高中数学数学归纳法练习题含答案

高中数学数学归纳法练习题含答案
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
1. 用数学归纳法证明2n>2n+1，n的第一个取值应是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2. 一个关于自然数n的命题，如果n=1时命题正确，且假设n=k(k≥1)时命题正确，可以推出n=k+2时命题也正确，则（）
A.命题对一切自然数n都正确
B.命题对一切正偶数都正确
C.命题对一切正奇数都正确
D.以上说法都不正确
3. 用数学归纳法证明不等式1+1
2+1
3
+...+1
2n−1
<n(n∈N∗，且n>1)时，第一步应
证明下述哪个不等式成立( )
A.1<2
B.1+1
2+1
3
<2 C.1+1
2
<2 D.1+1
3
<2
4. 在数学归纳法证明“1+a+a2+...+a n=1−a n+1
1−a
(a≠1，n∈N∗)”时，验证当n=1时，等式的左边为()
A.1
B.1−a
C.1+a
D.1−a2
5. 用数学归纳法证明“2n>2n2−2n+1对于n≥n0的正整数n均成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（）
A.1
B.3
C.6
D.10
6. 用数学归纳法证明“1+a+a2+...+a2n+1=1−a2n+2
1−a
，(a≠1)”，在验证n=1时，左端计算所得项为（）
A.1+a+a2+a3+a4
B.1+a
C.1+a+a2
D.1+ a+a2+a3
7. 用数学归纳法证明1+1
2+1
3
+...+1
2n−1
<n(n∈N∗, n>1)时，第一步应验证不等式
( )
A.1+1
2<2
B.1+12
+1
3
<2
C.1+12
+1
3
<3
D.1+12
+13
+1
4
<3
8. （文）已知f(n)是关于正整数n 的命题．小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，并对任意的正整数k ，在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k +m)成立，其中m 为某个固定的整数，若要用上述证明说明f(n)对一切正整数n 均成立，则m 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
9. 利用数学归纳法证明不等式1+1
2+1
3+1
4+...+1
2n−1+1<f(n)(n ≥2, n ∈N ∗)的过程中，由n =k 变到n =k +1时，左边增加了( ) A.1项 B.k 项
C.2k−1项
D.2k 项
10. 用数学归纳法证明不等式“
1n+1
+
1n+2
+⋯+
12n
>
1324
(n >2)”时的过程中，由n =k 到
n =k +1，(k >2)时，不等式的左边（ ） A.增加了一项12(k+1)
B.增加了两项1
2k+1+
1
2(k+1)
C.增加了一项
1
2(k+1)，又减少了一项
1
k+1
D.增加了两项1
2k+1+1
2(k+1)，又减少了一项1
k+1
11. 观察下列数表： 1 3 5
7 9 11 13
15 17 19 21 23 25 27 29 ⋯ ⋯ ⋯
设1025是该表第m 行的第n 个数，则m +n =________.
12. 用数学归纳法证明不等式“1
n+1+1
n+2+1
n+3+ (1)
3n+1>25
12”，当n =1时，不等式左边的项为________．
13. 用数学归纳法证明：“1×4+2×7+3×10+...+n(3n +1)=n(n +1)2，n ∈N +”，当n =1时，左端为________．
14. 要证明1，√3，2不能为同一等差数列的三项的假设是________．
15. 用数学归纳法证明：“1
n+1+1
n+2
+...+1
3n+1
≥1（n∈N+）”时，在验证初始值不等
式成立时，左边的式子应是“________”．
16. 利用数学归纳法证明“1+1
2+1
3
+⋯+1
2n
=p(n)”，从n=k推导n=k+1时原等式
的左边应增加的项数是________项．
17.
用数学归纳法证明：4n≥n4(n≥4, n∈N)，第一步验证n=________．
18. 用数学归纳法证明："(n+1)(n+2)⋯(n+n)=2n⋅1⋅3⋯(2n−1)". 从"n=k到n=k+1" 左端增乘的代数式为________.
19. 用数学归纳法证明不等式1
n+1+1
n+2
+1
n+3
+⋯+1
3n
>9
10
(n∈N∗且n>1)时，第一
步：不等式的左边是________．
20. 若f(k)=1−1
2+1
3
−1
4
+⋯+1
2k−1
−1
2k
，则f(k+1)=f(k)+________．
21. 用两种方法证明：1+1
22+1
32
+⋯+1
n2
<2−1
n
(n≥2…,n∈N+)．
22. （本小题12分）设数列{a n}的前n项和为S n，并且满足2S n=a n2+n n a>0 (1)求a1,a2,a3
(2)猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
(3)设x>0,y>0，且x+y=1，证明：√a n x+1+√a n y+1≤√2(n+2)
23. 已知f(n)=1+1
2+1
3
+⋯+1
n
，n=1，2，3，…．
求证：100+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=100f(100)．
24. 用数学归纳法证明：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)
2
(n∈N∗)
25. 用数学归纳法证明：1
1×3+1
3×5
+1
5×7
+⋯+1
(2n−1)(2n+1)
=n
2n+1
.
26. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n的等差中项为1．
（1）写出a1，a2，a3；
（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明．
27. 用数学归纳法证明：(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ，i为虚数单位，θ∈R，n∈N，且n≥2.
28. 若n属于自然数，n≥3，证明：2n>2n+1．
29. （1）证明|sin2x|≤2|sin x|；（x为任意值） 29.
（2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明|sin nx|≤n|sin x|．（x为任意值）
30. 已知数列{a n}满足a1=1，且5a n+1−2a n a n+1+3a n=8(m∈N∗)．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
31. 若n是自然数，证明：2n>n．
32. 用数学归纳法证明：
（1）x2n−1能被x+1整除；
（2）62n−1+1能被7整除；
（3）n(n+1)(2n+1)能被6整除．
33. 当n ≥2(n ∈N ∗)时，S n =(1−1
4
)(1−1
9
)(1−
116
) (1)
1n
2)，T
n =n+12n
（1）求S 2，S 3，T 2，T 3；
（2）猜测S n 与T n 的关系且证明．
34. 用数学归纳法证明：1+√
2
√
3
√
n
<2√n(n ∈N +
)．
35. 在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成
个部分．现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．设空间内个平面最多可将空间分成
个部分．
（1）求的值；
（2）用数学归纳法证明此结论．
36. 设数列{a n }对一切n ∈N ∗，满足a 1=2，a n+1+a n =4n +2．试用数学归纳法证
明：a n =2n ．
37. 用数学归纳法证明a n+1+(a +1)2n−1能被a 2+a +1整除(n ∈N ∗)．
38. 用数学归纳法证明，若f(n)=1+1
2+1
3+...+1
n ，则n +f(1)+f(2)+...+f(n −1)=n ⋅f(n)(n ≥2，且n ∈N +)．
39. 利用数学归纳法证明不等式：
1
2×34×...×2n−12n
<
√
2n+1
∈N ∗
)
40. 已知数列11×2，12×3，13×4， (1)
n(n+1)…计算S 1，S 2，S 3，根据据算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．
参考答案与试题解析
高中数学数学归纳法练习题含答案
一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）
1.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1，2，3，命题是否成立；可得答案．
【解答】
解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=2×1+1=3，2n>2n+1不成立，n=2时，左=22=4，右=2×2+1=5，2n>2n+1不成立，
n=3时，左=23=8，右=3×2+1=7，2n>2n+1成立，
因为n≥3成立，所以2n>2n+1恒成立．
所以n的第一个取值应是3．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
由题中条件：“假设n=k(k≥1)时命题正确，可以推出n=k+2时命题也正确”结合验证当n=1时命题成立，得到1+2=3时命题成立，进一步得到3+2=5命题也成立，…，即可推出正确选项．
【解答】
解：本题证的是对n=1，3，5，7，命题成立，即命题对一切正奇数成立．
A、B、D不正确；
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
数学归纳法
【解析】
直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．
【解答】
解：用数学归纳法证明1+1
2+1
3
+...+1
2n−1
<n(n∈N∗，且n>1)时，
第一步应代入n=2，得到1+1
2+1
3
<2.
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．
【解答】
解：当n=1时，易知左边=1+a.
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，验证n=1成立，但当n=2，3，4，5时不成立，从n=6始，命题成立；可得答案．
【解答】
解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n=1时，左=21=2，
右=2×12−2×1+1=1，2n>2n2−2n+1成立，
但是n=2时，左=22=4，
右=2×22−2×2+1=5，2n>2n2−2n+1不成立，
n=3时，左=23=8，
右=2×32−2×3+1=13，2n>2n2−2n+1不成立，
n=4时，左=24=16，
右=2×42−2×4+1=25，2n>2n2−2n+1不成立，
n=5时，左=25=32，
右=2×52−2×5+1=41，2n>2n2−2n+1不成立，
n=6时，左=26=64，
右=2×62−2×6+1=61，2n>2n2−2n+1成立.
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
数学归纳法
【解析】
当n=1时，左端的a的次数由0次依次递增，最高次数为(2n+1)次，从而可知n=1时，左端计算所得项．
【解答】
，(a≠1)”左端和式中a的次数由0次依解：∵等式“1+a+a2+...+a2n+1=1−a2n+2
1−a
次递增，当n=k时，最高次数为(2k+1)次，
∴用数学归纳法证明“1+a+a2+...+a2n+1=1−a2n+2
，(a≠1)”，在验证n=1时，
1−a
左端计算所得项为1+a+a2+a3，
故选：D．
7.
【答案】
B
【考点】
数学归纳法
【解析】
直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．【解答】
解：用数学归纳法证明1+1
2+1
3
+...+1
2n−1
<n(n∈N∗, n>1)时，
第一步应验证不等式为：1+1
2+1
3
<2.
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的步骤知，我们由在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k+m)成立，由此类推，对n>m的任意整数均成立，结合小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，由此不难得到m的最大值．
【解答】
解：由题意可知，
f(n)对n=1，2，3都成立，
假设f(k)成立的前提下，证明了f(k+m)成立时，
m的最大值可以为：3．
故选C．
9.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论．
【解答】
解：用数学归纳法证明等式
1+1
2+1
3
+1
4
+⋯+1
2n−1+1
<f(n)(n≥2, n∈N∗)的过程中，
假设n=k时不等式成立，
左边=1+1
2+1
3
+1
4
+...+1
2k−1+1
，
则当n=k+1时，
左边=1+1
2+1
3
+1
4
+...+1
2k+1
<f(n)
∴ 由n =k 递推到n =k +1时不等式左边增加了 共(2k +1)−2k−1−1=2k−1项， 故选C ． 10.
【答案】 D
【考点】 数学归纳法 【解析】
利用数学归纳法的证明方法步骤及其原理即可得出． 【解答】
解：用数学归纳法证明不等式“1
n+1+1
n+2+⋯+1
2n >13
24(n >2)”时的过程中，由n =k 到n =k +1，(k >2)时，不等式的左边增加了：两项1
2k+1+1
2(k+1)，又减少了一项1
k+1． 故选：D ．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.
【答案】 12
【考点】 数学归纳法 【解析】
【解答】
解：根据数表可知输的排列规律，1，3，5，7，9⋯，都是连续奇数， 第一行共20=1个数，
第二行共21=2个数，且第一个数是3=22−1， 第三行共22=4个数，且第一个数是7=23−1， 第四行共23=8个数，且第一个数是15=24−1， ⋯
第十行共29=512个数，且第一个数是1023=210−1， 第二个数为1025， 所以m =10，n =2， 所以m +n =10+2=12. 故答案为：12. 12. 【答案】 12+13+14 【考点】 数学归纳法 【解析】
本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“1
n+1+1
n+2+1
n+3+ (1)
3n+1>25
12(n >2)左边的各项，他们都是以1
n+1开始，以1
3n+1项结束，共2n +1项，写出结果即可．
【解答】
解：n=1时，1
n+1+1
n+2
+1
n+3
+ (1)
3n+1
化为：1
2
+1
3
+1
4
．当n=1时，不等式左边的项
为1
2+1
3
+1
4
．
故答案为：1
2+1
3
+1
4
．
13.
【答案】
4
【考点】
数学归纳法
【解析】
由等式1×4+2×7+3×10+...+n(3n+1)=n(n+1)2，n∈N+”，当n=1时，3n+1=4，而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，由此易得答案．【解答】
解：在等式：“1×4+2×7+3×10+...+n(3n+1)=n(n+1)2，n∈N+”中，当n=1时，3n+1=4，
而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，
故n=1时，等式左端=1×4=4
故答案为：4．
14.
【答案】
1，√3，2能为同一等差数列的三项
【考点】
数学归纳法
【解析】
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】
解：应假设：1，√3，2能为同一等差数列的三项．
故答案为：1，√3，2能为同一等差数列的三项．
15.
【答案】
1 2+
1
3
+
1
4
【考点】
数学归纳法
【解析】
分析不等式左边的项的特点，即可得出结论．【解答】
解：n=1时，左边的式子是1
2+1
3
+1
4
．
故答案为：1
2+1
3
+1
4
．
16.
【答案】
2k
【考点】数学归纳法【解析】
n=k时，最后一项为1
2k ，n=k+1时，最后一项为1
2k+1
，由此可得由n=k变到n=
k+1时，左边增加的项即可．【解答】
解：由题意，n=k时，最后一项为1
2k ，n=k+1时，最后一项为1
2k+1
∴由n=k变到n=k+1时，左边增加了1
2k+1+1
2k+2
+⋯+1
2k+1
，增加2k项．
故答案为：2k．
17.
【答案】
4
【考点】
数学归纳法
【解析】
根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=4时，命题成立；将n=4代入不等式，可得答案．
【解答】
解：根据数学归纳法的步骤，
首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；
结合本题n≥4，n∈N，
故要验证n=4时，
4n≥n4的成立即44≥44成立；
故答案为：4．
18.
【答案】
2(2k+1)
【考点】
数学归纳法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当n=k时，原式等于2k⋅1⋅3⋯(2k−1)，
当n=k+1时，原式等于2k+1⋅1⋅3⋯(2k−1)⋅[2(k+1)−1]，
观察式子可知，下式比上式多了2(2k+1).
故答案为：2(2k+1).
19.
【答案】
1 2+1+
1
2+2
+
1
2+3
+
1
2+4
【考点】
数学归纳法【解析】
用数学归纳法证明不等式1
n+1+1
n+2
+1
n+3
+⋯+1
3n
>9
10
(n∈N∗且n>1)时，第一步：
不等式的左边是1
2+1+1
2+2
+1
2+3
+1
2+4
．即可得出．
【解答】
解：用数学归纳法证明不等式1
n+1+1
n+2
+1
n+3
+⋯+1
3n
>9
10
(n∈N∗且n>1)时，
第一步：不等式的左边是1
2+1+1
2+2
+1
2+3
+1
2+4
．
故答案为：1
2+1+1
2+2
+1
2+3
+1
2+4
．
20.
【答案】
1 2k+1−
1 2k+2
【考点】数学归纳法【解析】
根据f(k)=1−1
2+1
3
−1
4
+⋯+1
2k−1
−1
2k
的特征，直接写出f(k+1)的表达式，即可推
出要求的结果．【解答】
解：因为f(k)=1−1
2+1
3
−1
4
+⋯+1
2k−1
−1
2k
，
所以f(k+1)=1−1
2+1
3
−1
4
+⋯+1
2k−1
−1
2k
+1
2k+1
−1
2k+2
所以f(k+1)=f(k)+1
2k+1−1
2k+2
，
故答案为：1
2k+1−1
2k+2
三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）
21.
【答案】
解：证明：解法一（放缩法）：∵1
n2<1
(n−1)×n
∴1+1
22
+1
32
+⋯+1
n2
<1+1
1×2
+
1 2×3+⋯+1
(n−1)×n
又∵1
(n−1)×n =1
n−1
−1
n
∴1+1
1×2
+1
2×3
+⋯+1
(n−1)×n
=1+1−1
2
+1
2
−1
3
+⋯+1
n−1
−
1 n =2−1
n
即1+1
22+1
32
+⋯+1
n2
<2−1
n
(n≥2…,n∈N+)，即证．
解法二（数学归纳法）：
①当n=2时，左端=1+1
22=5
4
，右端=2−1
2
=3
2
=6
4
，∴左端<右端，即证．
②假设n=k时，有1+1
22+1
32
+⋯+1
n2
<2−1
n
(n≥2…,n∈N+)恒成立，即1+1
22
+
1 32+⋯+1
k2
<2−1
k
恒成立，
那么当n=k+1时，1+1
22+⋯+1
k2
+1
(k+1)2
<2−1
k
+1
(k+1)2
=2−k2+k+1
(k+1)2⋅k
<2−
k2+k (k+1)2⋅k =2−1
k+1
也成立，
即当n=k时上述原命题也成立，
综上，由①②知，1+1
22+1
32
+⋯+1
n2
<2−1
n
(n≥2…,n∈N+)恒成立，即证．
【考点】
数学归纳法
【解析】
此题解法有两种：解法一是运用放缩法来证明；将左端最后一项放大，并变成两项之差，再用叠加法，即可．
解法二是运用数学归纳法来证明．在证明过程中，第一步实际是验证思想，将n=2代入检验，第二步是关键一步，
尤其是从k到k+1时，要注意增添了哪几项．
【解答】
解：证明：解法一（放缩法）：∵1
n2<1
(n−1)×n
∴1+1
22
+1
32
+⋯+1
n2
<1+1
1×2
+
1 2×3+⋯+1
(n−1)×n
又∵1
(n−1)×n =1
n−1
−1
n
∴1+1
1×2
+1
2×3
+⋯+1
(n−1)×n
=1+1−1
2
+1
2
−1
3
+⋯+1
n−1
−
1 n =2−1
n
即1+1
22+1
32
+⋯+1
n2
<2−1
n
(n≥2…,n∈N+)，即证．
解法二（数学归纳法）：
①当n=2时，左端=1+1
22=5
4
，右端=2−1
2
=3
2
=6
4
，∴左端<右端，即证．
②假设n=k时，有1+1
2+1
3
+⋯+1
n
<2−1
n
(n≥2…,n∈N+)恒成立，即1+1
2
+
1 32+⋯+1
k2
<2−1
k
恒成立，
那么当n=k+1时，1+1
22+⋯+1
k2
+1
(k+1)2
<2−1
k
+1
(k+1)2
=2−k2+k+1
(k+1)2⋅k
<2−
k2+k (k+1)2⋅k =2−1
k+1
也成立，
即当n=k时上述原命题也成立，
综上，由①②知，1+1
22+1
32
+⋯+1
n2
<2−1
n
(n≥2…,n∈N+)恒成立，即证．
22.
【答案】
【考点】
数学归纳法
【解析】
【解答】
23.
【答案】
证明：先用数学归纳法证明等式：(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+ 1)．
)=3
证(1)当n=1时，左边=2+f(1)=2+1=3，右边=2(f(2))=2(1+1
2
∴左边=右边，∴等式成立．…
(2)假设n=k时，等式成立，即(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(k)）=(k+1)f(k+1)
上式两边同时加1+f(k+1)得：(k+1)+1+f(1)+f(2)+...f(k)+f(k+1)=
(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)
∵(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+1)+1，
∴(k+1)f(k+2)+f(k+1)+1−(k+2)f(k+2)=(k+2)[f(k+1)−f(k+ 2)]+1
=(k+2)(−1
)+1=0．
k+2
∴(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+2)
∴[(k+1)+1]+f(1)+f(2)+...+f(k)+f(k+1)=(k+2)f(k+2)
∴n=k+1时等式也成立．…
由(1)、(2)知，等式(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)
对一切n∈N∗都成立．
∴100+f(1)+f(2)+...+f(99)=100f(100)．…
【考点】
数学归纳法
【解析】
为了证明100+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=100f(100)．先用数学归纳法证明等式：(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)．故首先检验当n=1时，等
式两边成立，再假设当n=k时，等式两边成立，写出此时的等式，准备后面要用，再
检验当n=k+1时，等式成立，使用n=k时的条件，整理出结果，最后总结对于所
有的自然数结论都成立．从而证得100+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=100f(100)．【解答】
证明：先用数学归纳法证明等式：(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+
1)．
证(1)当n=1时，左边=2+f(1)=2+1=3，右边=2(f(2))=2(1+1
2
)=3
∴左边=右边，∴等式成立．…
(2)假设n=k时，等式成立，即(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(k)）=(k+1)f(k+1)上式两边同时加1+f(k+1)得：(k+1)+1+f(1)+f(2)+...f(k)+f(k+1)= (k+1)f(k+1)+1+f(k+1)
∵(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+1)+1，
∴(k+1)f(k+2)+f(k+1)+1−(k+2)f(k+2)=(k+2)[f(k+1)−f(k+ 2)]+1
=(k+2)(−1
k+2
)+1=0．
∴(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+2)
∴[(k+1)+1]+f(1)+f(2)+...+f(k)+f(k+1)=(k+2)f(k+2)
∴n=k+1时等式也成立．…
由(1)、(2)知，等式(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)
对一切n∈N∗都成立．
∴100+f(1)+f(2)+...+f(99)=100f(100)．…
24.
【答案】
证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；
②假设n=k时，结论成立，即：(k+1)+(k+2)+...+(k+k)=k(3k+1)
2
则n=k+1时，等式左边=(k+2)+(k+3)+...+(k+k+1)+(k+1+k+1)=
k(3k+1)
2+3k+2=(k+1)(3k+4)
2
故n=k+1时，等式成立
由①②可知：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)
2
(n∈N∗)成立
【考点】
数学归纳法
【解析】
根据数学归纳法的证题步骤，先证n=1时，等式成立；再假设n=k时，等式成立，再证n=k+1时等式成立．关键是注意n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项
【解答】
证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；
②假设n=k时，结论成立，即：(k+1)+(k+2)+...+(k+k)=k(3k+1)
2
则n=k+1时，等式左边=(k+2)+(k+3)+...+(k+k+1)+(k+1+k+1)=
k(3k+1)
2+3k+2=(k+1)(3k+4)
2
故n=k+1时，等式成立
由①②可知：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)
2
(n∈N∗)成立25.
【答案】
证明：(1)当n =1时，左边=1
3
，右边=1
3
，等式成立．
(2)假设当n =k 时，等式成立， 即1
1×3+1
3×5+1
5×7+⋯+1
(2k−1)(2k+1) =k 2k+1，
那么，当n =k +1时， 左边=1
1×3+1
3×5+1
5×7+⋯ +
1(2k −1)(2k +1)+1
(2k +1)(2k +3)
=k
2k+1+1
(2k+1)(2k+3)=k+1
2k+3，
这就是说，当n =k +1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式1
1×3+1
3×5+1
5×7+⋯ +1
(
2n−1)(2n+1)
=
n
2n+1
对任何n ∈N ∗都成立．
【考点】 数学归纳法 【解析】 无
【解答】
证明：(1)当n =1时，左边=1
3
，右边=1
3
，等式成立．
(2)假设当n =k 时，等式成立， 即1
1×3+1
3×5+1
5×7+⋯+1
(2k−1)(2k+1) =k 2k+1，
那么，当n =k +1时， 左边=1
1×3+1
3×5+1
5×7+⋯ +1(2k −1)(2k +1)+1
(2k +1)(2k +3)
=
k 2k+1
+1
(
2k+1)(2k+3)
=
k+1
2k+3
，
这就是说，当n =k +1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式1
1×3+1
3×5+1
5×7+⋯ +1
(2n−1)(2n+1)=n
2n+1对任何n ∈N ∗都成立． 26.
【答案】 解：（1）由题意S n +a n =2，
∴ a 1=1，a 2=1
2
，a 3=1
4
．
（2）猜想：a n =1
2n−1． 下面用数学归纳法证明：
①当n =1时，a 1=1，1
21−1=1
20=1，猜想成立． ②假设当n =k 时，等式成立，即a k =1
2k−1， 则当n =k +1时，由S k+1+a k+1=2，S k +a k =2， 得(S k+1−S k )+a k+1−a k =0， 即2a k+1=a k ， ∴ a k+1=1
2a k =1
2k ，
∴ 当n =k +1时，猜想也成立， ∴ 对于任意n ∈N +，a n =1
2n−1． 【考点】 数学归纳法
数列的概念及简单表示法
【解析】
（1）依次把n =1，2，3代入S n +a n =2计算即可；
（2）先验证n =1，再假设n =k 猜想成立，推导n =k +1成立即可． 【解答】 解：（1）由题意S n +a n =2， ∴ a 1=1，a 2=1
2
，a 3=14
．
（2）猜想：a n =
12n−1
．
下面用数学归纳法证明： ①当n =1时，a 1=1，
121−1
=
120
=1，猜想成立．
②假设当n =k 时，等式成立，即a k =1
2k−1， 则当n =k +1时，由S k+1+a k+1=2，S k +a k =2， 得(S k+1−S k )+a k+1−a k =0， 即2a k+1=a k ， ∴ a k+1=1
2a k =1
2，
∴ 当n =k +1时，猜想也成立， ∴ 对于任意n ∈N +，a n =1
2n−1． 27.
【答案】
解：(1)当n =12时，(cos θ+i sin θ)2=cos 2θ+2i cos θsin θ−sin 2θ=cos 2θ+i sin 2θ，
所以n=2时等式成立；
(2)假设当n=k(k≥2)时，等式成立，即(cosθ+i sinθ)k=cos kθ+i sin kθ．
当n=k+1时，(cosθ+i sinθ)k+1
=(cosθ+i sinθ)k(cosθ+i sinθ)
=(cos kθ+i sin kθ)(cosθ+i sinθ)
=cos kθcosθ−sin kθsinθ+(cos kθsinθ+sin kθcosθ)i
=cos[(k+1)θ]+i sin[(k+1)θ]，
∴当n=k+1时，等式成立．
综上所述，(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ当n≥2时成立．
【考点】
数学归纳法
【解析】
利用数学归纳法即可证明．
【解答】
解：(1)当n=12时，(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+2i cosθsinθ−sin2θ=cos2θ+i sin2θ，所以n=2时等式成立；
(2)假设当n=k(k≥2)时，等式成立，即(cosθ+i sinθ)k=cos kθ+i sin kθ．
当n=k+1时，(cosθ+i sinθ)k+1
=(cosθ+i sinθ)k(cosθ+i sinθ)
=(cos kθ+i sin kθ)(cosθ+i sinθ)
=cos kθcosθ−sin kθsinθ+(cos kθsinθ+sin kθcosθ)i
=cos[(k+1)θ]+i sin[(k+1)θ]，
∴当n=k+1时，等式成立．
综上所述，(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ当n≥2时成立．
28.
【答案】
证明：①n=3时，8>7成立；
②假设n=k时不等式成立，即2k>2k+1；
则当n=k+1时，左边=2k+1>4k+2>2k+3，成立
综上所述，2n>2n+1．
【考点】
数学归纳法
【解析】
按照数学归纳法的步骤进行证明即可．
【解答】
证明：①n=3时，8>7成立；
②假设n=k时不等式成立，即2k>2k+1；
则当n=k+1时，左边=2k+1>4k+2>2k+3，成立
综上所述，2n>2n+1．
29.
【答案】
证：(1)|sin2x|=|2sin x⋅cos x|=2|sin x|⋅|cos x|．
∵|cos x|≤1，
∴|sin2x|≤2|sin x|；
（2）当n=1时，结论显然成立．
假设当n=k时结论成立，
即|sin kx|≤k|sin x|．
当n=k+1时，
|sin(k+1)x|
=|sin kx⋅cos x+cos kx⋅sin x|≤|sin kx⋅cos x|+|cos kx⋅sin x|
=|sin kx|⋅|cos x|+|cos kx|⋅|sin x|≤k|sin x|+|sin x|
=(k+1)|sin x|．
故当n为任意正整数时，结论均成立．
【考点】
数学归纳法
【解析】
（1）先利用三角函数的二倍角公式，再结合三角函数的有界性即可证明；
（2）用数学归纳法证明三角问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合三角函数的和角公式以及三角函数值的有界性，证明当n=k+1时，结论也成立即可．
【解答】
证：(1)|sin2x|=|2sin x⋅cos x|=2|sin x|⋅|cos x|．
∵|cos x|≤1，
∴|sin2x|≤2|sin x|；
（2）当n=1时，结论显然成立．
假设当n=k时结论成立，
即|sin kx|≤k|sin x|．
当n=k+1时，
|sin(k+1)x|
=|sin kx⋅cos x+cos kx⋅sin x|≤|sin kx⋅cos x|+|cos kx⋅sin x|
=|sin kx|⋅|cos x|+|cos kx|⋅|sin x|≤k|sin x|+|sin x|
=(k+1)|sin x|．
故当n为任意正整数时，结论均成立．
30.
【答案】
解：（1）∵a1=1，5a n+1−2a n a n+1+3a n=8，
∴5a2−2a1a2+3a1=8，
∴3a2=5，
∴a2=5
3
．
同理可得，a3=9
5，a4=13
7
；
（2）由（1）可猜想，a n=4n−3
2n−1
，(n∈N∗)（2）证明：当n=1时，a1=1，等式成立；
假设n=k时，a k=4k−3
2k−1
，
则n=k+1时，由5a k+1−2a k a k+1+3a k=8得：
a k+1=8−3a k
5−2a k =8−3×
4k−3
2k−1
5−2×4k−3
2k−1
=8(2k−1)−12k+9
5(2k−1)−8k+6
=4k+1
2k+1
=4(k+1)−3
2(k+1)−1
，
即n=k+1时，等式也成立；
综上所述，对任意n∈N∗，a n=4n−3
2n−1
．
【考点】
数学归纳法
【解析】
（1）由a1=1，且5a n+1−2a n a n+1+3a n=8，即可求得a2，a3，a4的值；
（2）由（1）中a1，a2，a3，a4的值可猜想a n=4n−3
2n−1
，再用数学归纳法证明即可．【解答】
解：（1）∵a1=1，5a n+1−2a n a n+1+3a n=8，
∴5a2−2a1a2+3a1=8，
∴3a2=5，
∴a2=5
3
．
同理可得，a3=9
5，a4=13
7
；
（2）由（1）可猜想，a n=4n−3
2n−1
，(n∈N∗)（2）证明：当n=1时，a1=1，等式成立；
假设n=k时，a k=4k−3
2k−1
，
则n=k+1时，由5a k+1−2a k a k+1+3a k=8得：
a k+1=8−3a k
5−2a k =8−3×
4k−3
2k−1
5−2×4k−3
2k−1
=8(2k−1)−12k+9
5(2k−1)−8k+6
=4k+1
2k+1
=4(k+1)−3
2(k+1)−1
，
即n=k+1时，等式也成立；
综上所述，对任意n∈N∗，a n=4n−3
2n−1
．
31.
【答案】
证明：①n=0时，1>0成立；
②假设n=k时不等式成立，即2k>k；
则当n=k+1时，左边=2k+1>2k>k+1，成立，即当n=k+1时，不等式也成立．
由①②可得，n是自然数，2n>n．
【考点】
数学归纳法
【解析】
按照数学归纳法的步骤进行证明即可．
【解答】
证明：①n=0时，1>0成立；
②假设n=k时不等式成立，即2k>k；
则当n=k+1时，左边=2k+1>2k>k+1，成立，即当n=k+1时，不等式也成立．
由①②可得，n是自然数，2n>n．
32.
【答案】
证明：①当n＝1时，x2−1＝(x+1)(x−1)，能被x+1整除；
②假设当n＝k时，即x2k−1(k∈N⋅)能被x+1整除，
那么当n＝k+1时：x2（k+1）−1＝x2x2k−1＝x2x2k−x2+x2−1＝x2(x2k−1)+
(x+1)(x−1)，两个表达式都能够被x+1整除，
所以当n＝k+1时，命题也成立，
由①②可知，x2n−1能被x+1整除．
证明：①当n＝1时，62×1−1+1＝6+1＝7，能被7整除；
②假设当n＝k时，即62k−1+1(k∈N⋅)能被7整除，
那么当n＝k+1时：62（k+1）−1+1＝62k+1+1＝6（2k−1）+2+1＝62k−1×62+1=
62k−1×36+1=62k−1×(35+1)+1＝62k−1×35+62k−1+1＝62k−1×5×7+ (62k−1+1)，
由假设知62k−1×5×7+(62k−1+1)能被7整除，
所以当n＝k+1时，命题也成立，
由①②可知，62n−1+1(n∈N⋅)能被7整除．
证明：①当n＝1时，n(n+1)(2n+1)＝6，能被6整除；
②假设当n＝k时，即k(k+1)(2k+1)能被6整除，
那么当n＝k+1时：(k+1)(k+2)(2k+3)＝k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)＝6(k+ 1)2+k(k+1)(2k+1)，
两个表达式都能够被6整除，
所以当n＝k+1时，命题也成立，
由①②可知，n(n+1)(2n+1)能被6整除．
【考点】
数学归纳法
【解析】
用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n＝1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n＝k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n＝k+1时，结论也成立即可．
【解答】
证明：①当n＝1时，x2−1＝(x+1)(x−1)，能被x+1整除；
②假设当n＝k时，即x2k−1(k∈N⋅)能被x+1整除，
那么当n＝k+1时：x2（k+1）−1＝x2x2k−1＝x2x2k−x2+x2−1＝x2(x2k−1)+
(x+1)(x−1)，两个表达式都能够被x+1整除，
所以当n＝k+1时，命题也成立，
由①②可知，x2n−1能被x+1整除．
证明：①当n＝1时，62×1−1+1＝6+1＝7，能被7整除；
②假设当n＝k时，即62k−1+1(k∈N⋅)能被7整除，
那么当n＝k+1时：62（k+1）−1+1＝62k+1+1＝6（2k−1）+2+1＝62k−1×62+1=
62k−1×36+1=62k−1×(35+1)+1＝62k−1×35+62k−1+1＝62k−1×5×7+ (62k−1+1)，
由假设知62k−1×5×7+(62k−1+1)能被7整除，
所以当n＝k+1时，命题也成立，
由①②可知，62n−1+1(n∈N⋅)能被7整除．
证明：①当n＝1时，n(n+1)(2n+1)＝6，能被6整除；
②假设当n＝k时，即k(k+1)(2k+1)能被6整除，
那么当n＝k+1时：(k+1)(k+2)(2k+3)＝k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)＝6(k+ 1)2+k(k+1)(2k+1)，
两个表达式都能够被6整除，
所以当n＝k+1时，命题也成立，
由①②可知，n(n+1)(2n+1)能被6整除．
33.
【答案】
解：（1）S2=1−1
4=3
4
，S3=(1−1
4
)(1−1
9
)=2
3
T2=2+1
2×2
=
3
4
，T3=
3+1
2×3
=
2
3
（2）猜想：S n=T n，用数学归纳法证明，
①n=2时，由（1）知成立；
②假设n=k(k≥2, k∈N)时等式处立．
即(1−1
4
)(1−
1
9
)(1−
1
16
) (1)
1
k2
)=
k+1
2k
，则n=k+1时，
S k+1=(1−1
4
)(1−
1
9
)(1−
1
16
) (1)
1
k2
)[1−
1
(k+1)2
]
=k+1
2k
⋅[1−
1
(k+1)2
]=
(k+1)2−1
2k(k+1)
=
(k+1)+1
2(k+1)
所以n=k+1时，等式成立，
由①②可知对于n≥2，n∈N猜想成立．
【考点】
数学归纳法
【解析】
（1）利用n=2，3，4，分别求出T2，T3，S2，S3，的值；
（2）通过（1）的数值，猜想S n与T n的关系；利用数学归纳法验证n=2时猜想成立，然后假设n=k猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．
【解答】
解：（1）S2=1−1
4=3
4
，S3=(1−1
4
)(1−1
9
)=2
3
T2=2+1
2×2
=
3
4
，T3=
3+1
2×3
=
2
3
（2）猜想：S n=T n，用数学归纳法证明，
①n=2时，由（1）知成立；
②假设n=k(k≥2, k∈N)时等式处立．
即(1−1
4
)(1−
1
9
)(1−
1
16
) (1)
1
k2
)=
k+1
2k
，则n=k+1时，
S k+1=(1−1
4
)(1−
1
9
)(1−
1
16
) (1)
1
k2
)[1−
1
(k+1)2
]
=k+1
2k
⋅[1−
1
(k+1)2
]=
(k+1)2−1
2k(k+1)
=
(k+1)+1
2(k+1)
所以n=k+1时，等式成立，
由①②可知对于n≥2，n∈N猜想成立．
34.
【答案】
证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=2，1<2，所以不等式成立．…
(2)假设n=k时不等式成立，即1+
√2√3√k
<2√k，…
则当n=k+1时，1
√2√3√k√k+1<2√k
√k+1
=√k(k+1)+1
√k+1
<
√k+1
=
2√k+1，…
即当n=k+1时，不等式也成立．
由(1)、(2)可知，对于任意n∈N+时，不等式成立．…
【考点】
数学归纳法
【解析】
直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．
【解答】
证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=2，1<2，所以不等式成立．…
(2)假设n=k时不等式成立，即1+
√2√3√k
<2√k，…
则当n=k+1时，1
23√k√k+1<2√k
√k+1
=√k(k+1)+1
√k+1
<
√k+1
=
2√k+1，…
即当n=k+1时，不等式也成立．
由(1)、(2)可知，对于任意n∈N+时，不等式成立．…
35.
【答案】
（1）a=1
6,b=0,c=5
6
；
（2）见解析．
【考点】
数学归纳法
【解析】
（1）将n=1,2,3代入f(n)得到方程组，求解得到结果；（2）根据数学归纳法的步骤，当n=k+1时，利用
f(k+1)=f(k)+1
2k2+1
2
k+1整理出结论．
【解答】
（1）由f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8得{a+b+c=1
8a+4b+2c=3 27a+9b+3c=7
解得a=1
6,b=0,c=5
6
（2）用数学归纳法证明f(n)=1
6n3+5
6
n+1,n∈N′
①当n=1时，显然成立
②假设当n=k时成立，即f(k)=1
6k3+5
6
k+1
那么当n=k+1时，在k个平面的基础上再添上第k+1个平面
因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第
k+11
2k2−1
2
k+1个平面划分成个，所1
2
k2−1
2
k+1×加加;
加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加(k+1)+11总数增加了即n=k+1
时，结论成立
根据①②可知，f(n)=1
6n3+5
6
n+1,n∈N
36.
【答案】
证明：(1)当n=1时，a1=2=2×1，结论成立；
(2)假设n=k时，a k=2k，
则当n=k+1时，a k+1=4k+2−a k=4k+2−2k=2k+2=2(k+1)，
即n=k+1时结论也成立，
综上所述，对一切n∈N∗，a n=2n．
【考点】
数学归纳法
【解析】
利用数学归纳法，(1)n=1时，易证等式成立；(2)假设n=k时，a k=2k，去证明
n=k+1时结论也成立即可．
【解答】
证明：(1)当n=1时，a1=2=2×1，结论成立；
(2)假设n=k时，a k=2k，
则当n=k+1时，a k+1=4k+2−a k=4k+2−2k=2k+2=2(k+1)，
即n=k+1时结论也成立，
综上所述，对一切n∈N∗，a n=2n．
37.
【答案】
解：(1)当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除
(2)假设n=k(k∈N∗)时，a k+1+(a+1)2k−1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，
a k+2+(a+1)2k+1=a⋅a k+1+(a+1)2(a+1)2k−1
=a[a k+1+(a+1)2k−1]+(a2+a+1)(a+1)2k−1，
由假设可知a[a k+1+(a+1)2k−1]能被(a2+a+1)整除，
(a2+a+1)(a+1)2k−1也能被(a2+a+1)整除
∴a k+2+(a+1)2k+1能被(a2+a+1)整除，即n=k+1时命题也成立，
∴对任意n∈N∗原命题成立．
【考点】
数学归纳法
【解析】
本题考查的知识点是数学归纳法，我们可以先验证①n=1时命题是否成立②假设
n=k时命题成立③推证n=k+1时命题成立→得结论．
【解答】
解：(1)当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除
(2)假设n=k(k∈N∗)时，a k+1+(a+1)2k−1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，
a k+2+(a+1)2k+1=a⋅a k+1+(a+1)2(a+1)2k−1
=a[a k+1+(a+1)2k−1]+(a2+a+1)(a+1)2k−1，
由假设可知a[a k+1+(a+1)2k−1]能被(a2+a+1)整除，
(a2+a+1)(a+1)2k−1也能被(a2+a+1)整除
∴a k+2+(a+1)2k+1能被(a2+a+1)整除，即n=k+1时命题也成立，
∴对任意n∈N∗原命题成立．
38.
【答案】
解：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3，
)=3，左边=右边，等式成立．ks5u
右边=2⋅f(2)=2×(1+1
2
(2)假设n=k时等式成立，即
k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)=kf(k)．
由已知条件可得f(k+1)=f(k)+1
，
k+1
右边=(k+1)⋅f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）．
当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+...+f(k−1)+f(k)
=[k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)]+1+f(k)（凑成归纳假设）
=kf(k)+1+f(k)（利用假设）
=(k+1)⋅f(k)+1
=(k+1)•[f(k+1)−1
]+1
k+1
=(k+1)⋅f(k+1)=右边．
∴当n=k+1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n≥2的正整数等式都成立．
【考点】
数学归纳法
【解析】
应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．
【解答】
解：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3，
)=3，左边=右边，等式成立．ks5u
右边=2⋅f(2)=2×(1+1
2
(2)假设n=k时等式成立，即
k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)=kf(k)．
，
由已知条件可得f(k+1)=f(k)+1
k+1
右边=(k+1)⋅f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）．
当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+...+f(k−1)+f(k)
=[k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)]+1+f(k)（凑成归纳假设）
=kf(k)+1+f(k)（利用假设）
=(k +1)⋅f(k)+1 =(k +1)•[f(k +1)−
1k+1
]+1
=(k +1)⋅f(k +1)=右边．
∴ 当n =k +1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n ≥2的正整数等式都成立． 39. 【答案】
证明：(1)当n =1时，左边=1
2，右边=
3
<右边，不等式成立，
(2)∵ 4n 2−1<4n 2，即(2n +1)(2n −1)<(2n)2．即2n−12n
<2n
2n+1，
∴ √2k+1√2k+2<√2k+2
√2k+3， ∴
√2k+12(k+1)
<
√2k+3
假设当n =k 时，原式成立，即1
2×1
3×...×2k−12k <
√2k+1
， 那么当n =k +1时，即1
2
×1
3×...×
2k−12k
×2k+12(k+1)
<
√2k+1⋅
2k+1
2(k+1)
=
√2k+12(k+1)
<
√2k+3
，
即n =k +1时结论成立．
根据(1)和(2)可知不等式对任意正整数n 都成立． 【考点】 数学归纳法 【解析】
数学归纳法的步骤：①证明n =1时A 式成立②然后假设当n =k 时，A 式成立③证明当n =k +1时，A 式也成立④下绪论：A 式对所有的正整数n 都成立． 【解答】
证明：(1)当n =1时，左边=1
2，右边=
√3
<右边，不等式成立，
(2)∵ 4n 2−1<4n 2，即(2n +1)(2n −1)<(2n)2．即2n−12n
<
2n
2n+1
，
∴ √2k+1√2k+2<√2k+2
√2k+3， ∴
√2k+12(k+1)
<
√2k+3
假设当n =k 时，原式成立，即12
×13
×...×2k−12k <
√2k+1
，
那么当n =k +1时，即1
2×1
3×...×
2k−12k
×2k+1
2(k+1)<
2k+1⋅2k+1
2(k+1)
=√2k+1
2(k+1)<2k+3
，
即n =k +1时结论成立．
根据(1)和(2)可知不等式对任意正整数n 都成立． 40. 【答案】 解： S 1=1−1
S2=1−1 3
S3=1−1 4
猜想：S n=1−1
n+1
下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，左边S1=1−1
2=1
2
，右边1−1
2
=1
2
②假设n=k时，猜想成立，即
1 1×2+
1
2×3
++
1
k(k+1)
=1−
1
k+1
1 1×2+
1
2×3
++
1
k(k+1)
+
1
(k+1)(k+2)
=1−
1
k+1
+
1
(k+1)(k+2)
=1−
1
k+1
(1−
1
k+2
)=1−
1
(k+1)+1
∴n=k+1时猜想也成立
根据1，2可知猜想对任何n∈N∗都成立．【考点】
数学归纳法
【解析】
由数列1
1×2，1
2×3
，1
3×4
， (1)
n(n+1)
…，分别令n=1，2，3，求得S1，S2，S3，的值，猜
想S n的表达式，应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．【解答】
解：
S1=1−1 2
S2=1−1 3
S3=1−1 4
猜想：S n=1−1
n+1
下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，左边S1=1−1
2=1
2
，右边1−1
2
=1
2
②假设n=k时，猜想成立，即
1
+1
++
1
=1−
1
1 1×2+
1
2×3
++
1
k(k+1)
+
1
(k+1)(k+2)
=1−
1
k+1
+
1
(k+1)(k+2)
=1−
1
k+1
(1−
1
k+2
)=1−
1
(k+1)+1
∴n=k+1时猜想也成立
根据1，2可知猜想对任何n∈N∗都成立．。