，所以PG
GC＝
3
2.
从而PG＝。