2019_2020学年高中数学第1章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修2

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〔跟踪练习2〕
某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
[解析] 该几何体是圆锥和半球体的组合体,则它的体积 V=V 圆锥+V 半球体=13 π×32×4+12×43π×33=30π.
几何直观与空间想象能力——切与接
常见的切与接问题: 1.球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球,解题的关键是 抓住轴截面中各几何量. 2.多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱 等)内接于球.关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系. 3.球内切于多面体,主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球的半径.
(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3) 所示,有 2r3= 3a,所以 r3= 23a,所以 S3=4πr23=3πa2.
综上可得 S1︰S2︰S3=1︰2︰3.
『规律方法』 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略: (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几 何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在几何体的特殊位置,比 如中心、对角线的中点等. (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关 键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来 计算.
互动探究学案
命题方向1 ⇨球的表面积与体积
典例 1 (1)球的体积是323π,则此球的表面积是( B )
A.12π
B.16π
C.163π
D.643π
4
(2)球的表面积是 4π,则球的体积是___3_π____.
[解析] (1)43πR3=323π,故 R=2,球的表面积为 4πR2=16π. (2)设球的半径为 R,则 4πR2=4π,解得 R=1,所以球的体积 V=43πR3=43π.
〔跟踪练习 3〕
半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为( B )
A. 5π︰6
B. 6π︰2
C.π︰2
D.5π︰12
[解析] 方法一:作过正方体对角面的截面如图所示,设半球的半径为 R,
正方体的棱长为 a,那么 CC′=a,OC= 22a,OC′=R. 在 Rt△C′CO 中,由勾股定理得 CC′2+OC2=OC′2,
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中 心,经过四个切点及球心作截面,如图(1)所示,有 2r1=a,所以 r1=a2,所以 S1=4πr21=πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截 面,如图(2)所示,有 2r2= 2a,所以 r2= 22a,所以 S2=4πr22=2πa2.
命题方向2 ⇨根据三视图计算球的体积与表面积
典例 2 某个几何体的三视图如图所示(单位:m) (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积. [思路分析] 本题条件中给出的是几何体的三视图及 数据,解题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分 形状,然后根据侧视图与正视图确定几何体的形状,并根 据有关数据计算.
3.与球有关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为 R 的球,则 2R= a2+b2+c2(a、b、c 分 别为长方体的长、宽、高),若正方体内接于球,则 2R= 3a(a 为正方体的棱长); (2)半径为 R 的球内切于棱长为 a 的正方体的每个面,则 2R=a.
[归纳总结] 对球的表面积与体积公式的几点认识: (1)从公式看,球的表面积和体积的大小,只与球的半径相关,给定R都有唯 一确定的S和V与之对应,故表面积和体积是关于R的函数. (2)由于球的表面不能展开成平面,所以,球的表面积公式的推导与前面所 学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的. (3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍.
新课标导学
数学
必修② ·人教A版
第一章 空间几何体
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.2 球的体积和表面积
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
观察下面的几何体,你能求出它们的体积和表面积吗?
1球.的球半的径体为积R,那么它的体积V=__43_π_R_3________. 2.球的表面积 球的半径为R,那么它的表面积S=____4_π_R_2______.
『规律方法』 求球的表面积与体积的方法: (1)确定半径与球心; (2)熟记球的表面积公式 S 球=4πR2 与球的体积公式 V 球=43πR3.
〔跟踪练习 1〕 (全国卷Ⅱ)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
A.12π C.8π
B.323π D.4π
(A )
[解析] 由正方体的体积为 8 可知,正方体的棱长 a=2.又正方体的体对角线 是其外接球的一条直径,即 2R= 3a(R 为正方体外接球的半径),所以 R= 3, 故所求球的表面积 S=4πR2=12π.
[错解] 如图①所示为球的轴截面,由球的截面性质知AO1∥BO2,且O1, O2为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.
设球的半径为R,∵πO2B2=49π,∴O2B=7 cm. 同理,得O1A=20 cm.设OO1=x cm,则OO2=(x+9)cm. 在Rt△O1OA中,R2=x2+202,① 在Rt△OO2B中,R2=72+(x+9)2,② 联立①②可得x=15,R=25.
[解析] ∵AB︰BC︰AC=18︰24︰30=3︰4︰5, ∴△ABC是直角三角形,∠B=90°.又球心O到截面△ABC的投影O′为截面 圆的圆心, 也即是Rt△ABC的外接圆的圆心, ∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示).
设 O′C=r,OC=R,则球半径 R,截面圆半径 r, 在 Rt△O′CO 中, 由题设知 sin∠O′CO=OOOC′=12, ∴∠O′CO=30°,∴Rr =cos30°= 23,即 R= 23r, 又 2r=AC=30⇒r=15,代入 R= 23r 得 R=10 3. ∴球的表面积为 S=4πR2=4π(10 3)2=1 200π. 球的体积为 V=43πR3=43π(10 3)3=4 000 3π.
设原正方体的棱长为 a,球的半径是 R,则(2R)2=a2+a2+(2a)2, 即 4R2=6a2,∴R= 26a.从而 V 半球=23πR3=23π( 26a)3= 26πa3,V 正方体=a3. 因此 V 半球︰V = 正方体 26πa3︰a3= 6π︰2.
考虑问题不周到致误
典例 4 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,它们的面积分别为49π cm2和400π cm2,求球的表面积.
即 a2+(
22a)2=R2,∴R=
6 2 a.
从而 V 半球=23πR3=23π( 26a)3= 26πa3, V 正方体=a3.
因此 V 半球︰V = 正方体 2wk.baidu.comπa3︰a3= 6π︰2.
方法二:将半球补成一个整球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样 的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角 线便是它的外接球的直径.
[解析] 由三视图知,此几何体是一个半径为 1 的半球和一个棱长为 2 的正 方体组成,
(1)S=S 半球+S -S 正方体表面积 圆 =12×4π×12+6×2×2-π×12 =24+π(m2) (2)V=V 半球+V 正方体 =12×43π×13+23 =8+23π(m3)
『规律方法』 三视图中有关球的计算问题 (1)由三视图求简单组合体的表面积或体积时,最重要的是还原组合体,并 弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根据球与球的组合体的结构特 征及数据计算其表面积或体积. (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接,避免重叠 和交叉等.
[解析] 设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为12a,它的外接球的半
径为 23a,故所求体积之比为 1︰3 3.
1.半径为3的球的体积是( C ) A.9π
C.36π [解析] V=43π×33=36π.
B.27π D.81π
2.若一个球的直径为2,则此球的表面积为( B )
A.2π
B.4π
C.8π
D.16π
[解析] ∵球的直径为2,∴球的半径为1,∴球的表面积S=4πR2=4π.
3.若一个球的体积扩大到原来的 27 倍,则它的表面积扩大到原来的( C )
2.如果两个球的表面积之比为8︰27,那么这两个球的体积之比为( C )
A.2︰3
B.4︰9
C.16︰81
D.16︰81
[解析]
由SS12=287得rr12=32
32,∴VV12=8116
2,故选 3
C.
3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( C )
A.1︰ 3
B.1︰3
C.1︰3 3
D.1︰9
典例 3 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各 条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
[思路分析] 有关球的内切和外接问题,作出轴截面研究.
[解析] 设正方体的棱长为 a,这三个球的半径分别为 r1,r2, r3,球的表面积分别为 S1,S2,S3.作出截面图,分别求出三个球 的半径.
表面积为2 500π cm2.
1.已知球的大圆周长为6π,则它的表面积和体积分别是( B )
A.36π,144π
B.36π,36π
C.144π,36π
D.144π,144π
[解析] 设球的半径为 R,则 2πR=6π, ∴R=3.∴球的表面积 S=4πR2=36π; 球的体积 V=43πR3=43π×27=36π.
设球的半径为R,
∵ π·O2B2 = 49π , ∴ O2B = 7 cm.∵π·O1A2 = 400π , ∴O1A=20 cm.
设O1O=x cm,则OO2=(9-x)cm. 在Rt△OO1A中,R2=x2+400.在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49. ∴x2+400=(9-x)2+49,解得x=-15,不合题意,舍去.综上所述,球的
A.3 倍
B.3 3倍
C.9 倍
D.9 3倍
[解析] 设球的半径为 R,体积扩大到原来的 27 倍后,其半径为 R′. V=43πR3,V′=43πR′3=27V=27×43πR3, ∴R′=3R.∴S′=4πR′2=36πR2. 又 S=4πR2,∴S′=9S,故选 C.
4.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积.
∴S球=4πR2=2 500π(cm)2,故球的表面积为2 500πcm2. [错因分析] 两个平行截面可能在球心同侧,(此时OO2-OO1=9)也可能在 球心两侧(此时OO1+OO2=9).
[正解] 当截面在球心同侧时,同错解,当截面在球心
的两侧时,如图②所示为球的轴截面,由球的截面性质知,
O1A∥O2B , 且 O1 , O2 分 别 为 两 截 面 圆 的 圆 心 , 则 OO1⊥O1A,OO2⊥O2B.
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