测度论与概率论第一章第二节测度论中的常用集族(版本14.5.23)

{
}
（2）对任意可列个 An ∈ F， n = 1， 2， ⋯， An ∈ F ，即 F 可列并运算封闭；
∞
∪
n =1
注 1.2.3 设 F 为 σ 代数，任取 A，B ∈ F ，作可列个集合的序列 A, B, B, B ⋯ ,于是由 σ 代 数的定义知， A ∪ B = A ∪ B ∪ B ∪ B ⋯ ∈ F ，所以 F 对并运算封闭， F 也是一个代数。 但代未必是 σ 代数。 注 1.2.4 σ 代数对有限并，可列并，有限交，可列交，差运算，对称差运算和取补运算封 闭。事实上，由注 1.3.1 知，σ 代数是代数，因而只要证明 σ 代数对可列交封闭即可。设 F 为
[ a, b ) \ [ c, d ) 由 8 块半开半闭区间组成，即 [ a, b ) \ [c, d ) = [ a1 , c1 ) × [ a2 , c2 ) ∪ [ c1 , d1 ) × [ a2 , c2 ) ∪ [ d1 , b1 ) × [ a2 , c2 )
∪ [ a1 , c1 ) × [ d 2 , b2 ) ∪ [ c1 , d1 ) × [ d 2 , b2 ) ∪ [ d1 , b1 ) × [ d 2 , b2 ) ∪ [ a1 , c1 ) × [ c2 , d 2 ) ∪ [ d1 , b1 ) × [ c2 , d 2 )
1.2 测度论中常用集族
以集合为元素的集合称为集族，如果这些集族是一个基本集 X 的子集，就称为 X 上 的集族。测度论中所考虑的集合都是一个固定的基本集 X 上的子集。在基本集已经明确的 前提下, X 上的集族 A 就简称为集族 A 。 因为集族中的元素是集合，所以可以在集族上进行集合的运算。设 F 为 X 上的一个 集族， ⊗ 表示一种集合的运算，如并、交、差、对称差和取补集。如果对任意的两个 F 中 的集合 A ∈ F , B ∈ F ，有 A ⊗ B ∈ F ，就称 F 对运算 ⊗ 封闭。测度论中考察的集族都要 求对某个或某几个集合的运算是封闭的。以下介绍几个常用的集族。 定义 1.2.1（半环）设 F 为一个集族，并满足以下三个条件 （1） F 包含空集，即 φ ∈ F ； （2） F 对交运算封闭，即对任意 A ∈ F , B ∈ F ，有 A ∩ B ∈ F ； （3）对 F 中的任意两个集合 A 和 B ，若 A 包含 B ，即 A ⊃ B ，则 A 减 B ，即 A \ B 可以 表示为 F 中有限个两两不相交的集合的并，即有 C1 , C2 ,⋯ Cn ∈ F , Ci ∩ C j = φ (i ≠ j ) ，使
[ a, b ) = {( x1 , x2 ,⋯, xn ) ; a1 ≤ x1 < b1 , a2 ≤ x2 < b2 ,⋯ an ≤ xn < bn }
则可以验证，由这样的半开半闭区间的全体组成的集族 F 为 R n 上的半环。为简单起见， 只考虑 2 维的情形。事实上 （ 1） [ a , a ) =
[ a, b ) ∩ [c, d ) = [ c1 , d1 ) × [c2 , d2 ) ∈ F
再考虑情形 II（如图 1.3.2）所示，这时
[ a, b ) ∩ [c, d ) = [ c1 , b1 ) × [ a2 , d 2 ) ∈ F
其他情形类似。 （ 3 ）假设 [ a, b ) ⊃ [ c, d ) ，由图 1.3.1 知，这时 a1 ≤ c1 , b1 > d1 ， a2 ≤ c2 , b2 > d 2 ，于是
2
(3)
A, B ∈ F ( X ) ， A \ B ∈ F ( X ) ；
故 F ( X ) 为一个半环。 注 1.2.1 设 F 为半环，那么 F 中两元素 A, B 的差 A \ B 必可表示为 F 中有限个两两不相
交的集合 C1 , C2 ,⋯ Cn 的并，即
A \ B =C1 ∪ C2 ∪⋯ ∪ Cn ，
A \ B = A\ ( A ∩ B ) ∈ F ， A ∪ B = A ∪ ( B \ A) ∈ F ， F 对差运算和并运算封闭，所以 F
为环。 推论 1.2.1 若集族 F 为环，则 φ ∈ F ，且 F 对有限并，有限交，差运算，和对称差运算封 闭。 证明：任取 A ，B ∈ F ， Ai ∈ F ,1 ≤ i ≤ n ，则 φ = A \ A ∈ F ，由定理 1.3.1（2）及数学归 纳法知
做集族 A = A; A ∈ F且Ac ∈ F ， 试用定理 1.3.2 的 （2） 证明 A 为 练习 1.2.1 设 F 为环， 代数。 定义 1.2.4（ σ 代数）设 F 为一个集族，如果它满足如下条件，就称为 σ 代数。 （1）对任意 A ∈ F，有A ∈ F ，即 F 对取补运算封闭；
c
下面的定理给出环的等价条件。 定理 1.2.1 设 F 为不空集族，则 F 为环当且仅当下列三个条件中的一个成立。 （1）若 A, B ∈ F，则 A ∩ B ∈ F，A∆B ∈ F ； （2）若 A, B ∈ F，则 A ∪ B ∈ F，A∆B ∈ F （3）设 A, B ∈ F，则
3
(i) A ∩ B ∈ F , (ii) 若 A ∩ B =φ ，则 A ∪ B ∈ F ， (iii) 若 A ⊃ B ，则 A \ B ∈ F 。 证明：采用蕴含关系来证明，即环 ⇒ (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ 环。 往 证 ： 环 ⇒ (1) 。 设 A, B ∈ F ， 因 为 F 为 环 ， 对 差 运 算 和 并 运 算 封 闭 ， 所 以
A \ B ∈ F，B \ A ∈ F ， A∆B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) ∈ F ， A ∩ B = ( A ∪ B ) \ ( A∆B ) ∈ F 。
往证： (1) ⇒ (2) 。设 A，B ∈ F ，则由（1）知， F 对交运算和对称差运算封闭，故
A ∩ B ∈ F ， A∆B ∈ F ， A ∪ B = ( A ∩ B ) ∆ ( A∆B ) ∈ F 。
c c
A ∩ B = ( Ac ∪ B c ) ∈ F 。
c
往 证 ： (3) ⇒ (1) 。
c
取
A, B ∈ F
， 则
Ac , Bc ∈F
， A \ B = A ∩ B ∈F ，
c
A ∪ B = ( Ac ∩ B c ) ∈ F ，故 F 为环，又 X = A ∪ Ac ∈ F ，故 F 为代数。
{( x , x ) ; a ≤ x
1 2
1
< a, a ≤ x2 < a, ( x1 , x2 ) ∈ R 2 } ∈ F ，而 [ a, a ) =φ ,φ ∈ F ；
1
（2）假设 [ a, b ) , [ c, d ) ∈ F ，这里 [ a, b ) = [ a1 , b1 ) × [ a2 , b2 ) ， [ c, d ) = [ c1 , d1 ) × [ c2 , d 2 ) 。 考虑情形 I（如图 1.3.1）所示，这时
A \ B = A \ ( B ∩ A ) = ∑ Ci 。
i =1
n
定义 1.2.2 （环）设 F 为一个集族，且对并运算和差运算封闭，即有 （1）若 A , B ∈ F ，则 A ∪ B ∈ F （2）若 A , B ∈ F ，则 A \ B ∈ F ， 那么就称 F 为环。 【例 1.2.4】 设 X 为任意集合， F ( X ) 是由 X 的所有子集构成的集族，则 F ( X ) 为环， 这 是 因 为 对 ∀A, B ∈ F ( X ) ， A ∪ B 为 X 的 子 集 ， 所 以 A ∪ B ∈ F ( X ) ； 又 对
∀A, B ∈ F ( X ) ， A \ B 为 X 的子集，所以 A \ B ∈ F ( X ) 。故 F ( X ) 为环。
【例 1.2.5】 例 1.3.1 和例 1.3.2 中的集族不是环，因为两个区间的差可能不是一个区间，如
[1,3) \ [2, 2.5) = [1, 2) ∪ [2.5,3) 。
∪Ai ∈ F ，还有 A∆B ∈ F 。由定理 1.3.1（1）及数学归纳法知 ∩Ai ∈ F 。
i =1 i =1
c
n
n
定义 1.2.3（代数） 设 X 为基本集， F 为 X 上的环，若有 X ∈ F ，则称 F 为代数。 注 1.2.2 设 F 为代数，则 E = X \ E ∈ F ，所以代数对补运算也是封闭的。因为代数必是 环，所以可得结论：设 F 为代数，则 F 对有限并，有限交，差运算，对称差运算和取补运 算是封闭的。 【例 1.2.6】考察例 1.3.4 中的集族 F( X ) ，因为 X ∈ F ( X ) ，又是环，所以是一个代数。 下面的定理给出了集族为代数的充分必要条件。 定理 1.2.2 设 F 为 X 上的集族，则下列命题等价 （1） F 为代数； （2）对 A , B ∈ F ，有 A ∪ B ∈ F ， A ∈ F ，即 F 对并运算和取补运算封闭；
x ∈ A ， x ∉ B ∩ A ⊂ B ，所以 x ∈ A \ B ，从而 A \ B ⊃ A \ ( B ∩ A) ， A \ B = A \ ( B ∩ A ) 。
又 因 为 A ⊃ B ∩ A ∈ F ， 所 以 存 在 C1 , C2 ,⋯ Cn ∈ F, Ci ∩ C j = φ , i ≠ j ， 使
[ a, b ) \ [c, d ) = [ a, c ) ∪ [b, d ) ∈ F
所以 F 满足半环的定义。 【例 1.2.2 】 记 R n 为 n 维实数空间，设 a = ( a1 , a2 ,⋯ , an ) , b = ( b1 , b2 ,⋯ , bn ) ∈ R ，且
n
a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 ,⋯ , an ≤ bn ，由这两个点构成 R n 上的一个半开半闭区间
往 证 ： (2) ⇒ (3) 。 设 A，B ∈ F ， 因 为 F 对 并 运 算 和 对 称 差 运 算 封 闭 ， 所 以
A ∩ B = ( A ∪ B ) ∆ ( A∆B ) ∈ F ，如果还有 A ⊃ B ，则 A \ B = A∆B ∈ F 。
往证： (3) ⇒ 环。设 A ，B ∈ F ，则由（ 3）知 A ∩ B ∈ F ，又 A ⊃ A ∩ B ，由（ 3）知
事实上， 因为对任意 x ∈ A \ B ，x ∈ A, x ∉ B ， 这里，C1 , C2 ,⋯ Cn ∈ F, Ci ∩ C j = φ , i ≠ j 。 故 x ∉ A ∩ B ，所以 x ∈ A \ ( B ∩ A ) ， A \ B ⊂ A \ ( B ∩ A ) 。再任取 ∀x ∈ A \ ( B ∩ A ) ，则
[ a, a ) = φ ,
所以 φ ∈ F ；
（2） [ a, b ) ∩ [ c, d ) = [ e, f ) ∈ F ，其中 e = max {a, c} ,f = min {b, d } ； （3）设 [ a, b ) , [ c, d ) ∈ F ，这里 a < c, b < d , [ a, b ) ⊃ [ c, d ) ，则
显然这 8 个半开半闭区间是两两不相交的，且属于 F ，故 [ a, b ) \ [ c, d ) ∈ F 。 综合以上分析，可知 F 为半环。
图 1.3.1
图 1.3.2
【例 1.2.3】 设 X 为任意集， F ( X ) 为 X 中的全体子集组成的集族，则 F ( X ) 为半环。 事实上 （1） φ ⊂ X ，所以 φ ∈ F ( X ) ； （2）若 A, B ∈ F ( X ) ，则 A ∩ B ⊂ X ∈ F ( X ) ；
c
（3）对 A, B ∈F ，有 A ∩ B ∈ F ， A ∈ F ，即 F 对交运算和取补运算封闭；
c
4
证明：往证： (1) ⇒ (2) 。 对任意 A ∈ F ， A = X \ A ∈ F
c
往 证 ： (2) ⇒ (3) 。 任 取
A, B ∈ F
， 则
Ac , Bc ∈F
， A ∪ B ∈F ， 于 是
A \ B = ∑ Ci ，则称 F 为半环。
பைடு நூலகம்k =1
n
【例 1.2.1】 记 R 为实数的集合，考虑全体 R 中所有左闭右开区间 即F =
[ a, b ) 组成的集族 F
，
{ [ a , b ) ; a ≤ b, a , b ∈ R } 则 F
是 R 上的一个半环。事实上
（1） [ a, a ) = { x; a ≤ x < a, a ∈ R} ∈ F , 而