高中数学必修一北师大版本《7.2.1 古典概型的概率计算公式》教学课件
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(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y).则x有 10种可能,y有9种可能,共有可能结果10×9=90种.因此,事件 A的概率是1980=15.
(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有 10种可能,y有10种可能,共有可能结果10×10=100种,因此, 事件A的概率是11080=590.
解析:①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特 点.③不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素 影响.
答案:①②④
方法归纳 判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个 特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
题型二 古典概型概率的计算——师生共研 例1 某市举行职工技能比赛活动,甲厂派出2男1女共3名职 工,乙厂派出2男2女共4名职工. (1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛,求选出 的2名职工性别相同的概率; (2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛,求 选出的这2名职工来自同一工厂的概率.
设甲厂男职工为A1,A2,女职工为a,乙厂男职工为B1,B2, 女职工为b1,b2,用列举法列出事件的个数.
解析:记甲厂派出的2名男职工为A1,A2,女职工为a;乙厂 派出的2名男职工为B1,B2,2名女职工为b1,b2.
(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名,不同的结果有
(A1,B1),(A1,B2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,B1),(A2,B2), (A2,b1),(A2,b2),(a,B1),(a,B2),(a,b1),(a,b2),共12 种.其中选出的2名职工性别相同的结果有(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(a,b1),(a,b2),共6种.
③是古典概型.道理同②. ④不是古典概型.虽然试验的结果只有2种,但是这枚硬币的 质地不均匀,故它不具备“等可能性”. 答案:B
2.下列试验是古典概型的为________. ①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性 大小 ②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率 ③近三天中有一天降雨的概率 ④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
率. A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①不是古典概型.因为从区间[1,10]内任取一个数,虽 满足等可能性,但由于区间内有无数个对象可取,所以它不具备 “有限性”这个条件.
②是古典概型.因为试验结果只有10个,并且每个数被抽到 的可能性相等,所以它不仅具备“有限性”,而且还具备“等可 能性”.
(2)试过的钥匙不扔掉,相当于有放回抽样.试验的基本事件 总数为5×5×5=125.第三次才能打开门包含的基本事件数为 3×3×2=18.设B=“钥匙不扔,第三次打开门”,则P(B)=11285.
易错辨析 对“有序”和“无序”判断不准而出错 例3 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道不同的题目, 其中选择题3道,填空题2道.甲、乙两人依次抽取1道题,求甲抽 到选择题、乙抽到填空题的概率. 解析:列举可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6 个,又甲、乙两人依次抽到1道题的可能结果有20个,所以甲抽到 选择题、乙抽到填空题的概率为260=130
2.1 古典概型的概率计算公式
[教材要点]
要点一 随机事件的概率 对于一个随机事件A,我们通常用一个数 P(A)(__0__≤P(A)≤__1__)来表示该事件发生的可__能__性__的__大__小__,这个 数称为随机事件A的___概__率___.
要点二 古典概型 1.概念:一般地,若试验E具有如下特征: (1)有限性:样本点总数__有__限____; (2)等可能性:各个样本点出现的可能性__相 ___等___,则称这样 的试验2.模计型算为公古式典:概P率(A模)=型_ΩA_,包包__简含含__称的的__古样样__典本本__概点点__型个总__.数数__=____mn____.
解析:对于A,发芽与不发芽概率不同;对于B,任取一球的
概率相同,均为
1 4
;对于C,基本事件有无限个;对于D,由于受
射击运动员水平的影响,命中10环,命中9环,…,命中0环的概
率不等.因而选B.
答案:B
3.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2
本,则随机抽出一本是物理书的概率为( )
所以取出的2个球全是白球的概率P(A)=165=25.
(2)从口袋中的6个球中任取2个球,其中一个是白球,另一个 是红球包含的样本点共有8个,分别为(1,5),(1,6),(2,5),(2,6), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6).
所以取出的2个球一个是白球,另一个是红球的概率P(B)=185.
故选出的2名职工性别相同的概率为162=12.
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名,不同的结果
有(A1,A2),(A1,a),(A1,B1),(A1,B2),(A1,b1),(A1,b2), (A2,a),(A2,B1),(A2,B2),(A2,b1),(A2,b2),(a,B1),(a, B2),(a,b1),(a,b2),(B1,B2),(B1,b1),(B1,b2),(B2,b1), (B2,b2),(b1,b2),共21种.
1
3
3
1
A.5
B.10
C.5
D.2
解析:样本点总数为10,“抽出一本是物理书”包含3个样本
点,所以其概率为130,故选B.
答案:B
4.在20瓶饮料中,有2瓶已过了保质期.从中任取1瓶,取到 已过保质期的饮料的概率是________.
解析:样本点数共有20个,事件发生占2个,故所求概率为
2 20
=110.
其中选出的2名职工来自同一工厂的有(A1,A2),(A1,a), (A2,a),(B1,B2),(B1,b1),(B1,b2),(B2,b1),(B2,b2),(b1, b2),共9种.
故选出的2名职工来自同一工厂的概率为291=37.
方法归纳 古典概型概率计算三步曲
1.定空间:选择合适的方法写出样本空间,确定n(Ω); 2.定事件:表示事件A,确定n(A); 3.求概率:代入P(A)=nnΩA求出概率.
概型.( × )
2.下列试验中是古典概型的是( ) A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相 同,从中任取一球 C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都 是等可能的
D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环,命 中9环,…,命中0环
【易错警示】 易错原因
误Байду номын сангаас为甲、乙两人 依次抽取1道题与顺 序无关,导致错误 答案:P=160=35
纠错心得 在计算基本事件的总数时,若分不清“有 序”和“无序”,将会出现“重算”或“漏 算”的错误.突破这一思维障碍的方法是交 换次序,看是否对结果造成影响,有影响是 “有序”,无影响是“无序”.
跟踪训练1 口袋中有6个除颜色外其余都相同的球,其中4个 白球、2个红球,从袋中任意取出2个球,求下列事件的概率.
(1)A={取出的2个球都是白球}; (2)B={取出的2个球一个是白球,另一个是红球}.
解析:设4个白球的编号分别为1,2,3,4,2个红球的编号分别为
5,6. 从口袋中的6个球中任取2个球的样本空间为{(1,2),(1,3),
答案:110
题型一 古典概型的判断——自主完成 1.下列概率模型中,是古典概型的个数为( ) ①从集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一个数,求取到4的概率; ②从集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一个数,求取到4的概率; ③从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球(除颜色外其 他均相同),求取到一白一红的概率; ④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币,求出现正面向上的概
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)一个古典概型的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点
数为m,则P(A)=mn .( √ ) (2)任何一个事件都是一个基本事件.( × ) (3)若一个试验的样本空间中的样本点个数为有限个,则该试
验是古典概型.( × ) (4)从装有三个大球、一个小球的袋中取出一球的试验是古典
(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.
(1)从口袋中的6个球中任取2个球,所取的2个球都是白球包含 的样本点共有6个,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4), (3,4).
解析:(1)不能开门的钥匙扔掉,相当于不放回抽样.第一次 开门有5种结果,第二次开门有4种结果,第三次开门有3种结果, 且它们都是等可能的.所以试验的基本事件总数为5×4×3=60.第 三次才打开门,意思是第一、二次没打开门,第三次才打开,则 第一次开门有3种不同的结果,第二次开门有2种结果,第三次开 门有2种不同的结果,则事件A=“第三次打开门”共有3×2×2= 12个基本事件,∴P(A)=1620=15;
方法归纳
在解决这类问题时,注意以下两点: (1)准确把握不同条件下的基本事件的总数. (2)“有放回”、“无放回”取样是有本质区别的,必须准确 理解.
跟踪训练2 某人有5把钥匙,其中2把能打开门.现随机地取 1把钥匙试着开门,不能开门的就扔掉,问第三次才能打开门的概 率是多少?如果试过的钥匙不扔掉,这个概率又是多少?
状元随笔
(1)由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和 等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大 量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分 析和计算即可.
(2)在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这 些基本事件为等可能基本事件.
[教材答疑]
[教材 2.1 思考交流] 1.向一条线段内随机地投射一个点,点落在线段上的每个位 置的可能性是相同的,具备等可能性,但试验结果有无限多个,不 满足古典概型的有限性,所以不适合用古典概型来描述. 2.某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有 11 个,具备有限性,但每次命中的机会是不相等的,所以不适合用古 典概型来描述. 3.不正确.因为抛掷两枚均匀的骰子,共有 36 种情形,“掷 出的点数之和是 5”的有 4 种情形,这是古典概型,所以“掷出的 点数是 5”的可能性是346=19.
题型三 放回与不放回的古典概率——师生共研 例2 一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上 1,2,3,…,10这10个数字,随机地从中取两个小球,如果 (1)小球是不放回的; (2)小球是有放回的. 求两个小球上的数字为相邻整数的概率.
解析:随机选取两个小球,记事件A为“两个小球上的数字为 相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4), (4,3),…,(9,10),(10,9)共18种.
(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有 10种可能,y有10种可能,共有可能结果10×10=100种,因此, 事件A的概率是11080=590.
解析:①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特 点.③不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素 影响.
答案:①②④
方法归纳 判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个 特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
题型二 古典概型概率的计算——师生共研 例1 某市举行职工技能比赛活动,甲厂派出2男1女共3名职 工,乙厂派出2男2女共4名职工. (1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛,求选出 的2名职工性别相同的概率; (2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛,求 选出的这2名职工来自同一工厂的概率.
设甲厂男职工为A1,A2,女职工为a,乙厂男职工为B1,B2, 女职工为b1,b2,用列举法列出事件的个数.
解析:记甲厂派出的2名男职工为A1,A2,女职工为a;乙厂 派出的2名男职工为B1,B2,2名女职工为b1,b2.
(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名,不同的结果有
(A1,B1),(A1,B2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,B1),(A2,B2), (A2,b1),(A2,b2),(a,B1),(a,B2),(a,b1),(a,b2),共12 种.其中选出的2名职工性别相同的结果有(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(a,b1),(a,b2),共6种.
③是古典概型.道理同②. ④不是古典概型.虽然试验的结果只有2种,但是这枚硬币的 质地不均匀,故它不具备“等可能性”. 答案:B
2.下列试验是古典概型的为________. ①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性 大小 ②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率 ③近三天中有一天降雨的概率 ④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
率. A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①不是古典概型.因为从区间[1,10]内任取一个数,虽 满足等可能性,但由于区间内有无数个对象可取,所以它不具备 “有限性”这个条件.
②是古典概型.因为试验结果只有10个,并且每个数被抽到 的可能性相等,所以它不仅具备“有限性”,而且还具备“等可 能性”.
(2)试过的钥匙不扔掉,相当于有放回抽样.试验的基本事件 总数为5×5×5=125.第三次才能打开门包含的基本事件数为 3×3×2=18.设B=“钥匙不扔,第三次打开门”,则P(B)=11285.
易错辨析 对“有序”和“无序”判断不准而出错 例3 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道不同的题目, 其中选择题3道,填空题2道.甲、乙两人依次抽取1道题,求甲抽 到选择题、乙抽到填空题的概率. 解析:列举可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6 个,又甲、乙两人依次抽到1道题的可能结果有20个,所以甲抽到 选择题、乙抽到填空题的概率为260=130
2.1 古典概型的概率计算公式
[教材要点]
要点一 随机事件的概率 对于一个随机事件A,我们通常用一个数 P(A)(__0__≤P(A)≤__1__)来表示该事件发生的可__能__性__的__大__小__,这个 数称为随机事件A的___概__率___.
要点二 古典概型 1.概念:一般地,若试验E具有如下特征: (1)有限性:样本点总数__有__限____; (2)等可能性:各个样本点出现的可能性__相 ___等___,则称这样 的试验2.模计型算为公古式典:概P率(A模)=型_ΩA_,包包__简含含__称的的__古样样__典本本__概点点__型个总__.数数__=____mn____.
解析:对于A,发芽与不发芽概率不同;对于B,任取一球的
概率相同,均为
1 4
;对于C,基本事件有无限个;对于D,由于受
射击运动员水平的影响,命中10环,命中9环,…,命中0环的概
率不等.因而选B.
答案:B
3.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2
本,则随机抽出一本是物理书的概率为( )
所以取出的2个球全是白球的概率P(A)=165=25.
(2)从口袋中的6个球中任取2个球,其中一个是白球,另一个 是红球包含的样本点共有8个,分别为(1,5),(1,6),(2,5),(2,6), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6).
所以取出的2个球一个是白球,另一个是红球的概率P(B)=185.
故选出的2名职工性别相同的概率为162=12.
(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名,不同的结果
有(A1,A2),(A1,a),(A1,B1),(A1,B2),(A1,b1),(A1,b2), (A2,a),(A2,B1),(A2,B2),(A2,b1),(A2,b2),(a,B1),(a, B2),(a,b1),(a,b2),(B1,B2),(B1,b1),(B1,b2),(B2,b1), (B2,b2),(b1,b2),共21种.
1
3
3
1
A.5
B.10
C.5
D.2
解析:样本点总数为10,“抽出一本是物理书”包含3个样本
点,所以其概率为130,故选B.
答案:B
4.在20瓶饮料中,有2瓶已过了保质期.从中任取1瓶,取到 已过保质期的饮料的概率是________.
解析:样本点数共有20个,事件发生占2个,故所求概率为
2 20
=110.
其中选出的2名职工来自同一工厂的有(A1,A2),(A1,a), (A2,a),(B1,B2),(B1,b1),(B1,b2),(B2,b1),(B2,b2),(b1, b2),共9种.
故选出的2名职工来自同一工厂的概率为291=37.
方法归纳 古典概型概率计算三步曲
1.定空间:选择合适的方法写出样本空间,确定n(Ω); 2.定事件:表示事件A,确定n(A); 3.求概率:代入P(A)=nnΩA求出概率.
概型.( × )
2.下列试验中是古典概型的是( ) A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相 同,从中任取一球 C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都 是等可能的
D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环,命 中9环,…,命中0环
【易错警示】 易错原因
误Байду номын сангаас为甲、乙两人 依次抽取1道题与顺 序无关,导致错误 答案:P=160=35
纠错心得 在计算基本事件的总数时,若分不清“有 序”和“无序”,将会出现“重算”或“漏 算”的错误.突破这一思维障碍的方法是交 换次序,看是否对结果造成影响,有影响是 “有序”,无影响是“无序”.
跟踪训练1 口袋中有6个除颜色外其余都相同的球,其中4个 白球、2个红球,从袋中任意取出2个球,求下列事件的概率.
(1)A={取出的2个球都是白球}; (2)B={取出的2个球一个是白球,另一个是红球}.
解析:设4个白球的编号分别为1,2,3,4,2个红球的编号分别为
5,6. 从口袋中的6个球中任取2个球的样本空间为{(1,2),(1,3),
答案:110
题型一 古典概型的判断——自主完成 1.下列概率模型中,是古典概型的个数为( ) ①从集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一个数,求取到4的概率; ②从集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一个数,求取到4的概率; ③从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球(除颜色外其 他均相同),求取到一白一红的概率; ④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币,求出现正面向上的概
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)一个古典概型的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点
数为m,则P(A)=mn .( √ ) (2)任何一个事件都是一个基本事件.( × ) (3)若一个试验的样本空间中的样本点个数为有限个,则该试
验是古典概型.( × ) (4)从装有三个大球、一个小球的袋中取出一球的试验是古典
(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.
(1)从口袋中的6个球中任取2个球,所取的2个球都是白球包含 的样本点共有6个,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4), (3,4).
解析:(1)不能开门的钥匙扔掉,相当于不放回抽样.第一次 开门有5种结果,第二次开门有4种结果,第三次开门有3种结果, 且它们都是等可能的.所以试验的基本事件总数为5×4×3=60.第 三次才打开门,意思是第一、二次没打开门,第三次才打开,则 第一次开门有3种不同的结果,第二次开门有2种结果,第三次开 门有2种不同的结果,则事件A=“第三次打开门”共有3×2×2= 12个基本事件,∴P(A)=1620=15;
方法归纳
在解决这类问题时,注意以下两点: (1)准确把握不同条件下的基本事件的总数. (2)“有放回”、“无放回”取样是有本质区别的,必须准确 理解.
跟踪训练2 某人有5把钥匙,其中2把能打开门.现随机地取 1把钥匙试着开门,不能开门的就扔掉,问第三次才能打开门的概 率是多少?如果试过的钥匙不扔掉,这个概率又是多少?
状元随笔
(1)由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和 等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大 量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分 析和计算即可.
(2)在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这 些基本事件为等可能基本事件.
[教材答疑]
[教材 2.1 思考交流] 1.向一条线段内随机地投射一个点,点落在线段上的每个位 置的可能性是相同的,具备等可能性,但试验结果有无限多个,不 满足古典概型的有限性,所以不适合用古典概型来描述. 2.某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有 11 个,具备有限性,但每次命中的机会是不相等的,所以不适合用古 典概型来描述. 3.不正确.因为抛掷两枚均匀的骰子,共有 36 种情形,“掷 出的点数之和是 5”的有 4 种情形,这是古典概型,所以“掷出的 点数是 5”的可能性是346=19.
题型三 放回与不放回的古典概率——师生共研 例2 一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上 1,2,3,…,10这10个数字,随机地从中取两个小球,如果 (1)小球是不放回的; (2)小球是有放回的. 求两个小球上的数字为相邻整数的概率.
解析:随机选取两个小球,记事件A为“两个小球上的数字为 相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4), (4,3),…,(9,10),(10,9)共18种.