解析几何难题——教师版,附解答

解析几何
【例01】点的坐标分别是，，直线相交于点M ，且它们的斜率之积为． (1)求点M 轨迹的方程.
(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间)，试求
与面积之比的取值范围(为坐标原点)．
解(1)设点的坐标为，∵
)，这就是动点M 的轨迹方程． (2)方法一 由题意知直线的斜率存在，设的方程为() ① 将①代入，得， 由，解得．设，，则 ②
令，则，即，即，且
由②得，即
． 且且． 解得且，且．
∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是． 方法二 由题意知直线的斜率存在，设的方程为 ①
将①代入，整理，得， 由，解得． ,A B (0,1)-(0,1),AM BM 12
-
C ()2,0
D l C
E
F E D F ODE ∆ODF ∆O M (,)x y 12AM BM k k ⋅=-
0x ≠l l ()2y k x =-1
2
k ≠±
12
22
=+y x 0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k 0∆>2102k <<()11,E x y ()22,F x y ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+.
1228,1
2822
212221k k x x k k x x OBE OBF S
S λ∆∆=||||BE BF λ=BE BF λ=⋅()1222x x λ-=-0 1.λ<<1221212122
4(2)(2),2122)(2)2()4.21x x k x x x x x x k -⎧-+-=⎪⎪+⎨⎪-
⋅-=-++
=⎪+⎩（()()()22222412,2122.21x k x k λλ-⎧
+-=⎪⎪+⎨⎪-
=⎪+⎩22
22
2141,(1)8(1)2
k k λλλλ+∴==-++即2102
k <<
2
14k ≠24110(1)22λλ∴<-<+2
411(1)24λλ-≠+33λ-<<+1
3
λ≠
01λ<<1223<<-∴λ1
3λ≠113,133⎛⎫⎛⎫
- ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
l l 2x sy =+(2)s ≠±12
22
=+y x 22(2)420s y sy +++=0∆>22s >
设，，则② 令，且 .
将代入②，得∴．即． ∵且，∴且．即且． 解得且． ，且．
故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是．
【例02】在△ABC 中，A 点的坐标为(3，0)，BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动．
(1)求△ABC 外心的轨迹方程．
(2)设直线l ∶y =3x +b 与(1)的轨迹交于E 、F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求
的最大 值并求出此时b 的值．
解 (1)设B 点的坐标为(0，)，则C 点坐标为(0，+2)(-3≤≤1)， 则BC 边的垂直平分线为y =+1 ① ②由①②消去，得．∵，∴．故所求的△ABC 外心的轨迹方程为：．
(2)将代入得．由及，得
．所以方程①在区间，2有两个实根．设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是： 得
∵
∴ 又原点到直线l 的距离为，∴∵
，
∴．∴当，即时，．
()11,E x y ()22,F x y 1221224,22.2s y y s y y s ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩112
2
1212OBE OBF OB y S y S y OB y λ∆∆⋅===⋅01λ<<12y y λ=()2222241,22.
2s y s y s λλ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
()222182s s λλ+=+()222
2161s λλλ+=--22s >24s ≠()2221261λλλ+>--()2
2214
61
λλλ+≠--2
610λλ-+<13λ≠33λ-<<+13λ≠01λ<<1223<<-∴λ1
3
λ≠113,133⎛
⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
d
EF |
|0y 0y 0y 0y )2
3
(3200-=+
x y y y 0y 862-=x y 130≤≤-y 2120≤+=≤-y y )22(862≤≤--=y x y b x y +=3862
-=x y 08)1(692
2
=++-+b x b x 862
-=x y 22≤≤-y 234≤≤x 34[]8)1(69)(22++-+=b x b x x f 3
4
[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧≤--≤
≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，
292)
1(63
4082)1(629)2(0834
)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[2
22222b b b f b b f b b 34-≤≤-b 723
2984)]1(32[||2
22
1--=+--=-⋅b b b x x 72103
2
||1||212--=-+=⋅b x x k EF 10
|
|b d =7
1)711(73202732072320
||222++-=--=--=b b b b b d EF 34-≤≤-b 41131-≤≤-b 411-=b 4-=b 3
5
||max =d EF
【例03】已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线
段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．
解(I )由题意得所求的椭圆方程为，
(II )不妨设则抛物线在点P 处的切线斜率为，直线MN 的方
程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即
，因为直线MN 与椭圆有两个不同的交点，所以有
，设线段MN 的中点的横坐标是，则，
设线段PA 的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；因此
，当时代入方程得，将代入不等式
成立，因此的最小值为1．
【例04】已知抛物线：上一点到其焦点的距离为
． (1)求与的值．
(2)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，
过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．
解(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义 点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得 抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得
(Ⅱ)由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为.
1C 22
221(0)y x a b a b
+=>>(1,0)A 1C 11C P 2C 2
()y x h h =+∈R 2C P 1C ,M N AP MN h 212,,1
21b a b b a
=⎧=⎧⎪
∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩2
214y x +=2
1122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +2C 2x t
y t ='
=22y tx t h =-+1C 2
2
2
4(2)40x tx t h +-+-=()22222414()()40t x t t h x t h +--+--=1C 4
2
2
1162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦3x 21232()
22(1)x x t t h x t +-==+4x 412
t x +=
34x x =2
(1)10t h t +++=22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥3h ≤-3h ≤-2
20,40h h +<-<422
1162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦1h ≥1h =2(1)10t h t +++=1t =-1,1h t ==-4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦h C 2
2(0)x py p =>(,4)A m 17
4
p m C P (0)t t >P C Q x M Q PQ C N MN C t 2
p
y -
=)4,(m A 41724=+
p 2
1
=p ∴y x =2)4,(m A 2±=m ),(2
t t P PQ k
则，当 则. 联立方程，整理得： 即：，解得或
，而，直线斜率为
，联立方程 整理得：，即： ，解得：，或 ， 而抛物线在点N 处切线斜率：
MN 是抛物线的切线，， 整理得 ，解得(舍去)，或，
【例05】已知双曲线
．
(
1)求双曲线的方程．
(2)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的
两点，证明的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
(Ⅰ)由题意，得，解得
，所求双曲线的方程为. )(:2
t x k t y l PQ -=-,,02k kt t x y +-=
=)0,(2k
kt
t M +-⎩
⎨⎧=-=-y x t x k t y 2
2)(0)(2=-+-t k t kx x 0)]()[(=---t k x t x ,t x =t k x -=))(,(2t k t k Q --∴QP QN ⊥∴NQ k
1
-
)]([1)(:2
t k x k t k y l NQ
---=--∴⎪⎩
⎪⎨⎧
=---=--y x t k x k
t k y 22)]
([1)(0)()(1
122
=----+
t k t k k
x k x 0]1)()[(2=+---+t k k t k x kx 0)](][1)([=--+-+t k x t k k kx k
t k k x 1
)(+--
=t k x -=)]1)([,1)((2
2
k
t k k k t k k N +-+--∴)1()1(1)(]1)([2
222222
--+-=+--
+--+-=∴k t k kt k k
kt t k t k k k t k k K NM
k
t k k y k k
t k k x 2
)(21
)(---=
'
=+--
=切k t k k k t k kt k 2)(2)
1()1(2
222---=--+-∴0212
2=-++t tk k 0)21(422≥--=∆t t 32-≤t 3
2
≥t 32min =∴t 2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>3x =C l 2
2
:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B AOB ∠23a c c a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1,a c ==2222b c a =-=C 2212y x -
=
(Ⅱ)点在圆上，
圆在点处的切线方程为，化简得. 由及得， ∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且，
∴，且，
设A 、B 两点的坐标分别为，则， ∵，且，
.∴ 的大小为.
【解法2】(Ⅰ)同解法1.
(Ⅱ)点在圆上，圆在点处的切线方程为， 化简得.由及得 ① ②
∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且，
∴，设A 、B 两点的坐标分别为，
则，∴，∴ 的大小为. (∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式
均大于零).
()()0000,0P x y x y ≠2
2
2x y +=()00,P x y ()0
000
x y y x x y -=-
-002x x y y +=2
20
012
2
y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22002x y +=()222
000344820x x x x x --+-=l 2
002x <<20340x -≠()()
222
00016434820x x x ∆=--->()()1122,,,x y x y 2
00
121222
00482,3434
x x x x x x x x -+==--cos OA OB AOB OA OB
⋅∠=
⋅()()121212010220
1
22OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+
--()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦-(
)22220000
22
22000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦
22
002200828203434
x x x x --==-=--AOB ∠90︒()()0000,0P x y x y ≠2
2
2x y +=()00,P x y ()0
000
x y y x x y -=-
-002x x y y +=2
20
012
2
y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22
002x y +=()2
22
00344820x x x x x --+-=()2220
00348820x
y y x x ---+=l 2
002x <<2
0340x -≠()()1122,,,x y x y 22
00121222
008228,3434
x x x x y y x x --==--12120OA OB x x y y ⋅=+=AOB ∠90︒
22
002x y +=000x y ≠220002,02x y <<<<20340x -≠
【例06】椭圆E : (a 、b >0)过M (2
) ，N
，1)两点，O 为坐标原点.
(1)求椭圆E 的方程．
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点
A ，
B ，并且
若存在，写出该圆的方程，并求
|AB |的取值范围，若不存在说明理由.
解:(1)因为椭圆E : (a ，b >0)过M (2) ，N ，1)两点，
所以解得所以椭圆E 的方程为 (2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且，设
该圆的切线方程为解方程组得，即
，
则△=，即，要使
，需使，即，所以，所以又，所以，所以，即或，因为
直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，
，，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆
的两个交点为或满足，综上， 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且.因为， 22
221x y a b
+=OA OB ⊥22
221x y a b +=2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2211
8
11
4
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2284a b ⎧=⎨=⎩22184x y +=OA OB ⊥y kx m =+2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪⎨⎪⎩22
2()8x kx m ++=222(12)4280k x kmx m +++-=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>22
840k m -+>1222
122412
28
12km x x k m x x k
⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22
22222
2
2
12121212222
(28)48()()()121212k m k m m k
y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=++
+=-+=
+++OA OB
⊥12120x x y y +
=22222
28801212m m k k k
--+=
++22
3
880m k --=22
3808m
k -=≥22
8
40k m -+>22238
m m ⎧>⎨≥⎩283m ≥m ≥m ≤y kx m =+r =
2
22
2
2
8381318
m m r m k
===-++
3r =2283x y +=y kx m =+m ≥m ≤x =22184x y +=(OA OB ⊥2283
x y +=OA OB ⊥122
2
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
所以，
， ①当时因为所以，
所以
，所以
当且仅当时取”=”.
②
当时， ③ 当AB 的斜率不存在时， 两个交点为或，所以此时
综上， |AB |
: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
【例07】设，在平面直角坐标系中，已知向量
，向量，，动点
的轨迹为E .
(1)求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状． (2)已知，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A ， B ，且(O 为坐标原点)，并求出该圆的方程． (3)已知，设直线与圆C :(1<R <2)相切于A 1，且与轨迹E 只有一个公共 点B 1，当R 为何值时，|A 1B 1|取得最大值?并求最大值.
解(1)因为，，，所以， 即.
当m =0时，方程表示两直线，方程为；
2222
2
21212122222
4288(84)
()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++||AB =====0k ≠||AB =
221448k k ++≥2211
01844k k
<≤++2232321
[1]1213344k k
<+≤++46||233AB <≤22k =±0k =||AB =
±(||AB =||AB ≤≤||AB ∈m R ∈(,1)a mx y =+(,1)b x y =-a b ⊥(,)M x y 4
1
=
m OA OB ⊥4
1=
m l 222
x y R +=l a b ⊥(,1)a mx y =+(,1)b x y =-22
10a b mx y ⋅=+-=22
1mx y +=1±=y
当时， 方程表示的是圆
当且时，方程表示的是椭圆； 当时，方程表示的是双曲线.
(2).当时， 轨迹E 的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为，解方程组得，即， 要使切线与轨迹E 恒有两个交点A ，B ， 则使△=，
即，即， 且 ， 要使， 需使，即
， 所以， 即且， 即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，， 所求的圆为. 当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或也
满足.
综上， 存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点且. (3)当时，轨迹E 的方程为，设直线的方程为，因为直线与圆C :(1<R <2)相切于A 1， 由(2)知， 即 ①，
因为与轨迹E 只有一个公共点B 1，由(2)知得， 即有唯一解
则△=， 即， ②
1m =0>m 1≠m 0<m 4
1
=m 2214x y +=y kx t =+22
14
y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩224()4x kx t ++=222
(14)8440k x ktx t +++-=22
2
2
2
2
6416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>22410k t -+>22
41t k <+1222
12
28144414kt x x k t x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
2222222
2
2
12121212222
(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k
--=++=+++=-+=+++OA OB ⊥12120x x y y +=22222222
4445440141414t t k t k k k k ----+==+++225440t k --=22544t k =+2241t k <+2244205k k +<+y kx t =
+r =22
2224(1)45115k t r k k +===++2245x y +=552±=x 2214x y +=)552,552(±)55
2
,552(±-OA OB ⊥224
5
x y +=
OA OB ⊥4
1
=m 2214x y +=l y kx t =+l 222x y R +
=R =222
(1)t R k =+l 22
14
y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩22
4()4x kx t ++=222
(14)8440k x ktx t +++-=222222
6416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+=22
410k t -+=
由①②得， 此时A ，B 重合为B 1(x 1，y 1)点，
由 中，所以，， B 1(x 1，y 1)点在椭圆上，所以，所以， 在直角三角形OA 1B 1中，因为当且仅当时取等号，所以，时|A 1B 1|取得最大值，最大值为1.
【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系，以及直线与椭圆的位置关系，可以通过解方程组法研究有没有交点问题，有几个交点的问题.
【例08】如图所示，已知圆是椭圆的内接△的内切圆， 其中 为椭圆的左顶点. (1)求圆的半径.
(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切．
(1)解 设，过圆心作于，
由
，即 (1)
而点在椭圆上，由(1)、 (2)式得，解得或(舍去) (2) 证明设过点与圆相切的直线方程为: (3) 则
(4) 解得 将(3)代入得，则异于零的解为 222
2
22
3414R t R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩-1222
12281444
14kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
21x x =222
122441616143t R x k R --==+22
21
1214143R y x R -=-=2221112
4||5OB x y R
=+=-2222211112244||||||55()A B OB OA R R R R =-=--=-+2
2
44R R
+≥(1,2)R =
211||541A B ≤-=(1,2)R =:G 2
2
2
(2)x y r -+=2
2116
x y +=ABC A G r (0,1)M G E F ，EF G B 02,r y +（）G GD AB ⊥D BC GD HB
AD AH =
06y r =+0y =B 02,r y +（）222
0(2)12411616r r r y +--=-==2158120r r +-=23r =6
5
r =-M(0,1)224
(2)9
x y -+=1y kx -=23=
2
323650k k ++=12k k =
=22116x y +=22(161)320k x kx ++=232161
k x k =-+
设，，则 则直线的斜率为：
于是直线的方程为: 即 则圆心到直线的距离 故结论成立.
【例09】已知椭圆()的两个焦点分别为，过点 的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且.
(1)求椭圆的离心率. (2)直线AB 的斜率.
(3)设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线上有一点H (m ，n )()在的外接圆
上，求
的值.
(1)得从而得，离心率 (2)由(1)知，，所以椭圆的方程可以写为
设直线AB 的方程为即 由已知设则它们的坐标满足方程组
消去y 整理，得 依题意， 而，有题设知，点B 为线段AE 的中点，所以
联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得. (3)由(2)知，，当时，得A 由已知得
111(,1)F x k x +222(,1)E x k x +12
1222
123232,161161
k k x x k k =-=-++FE 221112*********
EF k x k x k k k x x k k -+=
==--FE 2112211323231()
1614161
k k y x k k +-=+++37
43y x =-(2,0)FE 37
22339
116
d -
=
=+12222=+b
y a x 0>>b a )0)(0,(),0,(21>-c c F c F )0,(2
c a E ||2||,//2121B F A F B F A F =B F 20≠m C AF 1∆m
n
||||,//2121B F A F B F A F =21||||||||1212==A F B F EF EF 2122
=+-c c
a
c
c a 223c a =33==a c e 22222c c a b =-=2
2
2
632c y x =+)(2
c
a x k y -=)3(c x k y -=),(),(2211y x B y x A ⎩⎨
⎧=+-=2
2
2
632)3(c
y x c x k y 062718)32(2
2
2
2
2
2
=-+-+c c k cx k x k 3
333,0)31(482
2
<<-
>-=∆k k c 22
2221222132627,3218k c c k x x k k x x +-=+=+2123x c x =+2
22222213229,3229k
c c k x k c c k x ++=+-=32
±=k 2
3,021c
x x =
=32-=k )2,0(c )2,0(c C -
线段的垂直平分线l 的方程为直线l 与x 轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为
直线的方程为，于是点满足方程组
由，解得，故，当时，同理可得.
【例10】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为
2x =.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且
的方程.
解(I )由已知得，解得
∴ ∴ 所求椭圆的方程为
. (II )由(I )得、
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得
设、，∴ ，与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，
设、，联立，消元得
∴
，∴ ，
又∵∴
∴ 1AF ),2(2222c x c y +-=-
)0,2
(c C AF 1∆222)2
()2(c
c y c x +=
+-B F 2)(2c x y -=),(n m H ⎪⎩
⎪⎨⎧-==
+-)(24
9)2(222c m n c n c m 0≠m 222,35c n c m ==522=m n 32=k 522=m n 2221(0)x y a b a b
+=>>12F F 、e =1F l M N 、2223
F M F N +=
l 2222⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩c a a c
2,1==a c 22
1-=b a c 2212+=x y 1(1,0)-F 2(1,0)F l l 1=-x 22
1
1
2
=-⎧⎪
⎨+=⎪⎩x x y 2=±y (1,
)2-M (1,2--N 22(2,(2,)(4,0)422
+=-+--=-=F M F N l l k l (1)=+y k x 11(,)M x y 22(,)N x y 22
(1)
12
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 2222
(12)4220+++-=k x k x k 22121222422,1212--+==++k k x x x x k k 1212
2
2(2)12+=++=+k
y y k x x k 211222(1,),(1,)=-=-F M x y F N x y 221212(2,)+=+-+F M F N x x y y 22(+===F M F N x
化简得解得 ∴ ∴ 所求直线的方程为 .
【例11】在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F (3，0)的距离的4倍与它到直线x =2的距离的3倍之和记
为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和. (1)求点P 的轨迹C .
(2)设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值.
解(Ⅰ)设点P 的坐标为(x ，y )，则3︳x -2︳
由题设 当x >2时，由①得 化简得
当时 由①得化简得
故点P 的轨迹C 是椭圆在直线x =2的右侧部分与 抛物线在直线x =2的左侧部分(包括它与直线x =2的交点)
所组成的曲线，参见图1
(Ⅱ)如图2所示，易知直线x =2与，的交点都是A (2，)，B (2，)， 直线AF ，BF 的斜率分别为=，=. 当点P 在上时，由②知. ④
当点P 在上时，由③知 ⑤ 若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为
(i )当k ≤，或k ≥，即k ≤-2 时，直线I 与轨迹C 的两个交点M (，)，N (，)都在C 上，此时由④知∣MF ∣= 6 -
∣NF ∣= 6 -
从而∣MN ∣= ∣MF ∣+ ∣NF ∣= (6 -
)+ (6 - )=12 - ( +) 424023170--=k k 2217
140
或(舍去)==-k k 1=±k l 11或=+=--y x y x 224(3)d x y =--+2
2
1
(3)6,2
x y x -+=-22 1.3627x y +=2x ≤22(3)3,x y x ++=+2
12y x =22
1:
13627
x y C +=2
2:12C y x =1C 2C 2626-AF k 26-BF k 261C 1
62
PF x =-
2C 3PF x =+(3)y k x =-AF k BF k 61x 1y 2x 2y 1121x 12
2x 121x 122x 1
2
1x 2x
由 得 则，是这个方程的两根，所以+=
*∣MN ∣=12 - (+)=12 - 因为当
当且仅当时，等号成立.
(2)
当
L 与轨迹C 的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知， 设直线AF 与椭圆的另一交点为E 所以.而点A ，E 都在上， 且 有(1)知
若直线的斜率不存在，则==3，此时 综上所述，线段MN 长度的最大值为.
22(3)13627y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩
2222(34)24361080k x k x k +-+-=1x 1y 1x 2x 222434k k +1
2
1x 2x 22
1234k k +2
26,6,24,k k ≤≥≥或k 2时22
2
1212100
1212.134114k MN k k =-=-=++k =±,AE AN k k k k <<-<1122(,),(,)M x y N x y 12
,C C M 1C 2C 121
6,32
MF x NF x =-=+1C 00012(,),, 2.x y x x x <<则10211
66,33222
MF x x EF NF x AF =-
<-==+<+=MN MF NF EF AF AE =+<+=1C 26,AE k =-100100
,1111
AE MN =
<
所以ι1x 2x 121100
12()9211
MN x x =-+=<
100
11
【例12】已知直线经过椭圆
的左顶点A 和上顶点D ，椭圆的
右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于 两点.
(1)求椭圆的方程.
(2)求线段MN 的长度的最小值.
(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为
？若存 在，确定点的个数，若不存在，说明理由.
解 方法一(I )由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为 (Ⅱ)直线AS 的斜率显然存在，且，故可设直线的方
程为，从而 由得0
设则得，从而
即又由得 故又
当且仅当
，即时等号成立
时，线段的长度取最小值 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当取最小值时， 此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行
于且与距离等于的直线上.设直线由解得或
220x y -+=22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>C B S C x ,AS BS 10
:3
l x =
,M N C C T TSB ∆1
5
T C (2,0),A -(0,1),2,1D a b ∴==C 2
214
x y +=k 0k >AS (2)y k x =+1016(
,)33
k M 22(2)14
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(14)16164k x k x k +++-=11(,),S x y 212164(2),14k x k --=+2122814k x k -=+1
2
414k
y k =+222284(,),1414k k S k k -++(2,0)B 1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩103
13x y k ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
101(,)33N k ∴-161
||33k MN k
=
+16116180,||233333k k k MN k k >∴
=+≥⋅=16133k k =
14k =14k ∴=MN 8
3
MN 1
4
k =
BS 644220,(,),||555x y s BS +-=∴=C T TSB ∆1
5
T BS 24T BS BS 24l ':10l x y ++=|2|2,42
t +=32t =-5
2t =-
【例13】给定椭圆，称圆心在原点
的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.
若椭圆C 的一个焦点为，其短轴上的一个端点到Ｆ
(1)求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程.
(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线，使得与椭圆C 都只有一个 交点，且分别交其“准圆”于点M 、N .
①当P 为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程. ②求证|MN |为定值.
解：(I )因为，所以 ……………2分
所以椭圆的方程为，准圆的方程为 . ……………4分 (II )(1)因为准圆与轴正半轴的交点为P (0，2)， ……………5分 设过点P (0，2)，且与椭圆有一个公共点的直线为，
所以，消去y ，得到 ， ……………6分 因为椭圆与只有一个公共点，所以 ，…7分
解得. …8分
所以方程为. ……9分 (2)①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与准圆交于点，
此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是
(或)，即为(或)，显然直线垂直；
同理可证 方程为时，直线垂直. ………10分 ② 当都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则，消去得到， ，，
经过化简得到:，因为，，
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>O F 12,l l 12,l l 12,l l y 12,l l 3,2==
a c 1=
b 2
213x y +=422=+y x 42
2=+y x y 2+=kx y 22
213
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩0912)31(2
2=+++kx x k 2+=kx y 22
14449(13)0k k ∆=-⨯+=1±=k 12,l l 2,2+-=+=x y x y 12,l l 1l 1l 3=x 3-=x 1l 3=
x 1l )1,3(),1,3(-)1,3()1,3(-1=y 1-=y 2l 1=y 1-=y 12,l l 1l 3-=x 12,l l 12,l l ),(00y x P 42
02
0=+y x ),(00y x P 00)(y x x t y +-=0022
()13
y tx y tx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩y 03))((32
002=--++tx y tx x 03)(3)(6)31(2000022=--+-++tx y x tx y t x t 0]3)(3)[31(4)](6[2002200=--+⋅--=∆tx y t tx y t 012)3(2
0002
2
0=-++-y t y x t x 42
02
0=+y x 0)3(2)3(2
0002
2
0=-++-x t y x t x
设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足上述方程，所以，即垂直.……12分
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点M ，N ，且垂直， 所以线段MN 为准圆的直径，所以|ＭＮ|=４. ……………13分
【例14】设曲线C 1:12
22=+y a
x (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x +m )在x 轴上方公有一个公共点P .
(1)实数m 的取值范围(用a 表示).
(2)O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <
2
1
时，试求⊿OAP 的面积的最大值(用a 表示). 14. 解：(1)由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)(21
22
22m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①
设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(-a ，a )上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况：
1°△=0得：2
1
2+=a m ，此时x p =-a 2，当且仅当-a <-a 2<a ，即0<a <1时适合；
2°f (a )f (-a )<0，当且仅当-a <m <a ；
3°f (-a )=0得m =a ，此时x p =a -2a 2，当且仅当-a <a -2a 2<a ，即0<a <1时适合． f (a )=0得m =-a ，此时x p =-a -2a 2，由于-a -2a 2<-a ，从而m ≠-a ．
综上可知，当0<a <1时，2
12+=a m 或-a <m ≤a ；当a ≥1时，-a <m <a ．…… 10分
(2)△OAP 的面积p ay S 21=
∵0<a <2
1
，故-a <m ≤a 时，0<m a a a 2122-++-<a ， 由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=
显然当m =a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p =2
21a
x p -
取值最大，此时22a a y p -=，
∴2
a a a S -=． 当21
2+=a m 时，x p =-a 2，y p =21a -，此时212
1a a S -=．
下面比较2a a a -与2121a a -的大小：令22121a a a a a -=-，得3
1=a
故当0<a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时212
1
a a S max -=．
当2
131<<a 时，22121
a a a a a ->-，此时2a a a S max -=．……… 20分
12,l l 21,t t 12,l l 21,t t 0)3(2)3(2
0002
2
0=-++-x t y x t x 121-=⋅t t 12,l l 12,l l ),(00y x P 12,l l 42
2
=+y x
【例15】一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A 且OA =a . 拆叠纸片使得圆周上某一点A /
刚好与A 点重
合，这样的每一种拆法都留下一条直线折痕，当A /
取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的 集合．
16.解：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则有A (a ，0)．设折叠时，⊙O 上点
A /(ααsin ,cos R R )与点A 重合，而折痕为直线MN ，则 MN 为线段AA /的中垂线．设P (x ，y )为MN 上任一点，则｜PA /｜=｜PA ｜ 5分 ∴2222)()sin ()cos (y a x R y R x +-=-+-α 即ax a R y x R 2)sin cos (222+-=+αα 10分
∴
2
2
222
2
22sin cos y
x R ax a R y
x y x ++-=
++α
α
可得：)cos ,(sin 22)sin(2
2
2
2
2
222y
x y y
x x y
x R ax a R +=
+=
++-=
+θθθα
∴
2
2
2222y
x R ax a R ++-≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分
平方后可化为 22222
)2
()2()2()
2(a R y R a x -+
-
≥1， 即所求点的集合为椭圆圆22222
)2
()2()2()2(a R y R a x -+
-=1外(含边界)的部分． 20分
【例16】过抛物线2
x y =上的一点A (1，1)作抛物线的切线分别交x 轴于D 、交y 轴于B .点C 在抛物线上，点
E 在线段AC 上，满足
1λ=EC AE ；点F 在线段BC 上，满足2λ=FC
BF
，121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P .当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.
18.解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为D B x y 、∴-=.12的坐标为
D D B ∴-),0,2
1
(),1,0(是线段AB 的中点.……5分
设),(y x P 、),(2
00x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由
1λ=EC
AE
知， ;11,11120111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC BE
得.11,122
0222022λλλλ++-=+=x y x x
∴EF 所在直线方程为：,111111111111
12021
0112
01220212
01λλλλλλλλλλλλ++-
+++-
=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(2
020********x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…①…10分
当21
0≠x 时，直线CD 的方程为：1
2202020--=x x x x y …②
联立①、②解得02
133x x x y +⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312
-=x y ……15分 当210=x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：21=x ，联立解得⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==.121,21y x 也
在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.3
2
,10≠∴≠x x ∴所求轨迹方程为).3
2
()13(312≠-=
x x y ……20分 解二：由解一知，AB 的方程为),0,2
1
(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. ……5分
令,1,1,2211λλγ+==+===CF CB
t CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ∆的中线， .22CBD CAD CAB S S S ∆∆∆==∴
而
,2
3
,232)11(212212*********=∴=+=+=+==⋅⋅=∆∆∆∆∆∆γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ∆的重心.……10分
设),,(),,(2
00x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为
,3311),32(,313102
02000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(3
12-=x y
故所求轨迹方程为).3
2
()13(312≠-=
x x y ……20分。