【初二数学方法技巧专题】等腰三角形的分类讨论思想

【初二数学方法技巧专题】等腰三角形的分类讨论思想
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等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在解有关等腰三角形问题时，当所给的边、角等条件不明确时，常常要进行分类讨论，否则易造成错解.那么在什么情况下应该进行分类讨论呢？下面有4种常考题型，快来和小名老师一起学习一下吧！
类型1
针对顶角和底角进行分类
例1. 若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是()
A．70° B．40°
C．70°或40° D．70°或55°
分析：70°角可能是底角，也可能是顶角.
当70°是底角时，则顶角的度数为180°－70°×2=40°；
当70°角是顶角时，则顶角的度数就等于70°.
所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°.
故应选C.
变式
已知一个等腰三角形中有一个角为100°，则这个等腰三角形的顶角为 .
答案
100°
方法归纳：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.
类型2
针对腰长和底边长进行分类
题型1 遇边需讨论
例2 已知等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是 .
分析：已知条件中并没有指明5和9谁是腰长谁是底边的长，因此需要针对腰长及底边长分别是哪一个进行分类谈论.
当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是9，则此时等腰三角形的周长等于5+5+9=19；
当9是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是5，则此时等腰三角形的周长等于9+9+5=23.故这个等腰三角形的周长等于19或23.
变式
答案
25
方法归纳：在已知条件中没有明确等腰三角形的腰长和底边长时，应分类讨论.分类讨论时，还要判断所给的三边能否构成三角形，避免造成错解.
题型2 遇中线需讨论
例3 已知等腰△ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9 cm和12 cm两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为 .
分析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形：
①AB+AD=9,BC+CD=12；
②AB+AD=12,BC+CD=9.
若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得：
即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm.
变式
若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底和腰的长分别为 .
答案
10 cm和4 cm．
易错警示：这里求出来的解验证一下三角形的边满足三角形三边关系定理，如果不满足一定要舍去.
类型3
针对三角形的形状进行分类
题型1 遇高需讨论
例4 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．
分析：本题中等腰三角形腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分原三角形为锐角三角形和钝角三角形进行分类求解.
详解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示．
∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝1/2×(180°－54°)＝63°.
②若∠A＞90°，如图2所示．
同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝1/2∠DAB＝27°.
综上所述：等腰三角形底角的度数为63°或27°.
题型2 遇中垂线需讨论
例5 在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____.
分析：本题中AB的中垂线与AC直线的交点不确定，交点可能在边AC上，也可能在其延长线上，故需进行分类讨论.
详解：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图.
如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以
如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得∠BAD=40°，所以
故这个等腰三角形的底角为70°或20°.
易错警示：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题.
类型4
找点构造等腰三角形需讨论
例6 如图，已知线段AB，在直线l上找一点C，使ΔABC为等腰三角形这样的C 点有个.
分析：存在三种情况①AB＝AC；②BA＝BC；③CA＝CB．
详解：①当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径画圆与直线l的交点C3即为所求点；②当BA＝BC时，以点B为圆心，AB长为半径画圆与直线l的交点C1,C2即为所求点；③当CA＝CB时，做线段
AB的垂直平分线与直线l的交点C4即为所要求点.所以使ΔABC为等腰三角形这样的C 点有4个
方法指导：等腰三角形的存在性问题方法常用两圆一线。

模型归纳：两圆一线模型
如图，已知线段AB，在平面内找一点C使得ΔABC为等腰三角形，这样的点C的集合如下图所示，在以点A,B分别为圆心且AB为半径的圆和AB的垂直平分线上，除了与AB在同一直线上的点外的所有点，简称“两圆一线”.
练习
如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P,O,A为顶点的三角形时等腰三角形，则满足条件的点P共有个.
答案
8
专题小练
1.(2019·白银)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ .
2.如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝时，△POQ是等腰三角形．
先做题再看答案哦~。