知识讲解_数学的扩充与复数的引入_知识讲解

数系的扩充和复数的引入
【要点梳理】
要点一：复数的有关概念
1.复数
概念：形如()+a bi a b ∈R ，的数叫复数， 其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 叫虚数单位（21=i -）. 表示：复数通常用字母z 表示.记作：()=+z a bi a b ∈R ，.
要点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（2）复数=+z a bi 中，实部a 和虚部b 都是实数，这一点不容忽视，它列方程求复数的重要依据..
（3）i 是－1的一个平方根，即方程12=x -的一个根. 方程12=x -有两个根，另一个根是i -；并且i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.复数集
概念：复数的全体组成的集合叫作复数集．
表示：通常用大写字母C 表示．
要点诠释：⊆⊆⊆⊆N Z Q R C ,其中N 表示自然数集,Z 表示整数集Q 表示有理数集,R 表示实数集.
3.复数相等
概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.
表示：如果,,,a b c d R ∈，那么a c a bi c di b d
=⎧+=+⇔⎨
=⎩ 特别地，00a bi a b +=⇔==.
要点诠释：
（1）根据复数a +b i 与c+di 相等的定义，可知在a =c ，b =d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a +b i≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
（3）复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．
要点二：复数的分类
表示：用集合表示如下图：
要点三：复数的几何意义
1. 复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平
面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
要点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−
→一一对应
复平面内的点(,)Z a b 这是复数的一种几何意义.
3.复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.
设复平面内的点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈），向量OZ 由点(,)Z a b 唯一确定；反过来，点(,)Z a b 也可以由向量OZ 唯一确定.
复数集C 和复平面内的向量OZ 所成的集合是一一对应的，即
复数z a bi =+←−−−
→一一对应
平面向量OZ 这是复数的另一种几何意义.
4.复数的模 设OZ a bi =+u u u r （,a b R ∈），则向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.
即22||||0z OZ a b ==+u u u r .
要点诠释：
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x 轴对称，并且他们的模相等.
【典型例题】
类型一：复数的概念
例1．请说出下面各复数的实部和虚部，有没有纯虚数？
（1）23i +； （2）132
i -； （3）1-3i ； （4）3-52
i ； （5）π； （6）0.
【思路点拨】将复数化为()+a bi a b ∈R ，的标准形式，实数为a ，虚部为b .当实部0a =，而虚部0b ≠时，该复数为纯虚数.
【解析】
（1）复数23i +的实部是2，虚部是3，不是纯虚数；
（2）132i -=132i -+，其实部是－3，虚部是2
1，不是纯虚数； （3）1
-3i 的实部是0，虚部是－3
1，是纯虚数；
（4）2=-22i ，其实部是2-，虚部是-2
，不是纯虚数； （5）π是实数，可写成+0i π⋅，其实部为π，虚部为0，不是纯虚数；
（6）0是实数，可写出0+0i ⋅，其实部为0，虚部为0，不是纯虚数.
【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键.
举一反三：
【变式1】符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－2的虚数；
(2)虚部为－2的虚数；
(3)虚部为－2的纯虚数；
(4)实部为－2的纯虚数．
【答案】
(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；
(2)存在且不唯一，如1－2i 等；
(3)存在且唯一，即－2i ；
(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.
【变式2】以2i 22i +的实部为虚部的新复数是________．
【答案】2i -222i +的实部为-2，所以新复数为2－2i .
【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1】
例2．当实数m 取何值时，
复数22
(34)(56)i,(m )z m m m m =--+--∈R ，表示：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
【思路点拨】根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的m 值.
【解析】（1）当z 为实数时，要求虚部为0，即2560m m --=，6m =，解得或1m =-.
（2）当z 表示虚数，要求虚部非0，即2560m m --≠，解得6m ≠且1m ≠-. （3）当z 表示纯虚数，要求实部为0，且虚部非0，即22340560
m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩，解得4m =. 【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键．
举一反三：
【变式1】 若复数2
(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为_________.
【答案】1-. 由复数z 为纯虚数，得21010
x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得1x =-．
【变式2】已知复数22276(56)i (R)1
a a z a a a a -+=+-+∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 为： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．
【答案】（1）当z 为实数时，则225601
a a a ⎧--=⎪⎨≠⎪⎩ ∴161a a a =-=⎧⎨≠±⎩
或，故a =6， ∴当a =6时，z 为实数．
（2）当z 为虚数时，
则有225601
a a a ⎧--≠⎪⎨≠⎪⎩，∴161a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且， ∴a ≠±1且a ≠6，
∴当a ∈（－∞，－1）∪（―1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数．
（3）当z 为纯虚数时，则有2225607601
a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，∴166a a a ≠-≠⎧⎨=⎩且， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．
【变式3】设复数22
lg(22)(32)i z m m m m =--+++，m ∈R ，当m 为何值时，z 是：
（1）实数； （2）z 是纯虚数．
【答案】（1）要使z 是实数，
则需22320220m m m m ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩⇒m =―1或m =―2，所以当m =－1或m =－2时，z 是实数． （2）要使z 是纯虚数，
则需222213320
m m m m m ⎧--=⎪⇒=⎨++≠⎪⎩，所以m =3时，z 是纯虚数． 类型二：两个复数相等
例3. 已知(21)(3)x i y y i -+=--，其中,x y R ∈，求x 与y .
【思路点拨】利用复数相等的条件，列方程组，求解x y ，.
【解析】根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)
3(1,12y y x ，所以52x =，4y = 【总结升华】两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
举一反三：
【变式1】已知，x y ∈R 且22
712+=+x y xyi i -，求以x 为实部、以y 虚部的复数． 【答案】由题意知22712x y xy ⎧-=⎨=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩ 或 43x y =-⎧⎨=-⎩
． 所以x+yi 的值为4+3i 或－4－3i ．
【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】
【变式2】,x y ∈R ，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+相等，求x y ，.
【答案】(2)1818(2)y i y i -+=--，所以321852x y x y
+=⎧⎨=-⎩，解得212x y =-⎧⎨=⎩. 【变式3】已知集合M=｛（a +3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3i ，（a 2-1）+(b +2)i ｝同时满足：
N
≠⊂M ，M N ≠I Φ，求整数a ,b .
【答案】 2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得 ①
或2
8(1)(2)a b i =-++ ②
或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++ ③
由①得a =-3,b =±2,经检验，a =-3,b =-2不合题意，舍去.∴a =-3，b =2
由②得a =±3, b =-2.又a =-3,b =-2不合题意，∴a =3,b =-2; 由③得222231401230
a a a a
b b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解. 综合①②③得a =-3，b =2或a =3,b =-2.
类型三、复数的几何意义
例4. 在复平面内，若复数22
(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线=y x 上，分别求实数m 的取值范围．
【思路点拨】复数()+a bi a b ∈R ，在复平面内对应的点为()a b ，： =0a ⇔()a b ，在虚轴上；0,0a b <⎧⇔⎨>⎩
()a b ，在第二象限；=a b ⇔()a b ，在=y x 上. 【解析】复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 在复平面内的对应点为()22(2)(32)－－－＋m m m m ，.
(1)由题意得2
2－－=0m m ，解得m ＝2或m ＝－1.
(2)由题意得2220,320.－－－＋m m m m ⎧<⎪⎨>⎪⎩，解得12,2 1.m m m -<<⎧⎨><⎩或 ∴－1<m <1. (3)由已知得22
232－－=－＋m m m m ，解得m ＝2.
【总结升华】按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，
只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
举一反三：
【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题3】
【变式1】已知复数22
(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.
【答案】（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，
由2-43031m m m m +=⇒==或
∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.
（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，
故2230m m --=-13m m ⇒==或
∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.
3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0
由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3 ∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.
【变式2】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】∵22π
π<<，∴sin20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.
【变式3】 已知复数(2k 2－3k －2)+(k 2－k)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围.
【答案】∵复数对应的点在第二象限，
∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.
10,221k k k 或解得：10122k k -<<<<或 例5. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数是2+i ．
（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB uuu r 对应的复数；
（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．
【解析】（1）设所求向量OB uuu r 对应的复数z 1=x 1+y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1）．
由题意可知点A 的坐标为（2，1），根据对称性可知x 1=2，y 1=－1，故z 1=2－i ．
（2）设所求点C 对应的复数为z 2=x 2+y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2）．由对称性可知
x 2=－2，y 2=－1，故z 2=－2－i ．
【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决．
举一反三：
【变式】在复平面内，复数z 1=1+i 、z 2=2+3i 对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r ．若点P 在
第四象限内，则实数λ的取值范围是________．
【答案】
(12,13)OP λλ=++u u u r 由题意：120130
λλ+>⎧⎨+<⎩，解得：1123λ-<<- 例6. 已知12z i =+，求z .
【解析】z ==【总结升华】依据复数的模的定义，即可求得.
举一反三：
【变式1】若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = . 【答案】由210110
a a a ⎧-=⇒=⎨+≠⎩, 所以z =2. 【变式2】已知z －|z|=－1+i ，求复数z ．
【答案】方法一：
设z=x+yi （x ，y ∈R ），
由题意，得i 1i x y +=-+，
即(i 1i x y +=-+．
根据复数相等的定义，得11
x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，
解得01
x y =⎧⎨=⎩，∴z=i ．
方法二：
由已知可得z=(|z|－1)+i ，
等式两边取模，得||z =
两边平方，得|z|2=|z|2－2|z|+1+1⇒|z|=1．
把|z|=1代入原方程，可得z=i ．。