成都市外国语学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(Word版含解析)

成都外国语学校2019～2020学年度上期半期考试
高一数学试卷
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )
A. {}1,3-
B. {}1,0
C. {}1,3
D. {}1,5
【答案】C
【解析】∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
2.函数1
2
1
()log 1
f x x =+的图象大致是（ ） A. B. C. D.
【答案】D
【详解】函数1
2
1()log 1
f x x =+ 则定义域1
01
x >+,解得1x >-,所以排除A 、B 选项 因
12()log f x x =为单调递减函数, 1()1
f x x =+在1x >-时为单调递减函数
由复合函数单调性可知12
1
()log 1f x x =+为单调递增函数,所以排除C 选项
综上可知,D 为正确选项 故选:D
3.函数1
()ln 23
f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A. (2,)e B. (3,4) C. (,3)e
D. (1,2)
【答案】C
【详解】函数1
()ln 23
f x x x =+- 则11
()ln 21033
f e e e e =+-=
-<
1
(3)ln 332ln 3103
f =+⨯-=->
根据零点存在定理可知,在(,3)e 内必有零点.
而函数1
()ln 23
f x x x =+-单调递增且连续,仅有一个零点.所以零点只能在(,3)e 内. 故选:C
4.一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )
A. ①
B. ①②
C. ①③
D. ①②③ 【答案】A
【详解】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．
5.已知1
2
3515,12,3
x og y og z -===，则下列关系正确的是（ ）
A. x y z >>
B. y x z >>
C. z y x >>
D. x z y >>
【答案】D
【详解】根据对数函数及指数函数的图像和性质可知:
331513x og og =>,所以1x >
501215y og og <=<所以102
y << 112
2
1
13312
33z -⎛⎫
<===< ⎪⎝⎭
所以x z y >>
故选:D
6.函数2
3()()2
x
f x x =-的零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【详解】函数2
3
()()
2
x
f x x
=-的零点
即为2
3
()()0
2
x
f x x
=-=,所以2
3
2
x
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
画出两个函数图像如下图所示:
根据图像及指数函数的增长趋势，可知两个函数有3个交点,所以函数2
3
()()
2
x
f x x
=-有3个零点
故选:C
7.方程()
2
4250
x m x m
+-+-=的一根在区间()
1,0
-内，另一根在区间()
0,2内，则m的取值范围是（）
A.
5
,5
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B.
7
,5
3
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
C. ()
5
,5,
3
⎛⎫
-∞+∞
⎪
⎝⎭
U D.
5
,
3
⎛⎫
-∞
⎪
⎝⎭
【答案】B
【解析】设()()
2
f425
x x m x m
=+-+-，
又方程()
2
4250
x m x m
+-+-=的一根在区间()
1,0
-内，另一根在区间()
0,2内，
∴
()
()
()
10
00
20
f
f
f
⎧->
⎪
<
⎨
⎪>
⎩
即
()
()
4250
50
162250
m m
m
m m
⎧--+->
⎪
-<
⎨
⎪+-+->
⎩
解得：
7
m5
3
-<<
故选：B
8.若数2
()ln(142)3
f x x x
=++，且(log2019)5
a
f=，则
1
(log)
2019
a
f=（）
A. 5-
B. 4
C. 3
D. 1
【答案】D
【详解】将函数变形为())
3ln 2f x x -=
令())
ln
2g x x =
则())
ln
2g x x -=
所以()()))
ln
2ln
2g x g x x x +-=+
()22ln 144ln10x x =+-==
即()()g x g x -=-
所以())
ln
2g x x =为奇函数
因为()log 20195a f =,()1log log 20192019a a f f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
所以由())
3ln
2f x x -=代入可得
()()log 20193log 2019a a f g -=
()()log 20193log 2019a a f g --=-
两式相加可得
()()()()log 20193log 20193log 2019log 20190a a a a f f g g -+--=-+=
所以()()log 20196log 2019651a a f f -=-=-= 即()1log log 201912019a a f f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
故选:D
9.已知函数2()|l g |,(2)f x o x x =≤,若a b ¹，且()()f a f b =，则+a b 的取值范围是（ ） A. 5(1,]2
B. 5(2,]2
C. (2,)+∞
D. [1,2]
【答案】B
【详解】因为函数()()2log ,2f x x x =≤ 画出函数图像如下图所示:
因为()()f a f b =且a b ¹,不妨设a b < 当()2log 1f x x ==时,2x =或12
x =
所以
1
122
a b ≤<<≤ 因为()()f a f b =
即22log log a b =,去绝对值可得22log log a b -= 所以22log log 0a b +=,根据对数运算得2log 0ab = 即1ab = 所以1a b a a
+=+
因为1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
,由对勾函数的图像与性质可知 则52,2
a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝
⎦
故选:B
10.已知max{,}a b 表示,a b 两数中的最大值，若||
|2|
()max{,}x x f x e e
+=，则()f x 的最小值为（ ）
A. e
B. 1
C. 2e
D. 2
【答案】A
【详解】根据函数||
|2|
()max{,}x x f x e e
+=,画出2(),()x x f x e f x e +==图像如下图所示:
取最大值后函数图像为:
由图像可知,当1x =-时取得最小值,即1
12
()f x e e
e --+===
故选:A
11.给出下列命题，其中正确的命题的个数（ ） ①函数(
)
12
2
log 23y x x =-+图象恒在x 轴的下方；
②将2x
y =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移1个单位的变化后为12
x
y -=的图像；
③若函数()()
2
2log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-；
④函数()x
f x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln .y x =
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【详解】对于①函数()
()112
2
22log 23log 12y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦
,由复合函数的单调性判断方法可知, 函数在1x <时单调递增,在1x >时单调递减.即在1x =处取得最大值. 所以
1max 2
log 21y ==-,所以函数图像恒在x 轴的下方,所以①正确;
对于②2x y =的图像经过先关于y 轴对称,可得2x
y -=;再向右平移1个单位可得()111222x x x y ---+-===,
所以②正确;
对于③函数()()
2
2log 21f x x ax =-+的值域为R ,则满足()2
21g x x ax =-+能取到所有的正数.即满足
()2
240a ∆=--≥,解不等式可得1a ≥或1a ≤-,所以③错误.
对于④函数()x
f x e =的图像关于y x =对称的函数为()x
f x e =的反函数,根据指数函数与对数函数互为
反函数可知,其反函数为()ln f x x =,所以④正确. 综上可知,正确的有①②④ 故选:C
12.若函数9()log (91)2
x
x
f x =+-，则使不等式()0f x m -≤有解时，实数m 的最小值为（ ）
A. 0
B. 3log 2-
C. 3log 2
D. 3log 【答案】D
【详解】函数()()
9log 912
x
x f x =+-
由对数运算化简可得()()
2
99
log 91log 9x
x
f x =+-
()99log 91log 3x x =+- 99911log log 333x x x x
+⎛
⎫
==+ ⎪⎝
⎭
由对勾函数的图像与性质可知9931log 3log 2log 3x
x
⎛⎫
+
≥= ⎪⎝
⎭
因为不等式()0f x m -≤有解 所以()min f x m ≤ 即3log m ≤
所以实数m 的最小值为log 故选:D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________. 【答案】()3,1-
【详解】函数log (25)1a y x =-- 当3x =时, log (235)11a y =⨯--=- 所以定点坐标为()3,1- 故答案为: ()3,1-
14.若5(21)2x
f x x -=+，则(3)f -=________.
【答案】12
-
. 【详解】因为函数()5
212x
f x x -=+ 令21x t -=则1
2
t x +=
所以()5
1
2122t t f t ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
即()5
1
2
122x x f x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
所以()5
312
3111321222
f -+-+⎛⎫-=+=-+
=- ⎪⎝⎭ 故答案为:1
2
-
15.若函数1
2()2
x
x m f x n +-=+是奇函数．则实数m n +=_______. 【答案】3±
【详解】函数()1
22
x
x m f x n +-=+是奇函数 所以满足()()f x f x -=-,即11
2222
x x
x x m m n n --++--=-++ 化简后可得()()
()2
22
22220x
x n m mn n m -+-⋅+-=
因为对于任意x 上式恒成立,所以满足2020n m mn -=⎧⎨-=⎩ 解方程可得12m n =⎧⎨=⎩或1
2
m n =-⎧⎨=-⎩
所以3m n +=± 故答案为: 3±
16.已知函数3,()8log ,a x x a
f x x x a
⎧≤=⎨>⎩若存在实数12,,x x 且12x x ≠使得函数12()()f x f x =成立，则实数a 的
取值范围为_________. 【答案】()()0,12,⋃+∞
【详解】当01a <<时,函数3,()8log ,a x x a
f x x x a ⎧≤=⎨>⎩
的图像如下图所示:
所以此时存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立, 当1a >时,函数图像如下图所示:
若存在实数12x x ≠使得12()()f x f x =恒成立, 则38log a a a >,解不等式可得2a >
综上可知, 实数a 的取值范围为01a <<或2a > 故答案为: ()()0,12,⋃+∞
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知全集U =R ，集合{|20}A x x a =+>，集合B 是()log ()f x x 12
=2+1的定义域.
（1）当2a =时，求集合A B I ；
（2）若()U B C A B =I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1,02⎛⎤
-
⎥⎝⎦
（2）(],0-∞
【详解】（1）因为2a = 则{|1}A x x =>-
根据对数图像与性质可知()f x =1{|0}2B x x =-<≤
所以{}1|1|01,022x A B x x x ⎧⎫>--<≤=⎨⎛⎤
=- ⎥⎝⎩⎭⎦
⎬I I
（2）解不等式可得|2a A x x -⎧
⎫=>⎨⎬⎩⎭
所以|2U a C A x x -⎧⎫=≤
⎨⎬⎩⎭,1
{|0}2
B x x =-<≤ 因为()U B
C A B =I 所以U B C A ⊆ 所以02
a
-
≥,即0a ≤ 实数a 的取值范围为(],0-∞
18.求下列各式的值
（1
）2311
log 2
2
2)22(21(2)3[(1]log 4
-+--++；
（2）已知1
122
3a a -+=，求
332
2
22
a a a a -
-++值. 【答案】（1）
53 （2）1847
【详解】（1）根据指数幂与对数的运算,化简可得
(
(
)
2
311
2
2
log 2
2
2
21231log 4-
+⎛⎫⎡⎤-+ ⎪⎢⎥⎣⎦
⎝⎭
)
(
)
2
33112
2
29log 2
2
2
2331log 2-
⨯
+⎡⎤⎛⎫
⎡⎤
=-++⎢⎥ ⎪⎣
⎦
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
)
(
()31
log 92222312log 33
⨯=-+
2
323=
--+ 53
= （2）因为1
1
223a a -+=
两边同时平方可得129a a -++=
所以17a a -+=
由立方和公式及完全平方公式化简可得
3322
22
a a a a --++()()1
11222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+-()()2371184772⨯-==- 19.设函数()3,()9x x g x h x ==
（1）解关于x 的方程()11()2(1)0h x g x h -+=；
（2
）令()F x =，求1220182019()()()()2020202020202020
F F F F ++++L 的值. 【答案】（1）2x =或3log 2x =（2）20192
【详解】（1）因为函数()()3,9x x g x h x ==
代入()()()11210h x g x h -+=可得9113290x x -⨯+⨯=
令3x t =
则211180t t -+=
解得2t =或9t =
即32x =或39x =
解得2x =或3log 2x =
（2）根据题意()
x
g x F x ==
则(
)11x F x --==
所以()(
)11x F x F x +-==
且121
213122
3F ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以1220182019()()()()2020202020202020
F F F F ++++L 12019220181009101110102020202020202020202020202020F F F F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 111112
=+++++L 20192
=
20.已知函数222()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.
（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；
（2）若()log [()5](0,a g x f x ax a =-+>且1a ≠）,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.
【答案】（1）2m =或0m =,()2f x x =（2）存在;()90,14,2a ⎡⎫
∈⋃⎪⎢⎣⎭
【详解】（1）因为(3)(2)f f >
则2220m m -++>,
解不等式可得11m <<+因为m Z ∈
则0m =或1m =或2m =
又因为函数()f x 为偶函数
所以222m m -++为偶数
当0m =时, 2222m m -++=,符合题意
当1m =时, 2223m m -++=,不符合题意,舍去
当2m =时, 2222m m -++=,符合题意
综上可知, 0m =或2m =
此时()2
f x x = （2）存在.理由如下:
由（1）可得()2
f x x = 则()()
2log 5a g x x ax =-+(0,a >且1)a ≠ 当01a <<时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为增函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立 即()01121150
a a h a <<⎧⎪-⎪-≤⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得01a << 当1a <时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, ()25h x x ax =-+在[]1,2上为减函数且满足()0h x >在[]1,2上恒成立 即()122
24250
a a h a <⎧⎪-⎪-≥⎨⎪=-+>⎪⎩解不等式组得942a ≤< 综上可知,当01a <<或942
a ≤<时, ()g x 在[]1,2上为减函数 所以存在实数()90,14,2a ⎡⎫
∈⋃⎪⎢⎣⎭
,满足()g x 在[]1,2上为减函数 21.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对于任意的,[1,1]a b ∈-且0,a b +≠有
()()0f a f b a b
+>+恒成立. （1）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；
（2）若函数()[24]1x x
F x f a =⋅++有零点,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）增函数;证明见解析. （2）(],2-∞-
【详解】（1）函数()f x 在[]1,1-上单调递增.
证明:因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数
则()()f x f x -=-
任取[]12,1,1x x ∈-,且21x x >
则()()()()()21212121=
f x f x f x f x x x x x ---- ()()
()()212121+=+f x f x x x x x ---
因为0a b +≠时有
()()0f a f b a b +>+恒成立. 210x x ->
所以()()210f x f x ->,即()()21f x f x >
所以()f x 在[]1,1-上单调递增
（2）因为()f x 定义在[]1,1-上的奇函数,且()11f =
所以()11f -=-
若函数()()241x x F x f a =⋅++有零点
即()241x x f a ⋅+=-有解
所以241x x a ⋅+=-有解即可. 则411222x x x x a +⎛⎫=-=-+ ⎪⎝
⎭ 因为1222
x
x +? 所以2a ≤- 即(],2a ∈-∞-
22.已知函数2()(0,1)x x a t f x a a a
+=>≠是奇函数． （1）求实数t 的值；
（2）若(1)0f <，对任意[0,1]x ∈有21(2)f x kx k a a
-->-恒成立，求实数k 取值范围；
（3）设22()log [()],(0,1)x x m g x a a mf x m m -=+->≠,若3(1)2
f =，问是否存在实数m 使函数()
g x 在2[1,log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）1t =- （2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
（3）不存在,理由见解析. 【详解】（1）函数2()(0,1)x x a t f x a a a
+=>≠的定义域为R,且为奇函数 所以(0)0f =,即10t +=
解得1t =-
（2）由（1）可知当1t =-时, 21()x x x x a f x a a a
--==- 因为(1)0f <,即10a a
-<(0)a > 解不等式可得01a <<
所以()x x f x a a -=-在R 上单调递减,且1(1)f a a
-=- 所以不等式21(2)f x kx k a a
-->-可转化为()2(2)1f x kx k f -->- 根据函数()x x f x a a -=-在R 上单调递减
所不等式可化为221x kx k --<-
即不等式221x kx k --<-在[0,1]x ∈恒成立 所以2211
x k x +<+[0,1]x ∈恒成立 化简可得()322121x k x ⎛⎫ ⎪++-< ⎪+ ⎪⎝⎭
由打勾函数的图像可知,当1x =时,()max
33221212x x ⎛⎫ ⎪++-= ⎪+ ⎪⎝⎭ 所以32
k > （3）不存在实数m .理由如下:
22()log ()x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦
2log ()()2m f x mf x ⎡⎤=-+⎣⎦ 因为3(1)2
f =(0)a >
代入可得132a a -
=,解得2a =或12a =-(舍) 则()22x x
f x -=-, 令()22x x t f x -==-,易知()f x 在R 上为单调递增函数
所以当[]21,log 3x ∈时, ()13122
2f -=-=,()22log 3log 328log 3223f -=-= 则38,23
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 根据对数定义域的要求,所以()2()log 2m g t t mt =-+满足220t mt -+>在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立 即2min
2t m t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立 令()2h t t t =+,38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
所以min 33417()2236
h x h ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,即176m < 又因为0,1m m >≠
所以()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭
对于二次函数()22d t t mt =-+,开口向上,对称轴为2
m t = 因为()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭
所以11170,,22212m ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧,即二次函数()22d t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内单调递增 所以()min 3317224d x d m ⎛⎫==-+
⎪⎝⎭,()max 8882339d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭
假设存在满足条件的实数m ,则: 当()0,1m ∈时, 由复合函数单调性的判断方法，可知()
2()log 2m g t t mt =-+为减函数,所以根据max ()0g x =可知()()2min min 21d t t mt =-+=,即33171224d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭
解得()130,16
m =∉,所以舍去 当171,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时, 复合函数单调性的判断方法可知()2()log 2m g t t mt =-+为增函数,所以根据
max ()0g x =可知()()2max max 21d t t mt =-+=,即88821339d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭
解得73171,246m ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭
,所以舍去 综上所述,不存在实数m 满足条件成立.。