高中数学必修二知识讲解,巩固练习(复习补习,期末复习资料)：05【基础】空间几何体的表面积与体积

空间几何体的表面积和体积

【学习目标】

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；

2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；

3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；

4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】

要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和。计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：

求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．

要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．

1．圆柱的表面积

（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．

（2）圆柱的表面：2

222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．

2．圆锥的表面积

（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是1

2

S Cl rl π=

=圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2

+πr l ．

3．圆台的表面积

（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇环的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．

（2）圆台的表面积：2

2

('')S r r r l rl π=+++圆台表．

要点诠释：

求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．

4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．

要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式

棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ．

圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2

h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式

棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积1

3

V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积1

3

V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2

表示S ，则2

13

V r h π=

圆锥． 综上，锥体的体积公式为1

3

V Sh =

． 3．台体的体积公式

棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是

1

(')3

V h S S =+棱台．

圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是

2211

(')('')33

V h S S h r rr r π=+=++圆台．

综上，台体的体积公式为1

(')3

V h S S =

+． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．

要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积

（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积

设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2

． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积

设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为3

43

V R π=

球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算

在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．

（1）棱锥平行于底的截面的性质：

在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：

S S S S S S =

=

=小锥底小锥全小锥侧大锥底

大锥全

大锥侧

对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．

要点诠释：

这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．

（2）有关棱柱直截面的补充知识．

在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：

S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算

（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．

（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键． 【典型例题】