教育最新K122018年高考数学总复习第十章计数原理概率第2讲排列与组合学案

第2讲 排列与组合

最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题

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知 识 梳 理

1.排列与组合的概念

(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.

(2)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.

3.排列数、组合数的公式及性质

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ) (3)若组合式C x

n ＝C m

n ，则x ＝m 成立.( ) (4)k C k

n ＝n C k －1

n －1.( )

解析 元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若C x

n ＝C m

n ，则x ＝m 或n －m ，故(3)不正确.

答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√

2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( ) A.12

B.24

C.64

D.81

解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A34＝24.

答案 B

3.(选修2－3P28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )

A.18

B.24

C.30

D.36

解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种.

法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.

答案 C

4.(2017·浙江三市十二校联考)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有________个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有________个.

解析用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A66＝720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有A33A34＝144个.

答案720 144

5.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字作答).

解析末位数字排法有A12，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48种.

答案48

6.(2017·绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答).

解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有C17C22种.

甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，

∴由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49(种)选法.

法二(间接法)从9人中选3人有C39种方法.

其中甲、乙均不入选有C37种方法，

∴满足条件的选排方法是C39－C37＝84－35＝49(种).

答案49

考点一排列问题

【例1】(2017·河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.

(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？

(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？

(3)如果女生不站两端，有多少种排法？

(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？

解 (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A 6

6种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A 3

3种排法，因此共有A 6

6·A 3

3＝4 320(种)不同排法.

(2)(插空法)先排5个男生，有A 5

5种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 3

6种排法，因此共有A 5

5·A 3

6＝14 400(种)不同排法.

(3)法一 (位置分析法) 因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A 2

5种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 6

6种排法，因此共有A 2

5·A 6

6＝14 400(种)不同排法.

法二 (元素分析法) 从中间6个位置选3个安排女生，有A 3

6种排法，其余位置无限制，有A 5

5种排法，因此共有A 3

6·A 5

5＝14 400(种)不同排法.

(4)8名学生的所有排列共A 8

8种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，∴符合要求的排

法种数为12

A 8

8＝20 160(种).

(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.

法一 (特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A 7

7种； 甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 1

6种； 而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 1

6种； 其余人6个人进行全排列，有A 6

6种.共有A 1

6·A 1

6·A 6

6种. 由分类加法计数原理，共有A 7

7＋A 1

6·A 1

6·A 6

6＝30 960(种).

法二 (特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A 1

7种，余下7个位置全排，有A 7

7种，但应剔除乙在最右边时的排法A 1

6·A 6

6种，因此共有A 1

7·A 7

7－A 1

6·A 6

6＝30 960(种).

法三 (间接法)8个人全排，共A 8

8种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A 7

7种，乙在最右边时，有A 7

7种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A 6

6种.因此共有A 8

8－2A 7

7＋A 6

6＝30 960(种).

规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

【训练1】 (1)(2017·新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( ) A.120 B.240

C.360

D.480