北师大七年级数学下册--第四章 4.3《探索三角形全等的条件》课件(第三课时)
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第四章 三角形
4.3 探索三角形全等的条件
第3课时 用“边角边”判定 三角形全等
1 课堂讲解 三角形全等的条件：边角边
全等三角形判定“边角边”的简单应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种 可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？
知识点 1 三角形全等的条件：边角边
知2－讲
总结
知2－讲
解答本题的关键是构造全等三角形，巧妙地借助 两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等 量关系．
知2－讲
例4 如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE ＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB. 试说明：CF＝EF.
导引：说明CF，EF所在的两个 三角形全等即可． 由Rt△ABC≌Rt△ADE， 可得边角相等关系，进一 步可得△ACD≌△AEB， 进而得出△CDF≌△EBF， 所以可得CF＝EF.
(2)判断两个三角形全等时，常要说明边相等，而说明边相等 的方法有：①公共边；②等线段加(减)等线段其和(差)相等， 即等式性质；③由中点得到线段相等；④同等于第三条线 段的两线段相等，即等量代换；⑤全等三角形的对应边相 等等．
知1－讲
例2 〈武汉〉如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC， OB＝OD.试说明：DC∥AB.
所以CD＝EB，∠ACD＝∠AEB.
又因为∠ACB＝∠AED，
知2－讲
所以∠ACB－∠ACD＝∠AED－∠AEB，
即∠DCF＝∠BEF.
DFC＝BFE，
在△CDF和△EBF中，因为 DCF＝BEF，
所以△CDF≌△EBF(AAS)．CD＝EB，
所以CF＝EF.
1 小明做了一个如图所示的风筝，其中 ∠EDH＝∠FDH，ED＝FD. 将上述 E 条件标注在图中，小明不用测量就能 知道EH＝FH吗？与同伴进行交流.
知2－练
解：标注略．小明不用测量就能知道EH＝FH.
因为根据“SAS”可以得到△EDH≌△FDH，
所以EH＝FH.
（来自《教材》）
知2－练
2 如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若 O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容 器的内径A′B′为( B ) A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
知1－讲
解：因为BE∥DF，所以∠AEB＝∠CFD.
又因为AF＝CE，所以AF＋FE＝CE＋EF，
即AE＝CF.
AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，因为 AEB＝CFD，
所以△ABE≌△CDF (SAS)．BE＝DF，
总结
知1－讲
(1)要判断两个三角形全等，若已知两边相等，可考虑说明 第三边相等或两边的夹角相等，是选用“SSS”还是“SAS” 要根据题目的条件而定，如本题由条件BE∥DF可得角的 关系，故用“SAS”说明．
知1－练
4 如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中 不能判定△ABC≌△AED的是( C ) A．BC＝ED B．∠BAD＝∠EAC C．∠B＝∠E D．∠BAC＝∠EAD
知1－练
5 两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边
形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，对
角线AC，BD相交于点O，詹姆斯在探究筝形的性质
知2－练
3 【2017·广州】如图，点E，F在AB上，AD＝
BC，∠A＝∠B，AE＝BF.
试说明：△ADF≌△BCE.
解：因为AE＝BF，
所以AF＝AE＋EF＝BF＋EF＝BE.
AD＝BC，
在△ADF和△BCE中， A＝B，
AF＝BE，
所以△ADF≌△BCE(SAS)．
1 知识小结
总结
知1－讲
本题可运用分析法寻找说明思路，分析法就是执 果索因，由未知看需知，思维方式上就是从问题入手， 找能求出问题所需要的条件或可行思路，若问题需要 的条件未知，则把所需条件当作中间问题，再找出解 决中间问题的条件．
知1－练
1 分别找出各题中的全等三角形，并说明理由.
A
B
D
A
B
解：(1)△ABC≌△EFD. 理由：“SAS”． (2)△ADC≌△CBA. 理由：“SAS”．
导引： 本题让我们了解了测量两点之间距离的一种方法，设计 时，只要需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达 到目的．
解：(1)如图. (2)在湖岸上找到可以直接到达点A，B 的一点O，连接BO并延长到点C， 使OC＝OB；连接AO并延长到点D， 使OD＝OA，连接CD，则测量出CD的 长度即为AB的长度． (3)设CD＝m. 因为OD＝OA，OC＝OB，∠COD＝∠BOA， 所以△COD≌△BOA(SAS)， 所以CD＝AB，即AB＝m.
导引：根据“边角边”可说明 △ODC≌△OBA， 可得∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)， 即可说明DC∥AB.
知1－讲
OD＝OB， 解：在△ODC和△OBA中，因为 DOC＝BOA，
所以△ODC≌△OBA(SAS)．OC＝OA， 所以∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)(全等三角形的对应 角相等)， 所以DC∥AB(内错角相等，两直线平行)．
BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
知1－讲
例1 如图，点A，F，E，C在同一条直线上， AF＝CE， BE∥DF，BE＝DF. 试说明：△ABE≌△CDF.
导引：要说明△ABE≌△CDF， 已知BE＝DF，只需说明 ∠AEB＝∠CFD和AE＝CF即可． 而∠AEB＝∠CFD由BE∥DF可得； AE＝CF由AF＝CE可得．
知2－讲
利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那 块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三 角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三 角形的形状、大小就确定下来了．
知2－讲
例3 〈创新应用题〉如图所示，在湖的两岸点A，B之间建一 座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点之间 的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测 量方案． (1)画出测量示意图； (2)写出测量步骤； (3)计算点A，B之间的距离(写出求 解或推理过程，结果用字母表示)．
易错点：误用“SSA”导致出错
解：△ADC≌△AEB.理由如下：
因为AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，
所在以 △AADD＝C和A△E. AEB中，ìïïïïíïïïïî
AC＝AB， 行A＝ A（公共角）， AD＝AE，
所以△ADC≌△AEB(SAS)．
在说明两个三角形全等时，经常会出现把“SSA” 作为两个三角形全等的识别方法的情况．实际上， “SSA”不能作为两个三角形全等的识别条件．因 为两边及一边的对角分别相等的两个三角形不一 定全等．如本题中易出现根据条件BE＝CD，AB ＝AC，∠A＝∠A，利用“SSA”说明两个三角形 全等的错误情况．
（来自《教材》）
知1－练
2 【2017·湖南】如图，AC＝DC，BC＝EC， 请你添加一个适当的条件：_∠__A_C_B__＝__∠__D_C__E_ _或__∠__A__C_D_＝__∠__B__C_E_或__A__B_＝__D__E__，使得 △ABC≌△DEC.
知1－练
3 【2016·新疆】如图，在△ABC和△DEF中， ∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件 后，仍然不能说明△ABC≌△DEF，这个条 件是( D ) A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
知1－导
探究 先任意画出一个△ABC.再画出一个△A′B′C′，
使A′B′=AB, A′C′=AC， ∠A′＝∠A (即两边和它
们的夹角分别相等）,把画好的△A′B′C′剪下来， 放到△ABC上，它们全等吗？
画法：
(1)画∠DA′E =∠A；
(2)在射线A′D上截取
A′B′=AB，在射线
A
A′E上截取A′C′=AC；
(3)连接B′C′．
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
A′
说明：这两个三角形全等．
知1－导
C
B E C′
D B′
知1－导
1.判定方法二：两边和它们的夹角分别相等的两个三
角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．
2. 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，
AB＝A′B′，
∵
∠ABC＝∠A′B′C′，
知2－讲
解：因为Rt△ABC≌Rt△ADE，
所以AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，
∠CAB＝∠EAD.
所以∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，
即∠DAC＝∠BAE.
AC＝AE，
在△ACD和△AEB中，因为 DAC＝BAE，
所以△ACD≌△AEB(SAS)． AD＝AB，
时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝
1 2
AC；③△ABD≌△CBD.
其中正确的结论有( D )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
知2－导
知识点 2 全等三角形判定“边角边”的简单应用
问题 某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶 点处打碎成两块(如图)，现要到玻璃店去配一块完 全 一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一 块去，能试着说明理由吗？
请完成《典中点》 ⅡΒιβλιοθήκη Baidu、 Ⅲ板块 对应习题！
(1) 本节课学习了哪些主要内容？ (2) 我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用
“SAS”判定三角形全等应注意什么问题？ (3) 到现在为止，你学到了几种证明两个三角形
全等的方法？
2 易错小结
如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB， AC的中点，且CD＝BE，△ADC与△AEB全等吗？ 请说明理由．
4.3 探索三角形全等的条件
第3课时 用“边角边”判定 三角形全等
1 课堂讲解 三角形全等的条件：边角边
全等三角形判定“边角边”的简单应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种 可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？
知识点 1 三角形全等的条件：边角边
知2－讲
总结
知2－讲
解答本题的关键是构造全等三角形，巧妙地借助 两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等 量关系．
知2－讲
例4 如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE ＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB. 试说明：CF＝EF.
导引：说明CF，EF所在的两个 三角形全等即可． 由Rt△ABC≌Rt△ADE， 可得边角相等关系，进一 步可得△ACD≌△AEB， 进而得出△CDF≌△EBF， 所以可得CF＝EF.
(2)判断两个三角形全等时，常要说明边相等，而说明边相等 的方法有：①公共边；②等线段加(减)等线段其和(差)相等， 即等式性质；③由中点得到线段相等；④同等于第三条线 段的两线段相等，即等量代换；⑤全等三角形的对应边相 等等．
知1－讲
例2 〈武汉〉如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC， OB＝OD.试说明：DC∥AB.
所以CD＝EB，∠ACD＝∠AEB.
又因为∠ACB＝∠AED，
知2－讲
所以∠ACB－∠ACD＝∠AED－∠AEB，
即∠DCF＝∠BEF.
DFC＝BFE，
在△CDF和△EBF中，因为 DCF＝BEF，
所以△CDF≌△EBF(AAS)．CD＝EB，
所以CF＝EF.
1 小明做了一个如图所示的风筝，其中 ∠EDH＝∠FDH，ED＝FD. 将上述 E 条件标注在图中，小明不用测量就能 知道EH＝FH吗？与同伴进行交流.
知2－练
解：标注略．小明不用测量就能知道EH＝FH.
因为根据“SAS”可以得到△EDH≌△FDH，
所以EH＝FH.
（来自《教材》）
知2－练
2 如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若 O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容 器的内径A′B′为( B ) A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
知1－讲
解：因为BE∥DF，所以∠AEB＝∠CFD.
又因为AF＝CE，所以AF＋FE＝CE＋EF，
即AE＝CF.
AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，因为 AEB＝CFD，
所以△ABE≌△CDF (SAS)．BE＝DF，
总结
知1－讲
(1)要判断两个三角形全等，若已知两边相等，可考虑说明 第三边相等或两边的夹角相等，是选用“SSS”还是“SAS” 要根据题目的条件而定，如本题由条件BE∥DF可得角的 关系，故用“SAS”说明．
知1－练
4 如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中 不能判定△ABC≌△AED的是( C ) A．BC＝ED B．∠BAD＝∠EAC C．∠B＝∠E D．∠BAC＝∠EAD
知1－练
5 两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边
形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，对
角线AC，BD相交于点O，詹姆斯在探究筝形的性质
知2－练
3 【2017·广州】如图，点E，F在AB上，AD＝
BC，∠A＝∠B，AE＝BF.
试说明：△ADF≌△BCE.
解：因为AE＝BF，
所以AF＝AE＋EF＝BF＋EF＝BE.
AD＝BC，
在△ADF和△BCE中， A＝B，
AF＝BE，
所以△ADF≌△BCE(SAS)．
1 知识小结
总结
知1－讲
本题可运用分析法寻找说明思路，分析法就是执 果索因，由未知看需知，思维方式上就是从问题入手， 找能求出问题所需要的条件或可行思路，若问题需要 的条件未知，则把所需条件当作中间问题，再找出解 决中间问题的条件．
知1－练
1 分别找出各题中的全等三角形，并说明理由.
A
B
D
A
B
解：(1)△ABC≌△EFD. 理由：“SAS”． (2)△ADC≌△CBA. 理由：“SAS”．
导引： 本题让我们了解了测量两点之间距离的一种方法，设计 时，只要需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达 到目的．
解：(1)如图. (2)在湖岸上找到可以直接到达点A，B 的一点O，连接BO并延长到点C， 使OC＝OB；连接AO并延长到点D， 使OD＝OA，连接CD，则测量出CD的 长度即为AB的长度． (3)设CD＝m. 因为OD＝OA，OC＝OB，∠COD＝∠BOA， 所以△COD≌△BOA(SAS)， 所以CD＝AB，即AB＝m.
导引：根据“边角边”可说明 △ODC≌△OBA， 可得∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)， 即可说明DC∥AB.
知1－讲
OD＝OB， 解：在△ODC和△OBA中，因为 DOC＝BOA，
所以△ODC≌△OBA(SAS)．OC＝OA， 所以∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)(全等三角形的对应 角相等)， 所以DC∥AB(内错角相等，两直线平行)．
BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
知1－讲
例1 如图，点A，F，E，C在同一条直线上， AF＝CE， BE∥DF，BE＝DF. 试说明：△ABE≌△CDF.
导引：要说明△ABE≌△CDF， 已知BE＝DF，只需说明 ∠AEB＝∠CFD和AE＝CF即可． 而∠AEB＝∠CFD由BE∥DF可得； AE＝CF由AF＝CE可得．
知2－讲
利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那 块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三 角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三 角形的形状、大小就确定下来了．
知2－讲
例3 〈创新应用题〉如图所示，在湖的两岸点A，B之间建一 座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点之间 的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测 量方案． (1)画出测量示意图； (2)写出测量步骤； (3)计算点A，B之间的距离(写出求 解或推理过程，结果用字母表示)．
易错点：误用“SSA”导致出错
解：△ADC≌△AEB.理由如下：
因为AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，
所在以 △AADD＝C和A△E. AEB中，ìïïïïíïïïïî
AC＝AB， 行A＝ A（公共角）， AD＝AE，
所以△ADC≌△AEB(SAS)．
在说明两个三角形全等时，经常会出现把“SSA” 作为两个三角形全等的识别方法的情况．实际上， “SSA”不能作为两个三角形全等的识别条件．因 为两边及一边的对角分别相等的两个三角形不一 定全等．如本题中易出现根据条件BE＝CD，AB ＝AC，∠A＝∠A，利用“SSA”说明两个三角形 全等的错误情况．
（来自《教材》）
知1－练
2 【2017·湖南】如图，AC＝DC，BC＝EC， 请你添加一个适当的条件：_∠__A_C_B__＝__∠__D_C__E_ _或__∠__A__C_D_＝__∠__B__C_E_或__A__B_＝__D__E__，使得 △ABC≌△DEC.
知1－练
3 【2016·新疆】如图，在△ABC和△DEF中， ∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件 后，仍然不能说明△ABC≌△DEF，这个条 件是( D ) A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
知1－导
探究 先任意画出一个△ABC.再画出一个△A′B′C′，
使A′B′=AB, A′C′=AC， ∠A′＝∠A (即两边和它
们的夹角分别相等）,把画好的△A′B′C′剪下来， 放到△ABC上，它们全等吗？
画法：
(1)画∠DA′E =∠A；
(2)在射线A′D上截取
A′B′=AB，在射线
A
A′E上截取A′C′=AC；
(3)连接B′C′．
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
A′
说明：这两个三角形全等．
知1－导
C
B E C′
D B′
知1－导
1.判定方法二：两边和它们的夹角分别相等的两个三
角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．
2. 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，
AB＝A′B′，
∵
∠ABC＝∠A′B′C′，
知2－讲
解：因为Rt△ABC≌Rt△ADE，
所以AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，
∠CAB＝∠EAD.
所以∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，
即∠DAC＝∠BAE.
AC＝AE，
在△ACD和△AEB中，因为 DAC＝BAE，
所以△ACD≌△AEB(SAS)． AD＝AB，
时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝
1 2
AC；③△ABD≌△CBD.
其中正确的结论有( D )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
知2－导
知识点 2 全等三角形判定“边角边”的简单应用
问题 某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶 点处打碎成两块(如图)，现要到玻璃店去配一块完 全 一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一 块去，能试着说明理由吗？
请完成《典中点》 ⅡΒιβλιοθήκη Baidu、 Ⅲ板块 对应习题！
(1) 本节课学习了哪些主要内容？ (2) 我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用
“SAS”判定三角形全等应注意什么问题？ (3) 到现在为止，你学到了几种证明两个三角形
全等的方法？
2 易错小结
如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB， AC的中点，且CD＝BE，△ADC与△AEB全等吗？ 请说明理由．