误差理论与测量平差基础第七章 间接平差
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例如在下图，我们选
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD
ห้องสมุดไป่ตู้
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ ˆ v1 ( X A X 3 ) 2 (Y A X 4 ) 2 L1 ˆ ˆ v 2 ( X B X 3 ) 2 (YB X 4 ) 2 L2 ˆ ˆ ˆ ˆ v3 ( X 1 X 3 ) 2 ( X 2 X 4 ) 2 L3 ˆ ˆ v 4 ( X A X 1 ) 2 (Y A X 2 ) 2 L4 ˆ ˆ v5 ( X B X 1 ) 2 (YB X 2 ) 2 L5
第七章——间接平差
1 A
ˆ ˆ v 2 AC AD v3 v4 v5 v6 v7 v8
ˆ ˆ X 2 YA X 4 YA arct an arct an L2 ˆ X ˆ X X X
3 A
ˆ ˆ YA X 4 YB X 4 ˆ ˆ DA DB arct an arct an L3 ˆ ˆ X A X3 XB X3 ˆ ˆ ˆ YB X 4 X2 X4 ˆ ˆ DB DC arct an arct an L4 ˆ ˆ X ˆ XB X3 X1 3 ˆ ˆ ˆ X4 X2 YA X 2 ˆ ˆ CD CA arct an arct an L5 ˆ X ˆ ˆ X3 X A X1 1 ˆ ˆ YA X 2 YB X 2 ˆ ˆ CA CB arct an arct an L6 ˆ ˆ X A X1 X B X1 ˆ ˆ X 4 YB X 2 YB ˆ ˆ BC BD arct an arct an L7 ˆ X ˆ X X3 X1 B B ˆ Y A YB X 4 YB ˆ BA BD arct an arct an L8 ˆ X XA XB X3 B
i
k
j
h
j
教材：7－4 习题：7.2.14
第七章——间接平差
例如右图所示的大地 四边形，其必要观测 数为4，图中待定点坐 标也是4，故选：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD
于是，误差方程为： ˆ YB Y A X 2 YA ˆ v1 AB AC arct an arct an L1 ˆ X XB XA X1 A
YAB 2 A AB
ˆ v Z AB X 3 Z A Z AB ˆ v X AC X 4 X A X AC ˆ v X Y Y ˆ v Z AC X 6 Z A Z AC ˆ v X AD X 7 X A X AD ˆ v X Y Y ˆ v Z AD X 9 Z A Z AD
第七章——间接平差
2、随机模型 间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即 2 2 DLL 0 QLL 0 P 1
nn nn nn
3、基础方程及其解
误差方程的个数为观测值的个数n，而未知数的个数为n+t > n。 所以误差方程有无穷组解。而满足 V T PV min
基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。 为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得
ˆ B T PBx B T Pl 0
因为 rk (BT PB) rk (B) t ，所以上式有唯一解。 令 T T
N BB B PB, W B Pl
1 ˆ x N BBW
则
第七章——间接平差
rk ( B) t
ˆ b1 t1 x1 L1 d1 ˆ b2 t 2 x2 L2 d 2 ˆ , x , l x L d bn t n n ˆt n
习题：7.2.15
第七章——间接平差
（2）、GPS网三维无约束平差
在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 i作为参考点，则该点 在WGS84系下的三维坐标 X i、Yi、Z i 可看作已知数据，其余各点 作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、 Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数 为 t 3(m 1) ，因此，可选 m 1 个点的坐标平差值作为参数。 如图，以A点为参考点，即 X A , YA , Z A 已知，则t个参数为：
教材：7－5 习题：7.2.16
第七章——间接平差
（5）、导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m（m为待 定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两 类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程 两类。可以先列角度误差方程：
ˆ ˆ ˆ ˆ Y j Yi Yk Yi ˆ ˆ vi ik ij arctan arctan Li ˆ ˆ ˆ ˆ Xk Xi X j Xi
3 1 2
ˆ ˆ 令X i X i0 xi，则有 ˆ v1 x1 l1
3
ˆ v 4 X 2 h4 H C ˆ v5 X 2 h5 H D
其中：
ˆ v 2 x1 l 2 ˆ ˆ v3 x1 x 2 l 3 ˆ v4 x2 l4 ˆ v5 x 2 l5
第七章——间接平差
第七章
§7-1 间接平差原理
间接平差
§7-2 误差方程
§7-3 非线性误差方程的线性化 §7-4 精度评定
第七章——间接平差
§7-1 间接平差原理
1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为
式中：
ˆ V B x l
n1 nt t 1 n1
且
v1 a1 v2 a2 V , B v a n n
第七章——间接平差
§7-2 误差方程
间接平差的关键是列误差方程，而列误差方 程的关键是选择待估参数（未知数）。
1、未知数的个数 在间接平差中，未知数的个数等于必要观测数t。 2、未知数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。
第七章——间接平差
H 01 H B h2 5.053m p H 02 H A h7 8.452m p H 03 H C h4 7.450m p
观测值见下表，试列出误差方程。 1 2
1.100
3
2.398
4
0.200
(m)
5
6
3.404
7
3.452
hi
0.050
1.000
第七章——间接平差
ˆ 由上式解出参数 x 后，代入误差方程可得到改正数V。 进而可求得观测值的平差值：
ˆ L L V
间接平差的计算步骤
1、根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程； 5、计算改正数V； ˆ 6、计算观测值的平差值 L L V
教材：7－1，7－2 习题：7.1.04，7.1.05
YAD 8 A AD YAC 5 A AC
ˆ ˆ v X BC X 1 X 4 X BC ˆ ˆ v YBC X 2 X 5 YBC ˆ ˆ v X X Z ˆ ˆ v X BD X 1 X 7 X BD ˆ ˆ v YBD X 2 X 8 YBD ˆ ˆ v X X Z ˆ ˆ v X CD X 4 X 7 X CD ˆ ˆ v YCD X 5 X 8 YCD ˆ ˆ v X X Z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 解：设 X 1 H p , X 2 H p , X 3 H p
1 2
3
0 X i0 H pi
于是误差方程为：
ˆ v1 x1 3 ˆ v2 x1 0 ˆ ˆ v3 x1 x3 1 ˆ v4 x3 0 ˆ ˆ v5 x2 x3 2 ˆ ˆ v6 x1 x2 5 ˆ v7 x 2 0
Z CD 6 9 CD Z BD 3 9 BD Z BC 3 6 BC
第七章——间接平差
（3）、三角网
在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值 h 作为待估参数，即t=2m 。 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 L j 地，角度观测值可由右图 k 表示，于是有： ˆ ˆ ˆ ˆ Yk Y j Yh Y j ˆ ˆ vi jk jh arctan arctan Li ˆ X ˆ ˆ X ˆ X X
0 l1 h1 H A X 10 , l2 h2 H B X 10 , l3 h3 X 10 X 2 0 0 l4 h4 H C X 2 , l5 h5 H D X 2
第七章——间接平差
例：水准网如右图所示，已知 H A =5.000m， B =3.953m， H H C =7.650m。各点的近似高程为：
再列边长误差方程。
ˆ ˆ ˆ ˆ vi ( X i X j ) 2 (Yi Y j ) 2 Li
第七章——间接平差
（6）、拟合模型 a、曲线拟合 如图，观测了很多散点，要求将其拟合成一条曲线。 2 3 设此曲线为： yi a0 a1 xi a2 xi a3 xi
解只有一组。由于向量V是向量 的方法有：
ˆ x
的函数，按数学上求自由极值
V T PV V T PV V V 2V T P 2V T PB 0 ˆ ˆ ˆ x V x x
第七章——间接平差
转置后得：
B T PV 0
将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：
B T PV 0 ˆ l V Bx
第七章——间接平差
（4）、三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m个 待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m 。一般地， 边长观测值可由下图表示，于是有：
k
S
i
j
ˆ ˆ ˆ ˆ vi ( X k X j ) 2 (Yk Y j ) 2 S i
第七章——间接平差
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立 （1）、水准网 在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差值作为 待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 数关系。如图，选
ˆ ˆ ˆ ˆ X1 H E , X 2 H F
第七章——间接平差
于是有： ˆ v1 X 1 h1 H A ˆ v 2 X 1 h2 H B ˆ ˆ v X X h
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X B , X 2 YB , X 3 Z B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 4 X C , X 5 YC , X 6 Z C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X X ,X Y ,X Z
7 D 8 D 9
D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ v X AB X 1 X A X AB ˆ v X Y Y
第七章——间接平差
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合的误 差方程为：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD
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第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ ˆ v1 ( X A X 3 ) 2 (Y A X 4 ) 2 L1 ˆ ˆ v 2 ( X B X 3 ) 2 (YB X 4 ) 2 L2 ˆ ˆ ˆ ˆ v3 ( X 1 X 3 ) 2 ( X 2 X 4 ) 2 L3 ˆ ˆ v 4 ( X A X 1 ) 2 (Y A X 2 ) 2 L4 ˆ ˆ v5 ( X B X 1 ) 2 (YB X 2 ) 2 L5
第七章——间接平差
1 A
ˆ ˆ v 2 AC AD v3 v4 v5 v6 v7 v8
ˆ ˆ X 2 YA X 4 YA arct an arct an L2 ˆ X ˆ X X X
3 A
ˆ ˆ YA X 4 YB X 4 ˆ ˆ DA DB arct an arct an L3 ˆ ˆ X A X3 XB X3 ˆ ˆ ˆ YB X 4 X2 X4 ˆ ˆ DB DC arct an arct an L4 ˆ ˆ X ˆ XB X3 X1 3 ˆ ˆ ˆ X4 X2 YA X 2 ˆ ˆ CD CA arct an arct an L5 ˆ X ˆ ˆ X3 X A X1 1 ˆ ˆ YA X 2 YB X 2 ˆ ˆ CA CB arct an arct an L6 ˆ ˆ X A X1 X B X1 ˆ ˆ X 4 YB X 2 YB ˆ ˆ BC BD arct an arct an L7 ˆ X ˆ X X3 X1 B B ˆ Y A YB X 4 YB ˆ BA BD arct an arct an L8 ˆ X XA XB X3 B
i
k
j
h
j
教材：7－4 习题：7.2.14
第七章——间接平差
例如右图所示的大地 四边形，其必要观测 数为4，图中待定点坐 标也是4，故选：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD
于是，误差方程为： ˆ YB Y A X 2 YA ˆ v1 AB AC arct an arct an L1 ˆ X XB XA X1 A
YAB 2 A AB
ˆ v Z AB X 3 Z A Z AB ˆ v X AC X 4 X A X AC ˆ v X Y Y ˆ v Z AC X 6 Z A Z AC ˆ v X AD X 7 X A X AD ˆ v X Y Y ˆ v Z AD X 9 Z A Z AD
第七章——间接平差
2、随机模型 间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即 2 2 DLL 0 QLL 0 P 1
nn nn nn
3、基础方程及其解
误差方程的个数为观测值的个数n，而未知数的个数为n+t > n。 所以误差方程有无穷组解。而满足 V T PV min
基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。 为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得
ˆ B T PBx B T Pl 0
因为 rk (BT PB) rk (B) t ，所以上式有唯一解。 令 T T
N BB B PB, W B Pl
1 ˆ x N BBW
则
第七章——间接平差
rk ( B) t
ˆ b1 t1 x1 L1 d1 ˆ b2 t 2 x2 L2 d 2 ˆ , x , l x L d bn t n n ˆt n
习题：7.2.15
第七章——间接平差
（2）、GPS网三维无约束平差
在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 i作为参考点，则该点 在WGS84系下的三维坐标 X i、Yi、Z i 可看作已知数据，其余各点 作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、 Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数 为 t 3(m 1) ，因此，可选 m 1 个点的坐标平差值作为参数。 如图，以A点为参考点，即 X A , YA , Z A 已知，则t个参数为：
教材：7－5 习题：7.2.16
第七章——间接平差
（5）、导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m（m为待 定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两 类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程 两类。可以先列角度误差方程：
ˆ ˆ ˆ ˆ Y j Yi Yk Yi ˆ ˆ vi ik ij arctan arctan Li ˆ ˆ ˆ ˆ Xk Xi X j Xi
3 1 2
ˆ ˆ 令X i X i0 xi，则有 ˆ v1 x1 l1
3
ˆ v 4 X 2 h4 H C ˆ v5 X 2 h5 H D
其中：
ˆ v 2 x1 l 2 ˆ ˆ v3 x1 x 2 l 3 ˆ v4 x2 l4 ˆ v5 x 2 l5
第七章——间接平差
第七章
§7-1 间接平差原理
间接平差
§7-2 误差方程
§7-3 非线性误差方程的线性化 §7-4 精度评定
第七章——间接平差
§7-1 间接平差原理
1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为
式中：
ˆ V B x l
n1 nt t 1 n1
且
v1 a1 v2 a2 V , B v a n n
第七章——间接平差
§7-2 误差方程
间接平差的关键是列误差方程，而列误差方 程的关键是选择待估参数（未知数）。
1、未知数的个数 在间接平差中，未知数的个数等于必要观测数t。 2、未知数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。
第七章——间接平差
H 01 H B h2 5.053m p H 02 H A h7 8.452m p H 03 H C h4 7.450m p
观测值见下表，试列出误差方程。 1 2
1.100
3
2.398
4
0.200
(m)
5
6
3.404
7
3.452
hi
0.050
1.000
第七章——间接平差
ˆ 由上式解出参数 x 后，代入误差方程可得到改正数V。 进而可求得观测值的平差值：
ˆ L L V
间接平差的计算步骤
1、根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程； 5、计算改正数V； ˆ 6、计算观测值的平差值 L L V
教材：7－1，7－2 习题：7.1.04，7.1.05
YAD 8 A AD YAC 5 A AC
ˆ ˆ v X BC X 1 X 4 X BC ˆ ˆ v YBC X 2 X 5 YBC ˆ ˆ v X X Z ˆ ˆ v X BD X 1 X 7 X BD ˆ ˆ v YBD X 2 X 8 YBD ˆ ˆ v X X Z ˆ ˆ v X CD X 4 X 7 X CD ˆ ˆ v YCD X 5 X 8 YCD ˆ ˆ v X X Z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 解：设 X 1 H p , X 2 H p , X 3 H p
1 2
3
0 X i0 H pi
于是误差方程为：
ˆ v1 x1 3 ˆ v2 x1 0 ˆ ˆ v3 x1 x3 1 ˆ v4 x3 0 ˆ ˆ v5 x2 x3 2 ˆ ˆ v6 x1 x2 5 ˆ v7 x 2 0
Z CD 6 9 CD Z BD 3 9 BD Z BC 3 6 BC
第七章——间接平差
（3）、三角网
在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值 h 作为待估参数，即t=2m 。 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 L j 地，角度观测值可由右图 k 表示，于是有： ˆ ˆ ˆ ˆ Yk Y j Yh Y j ˆ ˆ vi jk jh arctan arctan Li ˆ X ˆ ˆ X ˆ X X
0 l1 h1 H A X 10 , l2 h2 H B X 10 , l3 h3 X 10 X 2 0 0 l4 h4 H C X 2 , l5 h5 H D X 2
第七章——间接平差
例：水准网如右图所示，已知 H A =5.000m， B =3.953m， H H C =7.650m。各点的近似高程为：
再列边长误差方程。
ˆ ˆ ˆ ˆ vi ( X i X j ) 2 (Yi Y j ) 2 Li
第七章——间接平差
（6）、拟合模型 a、曲线拟合 如图，观测了很多散点，要求将其拟合成一条曲线。 2 3 设此曲线为： yi a0 a1 xi a2 xi a3 xi
解只有一组。由于向量V是向量 的方法有：
ˆ x
的函数，按数学上求自由极值
V T PV V T PV V V 2V T P 2V T PB 0 ˆ ˆ ˆ x V x x
第七章——间接平差
转置后得：
B T PV 0
将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：
B T PV 0 ˆ l V Bx
第七章——间接平差
（4）、三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m个 待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m 。一般地， 边长观测值可由下图表示，于是有：
k
S
i
j
ˆ ˆ ˆ ˆ vi ( X k X j ) 2 (Yk Y j ) 2 S i
第七章——间接平差
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立 （1）、水准网 在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差值作为 待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 数关系。如图，选
ˆ ˆ ˆ ˆ X1 H E , X 2 H F
第七章——间接平差
于是有： ˆ v1 X 1 h1 H A ˆ v 2 X 1 h2 H B ˆ ˆ v X X h
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X B , X 2 YB , X 3 Z B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 4 X C , X 5 YC , X 6 Z C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X X ,X Y ,X Z
7 D 8 D 9
D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
ˆ v X AB X 1 X A X AB ˆ v X Y Y
第七章——间接平差
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合的误 差方程为：