圆的标准方程

2 2 2
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支 撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m) y
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0， b）,圆的半径是r ,则圆的 方程是x2+(y-b)2=r2 。 把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得：b= -10.5 r2=14.52 102+(0-b)2=r2 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
故所求圆的方程为 ( x 5)2 ( y 6)2 10
例1、求以c(1,3）为圆心，并和直线 3x - 4y - 6 =0相切的圆的方程。
: 解: 设所求圆的方程为 ( x 1) ( y 3) r
2 2 2
Y
C(1、3)
圆心C(1,3)到直线3x 4 y 6 0的距离 0
. 练习: 求过点C(1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的方程
为( x a) y r . 解: 依题意设所求圆的方程
2 2 2
解方程组:
(1 a) 1 r 2 2 2 (1 a) 3 r
2 2
2
得a 2, r 10,
2
故所求圆的方程为 ( x 2) y 10.
由两点间的距离公式，点M适 合的条件可表示为：
C(a,b) o x
( x a ) ( y b) r
2 2
两边平方得：
2 2 2 (x-a) +(y-b) =r
这就是所求圆C的标准方程
想一想：如果圆心在坐标原点，半径为r 的圆，其标准方程是什么？
圆心在原点，半径为r的圆的标准方程
x y r
2 2
2 2 2
2
2
0 y 7.2
练习:赵州桥的跨度为37.4米，拱高7.2米， 求这座圆拱桥的拱圆所在的圆方程。 , 设圆心坐标为 (0, b), 半 解: 建立如图直角坐标系
径为r , 得圆的方程为
Y
0
X
x ( y b) r
2 2
2
依题意点O, B的坐标为 (0,0), (18.7,7.2).
（3）点P在圆外 x0 a y0 b r
2 2
2
练习:已知圆经过A(2,-2），圆心在C(-2,1）,求圆的方程。
解:
设
( x 2) ( y 1) r
2 2
2
Y
C（-2,1）
故所求圆的方程为( x+2 ) ( y-1 ) 25
2 2
Q点A（2，-2）在圆上代入圆的方程得 2 r 25
代入圆的方程得
2
A 18.7,7.2
B18.7,7.2
0 (0 b) r
2
2
2
2 2
18.7 (7.2 b) r 2 2 b 27.88, r 27.88 . 7.2 y 0 2 2 2 所求圆的方程为 x ( y 27.88) 27.88
的切线方程为 x0 x y0 y r 2 2 (2)求圆x y 1, 斜率为 1的切线方程 . 解: 设所求切线方程为 y x b.
2
(3)求圆x y 1, 在y轴上的斜距为 2的切线方程 . y kx 2. 解: 设所求切线方程为
2 2
|b| 则 1 2
b 2
y y0 k ( x x0 ) 解二: 如图, 设切线方程为 则圆心O到切线kx y y0 kx0 0的距离为r.
0
M ( x0 , y0 )
X
2
r
| k 0 0 y0 kx0 |
2
k 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k x0 2kx0 y0 y0 k x0 k y0 x0 y0
2 2
2 2 2 已知圆的方程是 x y r , 求经过圆上一点 例2 M ( x0 , y0 )的切线方程 . Y
y y0 k ( x x0 ) 解一: 如图, 设切线方程为
M ( x0 , y0 )
半径OM的斜率为kOM
x0 因OM垂直于圆的切线 , 所以k y0 x0 切线方程为y y0 ( x x0 ) y0
2.3.1 圆的标准方程
一、复习提问
1、 P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
ห้องสมุดไป่ตู้
d
| Ax0 By 0 C | A B
2 2
2、两条平行线间的距离
d C2 C1 A B
2 2
二、问 题 情 境
• 在初中我们已经学过圆的定义（从轨迹的 角度来描述） • 今天我们要来学习如何求圆的标准方程。
(1,0)
(-1,2) 6 3
(-a,0)
|a|
点P(x0,y0)与圆 x a y b r 2 的位置关系
2 2
（1）点P在圆上 x0 a y0 b r
2 2
2
2 x a y b r 0 0 （2）点P在圆内 2 2
x

把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
练习:赵州桥的跨度为37.4米，拱高7.2米， 求这座圆拱桥的拱圆所在的圆方程。 YD , 设圆心坐标 解: 建立如图直角坐标系
2 2 2
Y
C(-1,2) X
所求圆的方程为:(x+1)2+(y-2)2=1
-1 0
八 小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a)2 + (y-b)2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数， 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于 由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利 用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的 方程解决实际问题。
X
r
| 3 1 4 3 6 | 3 4
2 2
3x-4y-6=0
3,
2 2
故所求圆的方程为 : ( x 1) ( y 3) 9
练习:求圆心在（-1, 2），与y轴相切的圆的方程
: 解: 设所求圆的方程为 ( x 1) ( y 2) r 因圆与y轴相切, 故圆的半径为 1,
为(0, b), 半径为r , 得圆的方程为
A r
0 C
x ( y b) r
2 2
2
2
B X
依题意点D, B的坐标为(0,7.2), (18.7,0).
0 ( 7 .2 b ) r 代入圆的方程得 18.7 (0 b) r b 20.68, r 27.88 . 2 2 2 所求圆的方程为x ( y 20.68) 27.88
0
X ） P（2,-2
练习:已知两点A(4,9),B(6,3),求以 可用两点间距离公式求r AB为直径的圆的方程. Y A(4、9) 解: 设AB的中点为(a, b)
46 93 则a 5, b 6. 2 2
B(6、3)
0
X
设圆的方程为 (2 x ( 3 )2 (2y 6 r 2 , 把点B(6,3)代入得r 2 . AB (6 4) 3 9) 2)210
P2
y P
(0, b),圆的半径为 r, 那么圆的方程为
x ( y b) r
2 2
2
A
A1 A2 o A3 A4
B x
依题意点P, B的坐标为(0,4), (10,0).
(0,b)
代入圆的方程得
0 (4 b) r 2 2 b 10.5, r 14.5 . 2 2 2 10 (0 b) r 所求圆的方程为 x 2 ( y 10.5)2 14.52 把P2的横坐标x 2代入得y 3.86(m)
y X -2 0 +2 -1 0
(2)、(x+1)2+y2=1
y
X
C(0、0) r = 2
C(-1、0) r=1
练习2：写出下列圆的方程
（1、圆心在原点，半径为3。 （2）圆心在(3,4),半径为 5 解:
(1) x2+y2=9
(2) (x-3)2+(y-4)2=5
练习3. 写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1)(x-1)2+y2 =6 (2)(x+1)2+(y-2)2 =9 (3)(x+a)2+y2 =a2
2 2
2
o
y r M x
圆的标准方程
方程的特点：
( x a ) ( y b) r
2 2
2
1、 两个基本要素： 圆心坐标（a,b)
和半径 r
2、 确定了三个独立要素a,b,r， 即可确定圆 3、 当 a=b=0时方程为
x y r
2 2
2
练习1:(口答):求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4
圆的轨迹
圆的定义：
平面到与定点距离等于定 长的点的集合（轨迹）是圆。 定点就是圆心，定长就是半 径。
三、探求圆的标准方程：
根据圆的定义，我们来探求圆心 是C,半径是r的圆的方程。 y
r
C
M
O
x
圆心为 C (a, b) ，半径为 r
设M (x、y)为圆上任意点，
y
r
M(x,y)
根据定义，点M到圆心C的 距离 等于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r}
y x 2.
则
2 k 2 1
1
k 1,
y x 2.
如图是某圆拱桥的一孔 圆拱的示意图 , 该圆拱跨度 AB 20m, 拱高OP 4m, 在建造时每隔 4m需用一根支柱
, 设圆心坐标为 解: 建立如图直角坐标系
例3
支撑, 求支柱A2 P2的长度(精确到0.01m).
y0 x0 ,
0
X
整理得, x0 x y0 y x y 2 2 2 Q x0 y0 r ,
2 0
2 0
所求圆的切线方程为 x0 x y0 y r 2
2 2 2 已知圆的方程是 x y r , 求经过圆上一点 例2 M ( x0 , y0 )的切线方程 . Y
x0 k y0
x0 切线方程为y y0 ( x x0 ) y0
2
Q x0 y r
2 0
2
所求圆的切线方程为 x0 x y0 y r
2 2 ( 1 ) 写出过圆 x y 10上一点M (2, 6 )的切线方程 . 练习:
2x 6 y 10. 解: 所求切线方程为 2 2 2 过圆x y r 上点M ( x0 , y0 )