长沙市岳麓区麓山国际实验学校2019-2020学年八年级(下)期中数学试卷(含解析)

长沙市岳麓区麓山国际实验学校2019-2020学年八年级(下)期中数学
试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
(4)y=22−3x(5)y=x2−1中，是一次函数的有1.下列函数(1)y=πx(2)y=2x−1(3)y=1
x
()
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
2.已知一组数据：18，12，5，10，5，16，这组数据的中位数和众数分别是()
A. 11，5
B. 7.5，5
C. 7.5，18
D. 11，18
3.对于一组统计数据：1，1，4，1，3，下列说法中错误的是()
A. 中位数是1
B. 众数是1
C. 平均数是1.5
D. 方差是1.6
4.在我校刚结束的“实中最强音”的活动中，有5位选手最后得分分别为9.5，9.6，9.5，9.3，9.4，
则这五个数据的中位数为
A. 9.3
B. 9.4
C. 9.5
D. 9.6
5.点(a,−1)在一次函数y=−2x+1的图象上，则a的值为()
A. a=−3
B. a=−1
C. a=1
D. a=2
6.▱ABCD中，若AB=4，AD=m，∠A=60°，将▱ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点
重合，若折痕与直线AD交于点E，DE=1，则m的值为()
A. √7+1或√3−1
B. √7−1或√3+1
C. √7−1或√3−1
D. √7+1或√3+1
7.已知k1<0<k2，则函数y=k1x−3和y=k2
的图象大致为()
x
A. B. C. D.
8.如图1，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AD、AB分别在x轴，y轴上，AB=3，AD=5.
现长方形以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动如图2，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A−B−C−D的路线作匀速运动，当点P运动9秒时，△OAP的面积为()
A. 9
B. 18
C. 27
D. 36
9.第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并
且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是()
A. B.
C. D.
10.如图，在菱形ABCD中．
CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，
(1)分别以C，D为圆心，大于1
2
F；
(2)作直线EF交边CD于点M，且直线EF恰好经过点A；
(3)连接BM．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是()
A. ∠ABC=60°
B. BC=2CM
C. S△ABM=2S△ADM
D. 如果AB=2，那么BM=4
11.如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，
∠GFP=66°，那么∠EHF的度数等于()
A. 48°
B. 52°
C. 68°
D. 以上答案都不对
12.如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交
AB于G，若AB=8，AC=6，则EF的长为()
A. 2
B. 3
2
C. 1
D. 1
2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.某班甲、乙、丙三名同学20天的平均体温都是36.45℃，方差分别如下：S甲2=0.625，S乙2=0.0745，
2=0.0645，则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是______．
S
丙
14.已知函数是正比例函数，则a=_________ ，b=________．
15.如图，四边形AOBC为平行四边形，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(4,1)，
则点C坐标为______．
16.如图所示：在一边长为46cm的正方形纸片上剪下一块圆形和一个扇形纸片，
使之恰好做成一个圆锥形模型，它的底面半径是cm．
17.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当kx+b>0时，x的取值范
围为______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过A，D两点的⊙O与BC边
相切于点E，则⊙O的半径为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）
19.定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a∗b=1
a +a−b
a
，等式右边是通常的加法、
减法及除法运算，比如：2∗1=1
2+2−1
2
=1
(1)求5∗4的值；
(2)若x∗2=1(其中x≠0)，求x的值．
20.服务质量相同的甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护
服务的收费方案.甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用3000元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取3000元的基础上，超过的部分每平方米收取2.5元．
(1)求如图所示的y与x的函数解析式：(不要求写出x的取值范围)；
(2)如果某学校计划投入4000元资金绿化校园，试通过计算说明：选择哪家公司的服务更合算．
21.在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF、EG始终
与矩形AB、BC两边相交，AB=2，FG=8，
(1)如图1，当EF、EG分别过点B、C时，求∠EBC的大小；
(2)在(1)的条件下，如图2，将△FFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停
止转动．若EF、EG分别与AB、BC相交于点M、N，
①在△EFG旋转过程中，四边形BMEN的面积是否发生变化？若不变，求四边形BMEN的面积；
若要变，请说明理由．
②如图3，设点O为FG的中点，连结OB、OE，若∠F=30°，当OB的长度最小时，求tan∠EBG
的值．
22.某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲)，从全校学生
中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把结果绘制成两幅不完整的统计图请根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有多少人？
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人？
23.如图，如果四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，那么四边形
AEFD是平行四边形吗？小明认为四边形AEFD是平行四边形，
并且给出了证明．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，①
AB=DC.②
又∵四边形BEFC也是平行四边形，
∴BC=EF，③
BE=CF.④
由①③，得
AD=EF.⑤
由②④，得
AB+BE=DC+CF，⑥
即AE=DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
小明的考虑全面吗？为什么？你是怎样想的？把你的想法写出来．
24.已知：如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF.求证：
△ABC≌△DEF．
25.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地
休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，
(1)甲步行的速度为______米/分；
(2)乙走完全程用了______分钟；
(3)求乙到达终点时，甲离终点的距离是多少米？
26.为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
轿车行驶的路程s(km)010203040…
油箱剩余油量w(L)5049.248.447.646.8…
(1)该轿车油箱的容量为______L，行驶100km时，油箱剩余油量为______L；
(2)根据上表的数据，写出油箱剩余油量w(L)与轿车行驶的路程s(km)之间的表达式______；
(3)某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时邮箱剩余油量为26L，求A，
B两地之间的距离．
27.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比列函数？
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系；
(3)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y(厘米)．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：根据一次函数的定义可知：(1)y=πx、(2)y=2x−1、(4)y=22−3x是一次函数，∴是一次函数的有3个．
故选：B．
根据一次函数的定义确定五个函数中哪个为一次函数，此题得解．
本题考查了一次函数的定义，牢记一次函数的定义是解题的关键．
2.答案：A
解析：
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.根据众数和中位数的概念求解．
解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5，5，10，12，16，18，
=11，
则中位数为：10+12
2
众数为5．
故选A．
3.答案：C
解析：解：将数据重新排列为：1、1、1、3、4，
则这组数据的中位数1，A选项正确；
众数是1，B选项正确；
=2，C选项错误；
平均数为1+1+1+3+4
5
×[(1−2)2×3+(3−2)2+(4−2)2]=1.6，D选项正确；
方差为1
5
故选：C．
将数据从小到大(或从大到小)排列，再根据中位数、众数、平均数及方差的定义依次计算可得答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义与计算公式．
4.答案：C
解析：将这5个数从小到大排列为9.3，9.4，9.5，9.5，9.6，则处在中间位置的数为9.5，即中位数是9.5．
故选C．
5.答案：C
解析：解：∵点A(a,−1)在一次函数y=−2x+1的图象上，
∴−1=−2a+1，
解得a=1，
故选：C．
把点A(a,−1)代入y=−2x+1，解关于a的方程即可．
此题考查一次函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横坐标就适合这个函数解析式．
6.答案：A
解析：解：如图1中，当点E在线段AD上时，过等F作FH⊥AD交AD的延长线于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AB//CD，
∴∠FDH=∠BAD=60°，
∴DF=CF=1
CD=2，
2
∴DH=DF⋅cos60°=1，FH=DF⋅sin3=60°=√3，
∵DE=1，
∴EH=DE+DH=2，
∴AE=EF=√FH2+EH2=√(√3)2+22=√7，
∴m=AD=AE+DE=√7+1．
如图2中，当点E在线段AD的延长线上时，同法可得DH=1，此时点E与H重合，AE=FH=√3，AD=AE−DE=√3−1．
综上所述，满足条件的AD的值为√7+1或√3−1．
故选：A．
分两种情形：如图1中，当点E在线段AD上时，过等F作FH⊥AD交AD的延长线于H.如图2中，当点E在线段AD的延长线上时，分别求解即可．
本题考查平行四边形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7.答案：D
解析：解：∵k1<0<k2，函数y=k1x−3和y=k2
x
在同一坐标系中，
∴反比例函数的图象分布在一三象限，一次函数图象经过二四象限，且过(0,−3)点，
∴只有选项D符合题意，
故选：D．
直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象，正确掌握各函数图象分布规律是解题关键．8.答案：B
解析：解：如图所示，
当t=9时，OA=18，点P在CD上，且CP=1，
则DP=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADP=90°，
则S△OAP=1
2⋅OA⋅DP=1
2
×18×2=18，
故选：B．
结合题意画出平移后的图形及点P的位置，再根据三角形的面积公式计算可得．
本题主要考查矩形的性质，解题的关键是根据题意画出运动后矩形的位置及点P在矩形中的位置．9.答案：B
解析：解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
故B选项正确；
故选：B．
根据乌龟比兔子早出发，而早到终点逐一判断即可得．
本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际问题中自变量
与因变量之间的关系．
10.答案：D
解析：解：如图，连接AC．
由作图可知，EF存在平分线段CD，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=BC=AC，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ABC=60°，故A正确，
∵BC=CD=2CM，故B正确，
∵AB=CD=2DM，AB//CD，
∴AB=2DM，
∴S△ABM=2S△ADM，故C正确，
故选：D．
如图，连接AC，证明△ABC，△ACD都是等边三角形即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.答案：A
解析：解：由翻折的性质可知，∠GFP=∠CFP=66°，
∴∠GFH=180°−66°−66°=48°，
∵EH//FG，
∴∠EHF=∠HFG=48°，
故选：A．
求出∠GFH，再利用平行线的性质可得结论．
本题考查翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12.答案：C
解析：解：∵AD 为△ABC 的角平分线，CG ⊥AD ，
∴△ACG 是等腰三角形，
∴AG =AC ，
∵AC =6，
∴AG =AC =6，FG =CF ，
∵AE 为△ABC 的中线，
∴EF 是△BCG 的中位线，
∴EF =12BG ，
∵AB =8，
∴BG =AB −AG =8−6=2．
∴EF =1．
故选C ．
首先证明△ACG 是等腰三角形，则AG =AC =6，FG =CF ，则EF 是△BCG 的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明FG =CF 是关键． 13.答案：丙
解析：解：∵S 甲2=0.625，S 乙2=0.0745，S 丙2=0.0645，
∴S 丙2<S 乙2<S 甲2，
∴甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是丙，
故答案为：丙．
根据方差的意义求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14.答案：，
解析：
本题解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
解：由正比例函数的定义可得2a+b=1，a+2b=0，
解得，a=，b=，
故答案为，．
15.答案：(6,4)
解析：解：∵四边形AOBC为平行四边形，
∴AC//OB且AC=OB．
设C(a,b)，
∵点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(4,1)，点O的坐标为(0,0)，
∴b−3=1−0，a−2=4−0，
∴b=4，a=6．
∴点C坐标为(6,4)．
故答案是：(6,4)．
根据平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点C的坐标．
本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，注意：数形结合思想的运用．
16.答案：(10√2−4)
解析：设小圆的半径为r，可求得小圆的周长，利用扇形的弧长公式可得大扇形的半径，根据大扇形的半径+小扇形的半径+小扇形的半径的√2倍=正方形的对角线长可得小扇形的半径，也就是圆锥的
底面半径．
17.答案：x>1
解析：解：根据图象和数据可知，当kx+b>0时，即y>0，图象在x轴上面，此时x>1．故答案为：x>1．
根据图象的性质，当y>0即图象在x轴上面，x>1．
本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．
18.答案：6.25
解析：解：连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，
∵BC是切线，
∴OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=AB=8，OF⊥AD，
∴AF=1
2AD=1
2
×12=6，
设⊙O的半径为x，则OF=EF−OE=8−x，
在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2，
则(8−x)2+36=x2，
解得：x=6.25，
∴⊙O的半径为：6.25．
故答案为：6.25．
首先连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，由在矩形ABCD中，过A，D两点的⊙O与BC 边相切于点E，易得四边形CDFE是矩形，由垂径定理可求得AF的长，然后设⊙O的半径为x，则OE=EF−OE=8−x，利用勾股定理即可得：(8−x)2+36=x2，继而求得答案．
此题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
19.答案：解：(1)根据题意得：5∗4=15+
5−45=25；
(2)∵x ∗2=1，
∴1x +x−2x =1，
在方程两边同乘x 得：1+(x −2)=x ，
方程无解．
解析：本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟记解分式方程的步骤．
(1)根据新定义的新运算，即可解答；
(2)根据新定义运算得到分式方程，解分式方程即可．
20.答案：解：(1)设的y 与x 的函数解析式为y =kx +b ，
则{b =100100k +b =400
， 解得{k =3b =100
， ∴y =3x +100；
(2)当y =4000时，3x +100=4000，解得x =1300，
4000−3000=1000，1000÷25=400，
1000+400=1400(平方米)，
∵1400>1300，
∴选择乙公司的服务更合算．
解析：(1)观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数表达式；
(2)分别求出当y =4000时，甲、乙两公司方案的绿化面积，比较后即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出函数表达式；
(2)分别求出当y =4000时，甲、乙两公司方案的绿化面积．
21.答案：解：(1)如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵AE=DE，
∴△AEB≌△DEC(SAS)，
∴EB=EC，
∵∠BEC=90°，
∴∠EBC=45°．
(2)①结论：四边形BMEN的面积不变．
理由：由(1)可知：∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△MEB≌△NEC(ASA)，
∴S△MEB=S△ENC，
∴S
四边形EMBN =S△EBC=1
2
×4×2=4．
②如图当E，B，O共线时，OB的值最小，作GH⊥OE于H．
∵OF =OG ，∠FEG =90°，
∴OE =OF =OG =4，
∵∠F =30°，
∴∠EGF =60°，
∴△EOG 是等边三角形，∵GH ⊥OE ，
∴GH =2√3，OH =EH =2， ∵BE =2√2，
∴OB =4−2√2，
∴BH =2−(4−2√2)=2√2−2，
∴tan∠EBG =HG
BH =√3
2√2−2=√6+√3．
解析：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
(1)证明△AEB≌△DEC(SAS)，可得EB =EC ，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
(2)①四边形BMEN 的面积不变．
证明△MEB≌△NEC(ASA)，推出S △MEB =S △ENC ，可得S 四边形EMBN =S △EBC ．
②如图当E ，B ，O 共线时，OB 的值最小，作GH ⊥OE 于H ，想办法求出BH ，GH 即可解决问题．
22.答案：解：(1)15÷30%=50人，
答：这次被调查的学生有50人．
(2)50−4−15−18−3=10人，补全条形统计图如图所
示：
(3)1500×18
50=540人，
答：该校1500名学生中喜欢娱乐节目的有540人．
解析：(1)从两个统计图中可以得到喜欢动画的有15人，占调查人数的30%，可求出调查人数，
(2)求出喜欢体育的人数即可补全条形统计图，
(3)样本估计总体，样本中喜欢娱乐节目的占1850，估计总体人数的1825是喜欢娱乐节目的．
考查条形统计图、扇形统计图的特点及制作方法，从两个统计图中，获取数量和数量关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
23.答案：解：小明的考虑不全面．
因为这种证明方法不适合于当A、B、E三点不在一直线上时，
题中的已知条件和结论同样成立，但利用小明的证明就不能论证了．
证明：当A、B、E三点不在一直线上时，
如图，
连接AE、DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵四边形BEFC也是平行四边形，
∴BC=EF，BC//EF，
∴AD=EF，AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
解析：小明的考虑不全面，当A、B、E三点不在一直线上时，题中的已知条件和结论同样成立，但利用小明的证明就不能论证了．还可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
24.答案：略
解析：证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF.
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF．
25.答案：60 30
解析：解：(1)由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60(米/分)，
故答案为：60；
(2)乙的速度为：60+240÷(16−4)=80(米/分)，
即乙走完全程的时间：2400÷80=30(分钟)，
故答案为：30；
(3)2400−(30+4)×60
=2400−34×60
=2400−2040
=360(米)，
答：乙到达终点时，甲离终点的距离是360米．
(1)根据函数图象中的数据，可以计算出甲步行的速度；
(2)根据(1)中的结果和图象中的数据，可以计算出乙步行的速度，然后即可得到乙走完全程用的时间；
(3)根据图象中的数据和题意，可以计算出乙到达终点时，甲离终点的距离是多少米．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
26.答案：50 42 w=50−0.08s
解析：解：(1)由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50L，行驶100km时，油箱剩余油量为：×0.8=42(L).、
50−100
10
故答案是：50；42；
(2)由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，据此可得w与s的关系式为w=50−0.08s；
故答案是：w=50−0.08s；
(3)令w=26，得s=300．
答：A，B两地之间的距离为300km．
(1)由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，由此填空；
(2)由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，据此可得w与s的关系式；
(3)把w=26代入函数关系式求得相应的s值即可．
本题考查了一次函数的应用，关键是求函数关系式．行驶路程为0时，即为油箱最大容积．
27.答案：解：(1)行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系为：y=60x，是x的一次函数，是正比例函数；
(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径r(厘米)之间的关系为：y=πx2，不是x的一次函数，不是正比例函数；
(3)x月后这棵树的高度为y(厘米)之间的关系为：y=50+2x，是x的一次函数，不是正比例函数．
解析：试题分析：(1)根据路程=速度×时间可得相关函数关系式；
(2)根据圆的面积可得相关函数关系式；
(3)x月后这棵树的高度=现在高+每个月长的高×月数．。