高考数学(理)一轮对点训练：12-1-3 几何概型 Word版含解析

1．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥1
2”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤1
2”的概率，则( )
A ．p 1<p 2<p 3
B ．p 2<p 3<p 1
C ．p 3<p 1<p 2
D ．p 3<p 2<p 1
答案 B
解析 x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥1
2”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤1
2”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤1
2”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.
2.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋1
2π B.14－12π C.12－1
π D.12＋1π
答案 B
解析 ∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作图如下：
∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－1
2. 故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－1
2π＝14－1
2π.
3．由不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，y ≥0，
y －x －2≤0
确定的平面区域记为Ω1，不等式
组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤1，
x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.1
8 B.1
4 C.3
4 D.78
答案 D
解析 如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S △AOM ＝1
2×2×2＝2.
Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S 阴＝SΩ1－S △ABC ＝2－1
2×1×12＝74.
由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P ＝S 阴SΩ1＝742＝7
8.故选D.
4．设集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤2}，B ＝{(x ，y )∈A |y ≤x 2}，从集合A 中随机地取出一元素P (x ，y )，则P (x ，y )∈B 的概率是( )
A.1
12 B.23 C.17
24 D.56
答案 C
解析 集合A 表示顶点为(2,0)，(－2,0)，(0,2)，(0，－2)的正方形，作出集合A ，B ，如图所示：
则S 正＝8，S B ＝8－2⎠
⎛0
1(2－x －x 2)d x ＝8－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －12x 2－13x 3⎪⎪⎪
1
0＝17
3，∴P ＝17
38＝1724.故应选C .
5．如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
答案 5
12
解析 依题意知点D 的坐标为(1,4)，所以矩形ABCD 的面积S
＝1×4＝4，阴影部分的面积S 阴影＝4－⎠
⎛1
2x 2
d x ＝4－13x 3⎪⎪⎪
2
1＝4－73＝53，
根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P ＝S 阴影S ＝534＝5
12.
6.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
答案 1－π12
解析 如图，与点O 距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积为V 1＝12×43π×13
＝2π3
.
事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3，
根据几何概型概率公式得，点P 与点O 距离大于1的概率P ＝23－2π3
23＝1－π
12.
7．若在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，则满足|x|≤3的概率为
________．
答案 56
解析 由|x|≤3，所以－3≤x ≤3.所以在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，满足|x|≤3的区间为[－2,3]，故所求概率为3－(－2)4－(－2)
＝56.。