浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题(含答案)

2023学年第一学期浙南名校联盟12月联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分（共60分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若命题2:,220P x R x x m ∃∈++-<是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A.1m > B.1m ≤ C.1m < D.1m ≥
2.已知函数()f x 的定义域{}
2
2
48x
a a x a -<<-∣是关于x 的不等式()()220x a x ++->的解集的子集，则实数a 的取值范围是（ ）
A.)26,∞⎡++⎣
B.][(),226,∞∞-⋃++
C.(
2,26⎤+⎦ D.(]2,3
3.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AD 的长度是1l ，弧BC 的长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，扇形AOD 周长为定值L ，圆心角为α，若
1
2
3l l =，则当1S 取得最大值时，圆心角为α的值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（ ）
x
10 20 29 41 50 58 70 y
1
2
3.8
7.4
11
15
21.8
A.log a y A x p =+
B.x y A a p =⋅+
C.2y ax bx c =++
D.y kx b =+
5.若12,x x R ∈，则“()
332
1210x x x -<”是“12x x <”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.函数()cos 1cos 1x x x
e f x x
e ⎛⎫-=
⋅ ⎪+⎝⎭
在0,,22x πππ⎡⎫⎛⎫
∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭内的大致图像为（ ） A. B.
C. D.
7.已知函数()(
)
2
ln f x x x =+，设(
)
()0.5
514.1
log ,cos14a f b f c f -⎛
⎫=== ⎪⎝
⎭，则,,a b c 的大小关系为
（ ）
A.b a c <<
B.c a b <<
C.c b a <<
D.a c b <<
8.定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其中()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,∞+上单调递减，()g x 满足
()()11g x g x -=+且在()1,∞+上单调递减，令()()()()()1
2F x f x g x f x g x ⎡⎤=
++-⎣
⎦，则对x R ∀∈，
均有（ ）
A.()()11F x F x -≥+
B.()()11F x F x -≤+
C.(
)()2
2
11F x
F x -≥+ D.()()2
2
11F x F x -≤+
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《研智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特
首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知非零实数,a b 满足
11
33a b
>，则（
）
A.
11
a b
> B.a a b b > C.(
)()
22
2
233a a b
b a
b +>+ D.
11b b
a a
+>+ 10.已知,a b 为正数，1181a b ab
++=，则下列说法正确的是（ ） A.()ln ln a b ab +≥
B.22(1)(1)a b +++的最小值为18
C.9a b +的最小值为8
D.33a b +的最小值为18
11.已知函数()()1
12,20
222,04x x f x f x x +⎧⋅-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩
，则下列命题正确的是（ ）
A.存在k R ∈，使得()f x k =有3个不同的实数根
B.存在k R ∈，使得()f x kx =有4个不同的实数根
C.若函数()()g x f x k =-有2个零点12,x x ，则12x x +的值为2,2-或6
D.能使得关于x 的方程()()2
[]310f x mf x m +++=有4个不同的实数根的m
的取值范围是
12⎛- ⎝⎭
12.函数()f x 定义在区间D 上，若满足：12,x x D ∀∈且12x x <，都有()()12f x f x ≥，则称函数()f x 为区间D 上的“不增函数”，若()f x 为区间[]0,4上的“不增函数”，且()()()04,134f f x f x =++-=，又当
[]3,4x ∈时，()82f x x ≥-恒成立，下列命题中正确的有（ ）
A.313444f f ⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B.[]()1,4,2x f x ∃∈>
C.413436f f ⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
D.[]()()()0,2,24x f f x f x ∀∈-≥- 非选择题部分（共90分）
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.计算：2523
log 933
2742log 2log 5649
-⎛⎫
+--= ⎪⎝⎭
__________. 14.已知O 为坐标原点，若角α的终边上一点P 的坐标为()1,m -
，且sin 10
α=-，线段OP 绕点O 逆时针转动90后，则此时点P 的坐标为__________. 15.不等式
()
7
22ln
01
x x x x e e e e --+-<+-的解集是__________.
16.已知0b >，若对任意的()0,x ∞∈+，不等式324820ax x abx b +--≤恒成立，则224a a b ab +++的最小值为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）已知集合{}
22211,2102x A x
B x x ax a x -⎧⎫
=≤=-+-≤⎨⎬-⎩⎭
∣∣.
（1）当2a =时，求A B ⋃； （2）当R
B A B ⋂
=时，求实数a 的取值范围.
18.（本题满分12分）已知()()()()()sin 4cos tan 33sin tan 2f παπαπααπαα--+=
⎛
⎫-- ⎪
⎝
⎭ （1）若(
)()0,22
f ααπ=-
∈，求α的值； （2）若()725f f παα⎛⎫
++=- ⎪
⎝⎭
，求tan α. 19.（本题满分12分）随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km /h ）测试发现：①汽车每小时耗电量P （单位：KWh ）与速度v （单位：
km /h ）的关系满足()()2
0.0020.04560120P v v v v =-+≤≤；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量
更大.现有一辆同型号电动汽车从A 地经高速公路（最低限速60km /h ，最高限速120km /h ）驶到距离为
500km 的B 地，出发前汽车电池存量为75KWh ，汽车到达B 地后至少要保留5KWh 的保障电量.（假设该
电动汽车从静止加速到速度为v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B 地并说明理由；
（2）若途径服务区充电桩功率为15kw （充电量=充电功率⨯时间），求到达B 地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）.
20.（本题满分12分）已知函数()()
2log 21kx
f x x =++为偶函数.
（1）求实数k 的值； （2）若关于x 的方程()()
2
1x
f b f
=-（b 为常数）在x R ∈上有且只有一个实数根，求实数b 的取值范围.
21.（本题满分12分）已知函数()f x 对,x y R ∀∈，都有()()()()()()
21211f x y f x y f x f y ++-=--+且()3
14
f =
. （1）求证：()()01f x f +≥； （2）求()2024f 的值.
22.（本题满分12分）已知函数()()f x x a x b =+-，其中,a b 为常数. （1）当1b =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）当0a =时，存在2023个不同的实数()1220231,2,
2023,03i x i x x x =≤<<
<≤，使得
()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x -+-+
+-=求实数b 的取值范围.
2023学年第一学期浙南名校联盟12月联考
高一年级数学学科参考答案
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二､选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
7
9
14.()3,1- 15.{ln2ln2}x
x -<<∣
16.16-四､解答题：本大题共6小题，共70分.
17.【答案】（1）[)[][]1,2,1,1,2,1,3A B a a a A B =-=-+=∴⋃=- （2）[)()3,,2∞∞+⋃--
【解析】（1）()()21110{12022x x A x
x x x x x x -+⎧⎫⎧⎫
=≤=≤=+-≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭
∣∣∣且[)20}1,2x -≠=- {}()(){}
[]222101101,1B x x ax a x x a x a a a ⎡⎤⎡⎤=-+-≤=---+≤=-+⎣⎦⎣⎦∣∣
[]2,1,3a B ==， []1,3A B ∴⋃=-
（2）,R
B A B A B ⋂
=⇔⋂=∅
,12A B a ≠∅≠∅∴-≥或11a +<-
3a ∴≥或 2.a <-
18.【答案】（1）()0,23
π
απα∈∴=
或23πα=
（2）4tan 3α=或3
4
【解析】
（1）()()()()()
()()(
)sin 4cos tan 3sin cos tan sin 3cos tan sin tan 2f παπαπααααααπαααα--+--===-=-⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
()sin 0,23
π
ααπα∴=
∈∴=
或23
πα=
（2）
()777,sin sin sin cos 25255f f ππαααααα⎛⎫⎛⎫
++=-∴--+=-∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7
sin cos 5
αα∴=
- 2
27cos cos 15αα⎛⎫
∴-+= ⎪⎝⎭
即：()()5cos 310cos 80αα--= 3cos 5α∴=或4cos 5
α=
当3cos 5α=
时，4sin 4
sin ,tan 5cos 3αααα∴=∴=
=， 当4cos 5α=
时，3sin 3
sin tan 5cos 4αααα∴=∴=
= 则4tan 3α=
或34
（其他解法酌情给分）
19.【答案】（1）该车不能在不充电的情况下到达B 地. （2）该汽车到达B 地的最少用时为
22
3
【解析】（1）设匀速行驶速度为v ，耗电量为()f v ， 则()()()5002500
2060120f v P v v v v v
=⋅
=+-≤≤ 函数()f v 在区间[]60,120单调递增
()min 245
()607553
f v f ∴==
≥- 该车不能在不充电的情况下到达B 地
（2）设匀速行驶速度为v ，总时间为t ，行驶时间与充电时间分别为12,t t . 若能到达B 地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量
即()275155t f v +-≥ 解得25006153v t v
≥
+-.
12500500200022
6661531533
v v t t t v v v ∴=+≥
++-=+-≥=
. 当且仅当
2000153v v
=，即100v =时取到等号 所以该汽车到达B 地的最少用时为
22
3
20.【答案】（1）2k =- （2）0,1b b =≥或1b ≤-
【解析】（1）
()()
2log 21kx f x x =++为偶函数
()()
2log 21kx f x x -∴-=+-
()()()()222221log 21log 2
12log 2021kx kx
kx
x
kx f x f x x -⎛⎫+∴--=+-++== ⎪+⎝⎭
22212122121kx x kx x kx -⎛⎫+∴=∴⋅= ⎪+⎝⎭
2k ∴=-..
（1）法2：由()()()()
2211log 211log 2112k
k
f f k =-⇒++=+-⇒=-.
当2k =-时，()(
)()()222224141log 2
1log 2log log 2242x x x
x x x x x f x x f x --⎛⎫⎛⎫
++=++===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2k ∴=-
（2）
()()()222224141log 2
1log 2log log 2242x x x
x x x x x f x x --⎛⎫⎛⎫
++=++===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22x x -+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增
令222
log x x
t y t -=+=在()2,∞+上递增
()()
2log 22x x f x -∴=+在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增.
又
()(
)
2log 22x x f x -=+是偶函数
则由()()
21x
f b f =-有且只有一个实数根，
21x b ∴=-有且只有一个实数根
0,1b b ∴=≥或1b ≤-
（其他解法酌情给分）
21.【答案】（1）见详解.（2）()1
20244
f = 【解析】
（1）取x y ､都为2x 时，()()2
021112x f x f f
⎛
⎫
⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
思路2：0x y ==，则()()2
20(201)1f f =-+，可得()102
f =
或
当()102f =
时，令0y =，则()1f x =，即()12f x =与()3
14
f =矛盾 所以()01f =， 即证()0f x ≥
取x y ､都为2x 时，()()2
021112x f x f f ⎛⎫
⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）
()314f =
，可得()()()()()113
2304561444
f f f f f =⇒=⇒=⇒=⇒= 令1y =，则()()()()()()
()1
112121112
f x f x f x f f x ++-=--+=+
即()()()111,2f x f x f x ++-=+
即()()()1212
f x f x f x ++=++
()()211f x f x ∴++-=
用3x +代x 可得()()521f x f x +++=
()()51f x f x ∴+=-，即()()6f x f x += ()()202422f f ==
22.【答案】（1）当1a =-时，()f x 在R 上单调递增. 当1a >-时，()f x 在()1,
,1,2a ∞∞-⎛
⎫-+ ⎪
⎝⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减. 当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+
⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. （2）b 的取值范围是][()
,17,∞∞--⋃+ 【解析】
（1）()()()()2
2
1,1
11,1x a x a x f x x a x x a x a x ⎧+--⎪=+-=⎨---+<⎪⎩
1当1a =-时，()()22
(1),1
,(1),1
x x f x f x x x ⎧-=⎨--<⎩在R 上单调递增. 2当1a >-时，()f x 在()1,,1,2a ∞∞-⎛
⎫-+ ⎪
⎝
⎭上单调递增，在1,12a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 3当1a <-时，()f x 在()1,1,,2a ∞∞-⎛⎫-+
⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a -⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. （2）()22
,,x bx x b
f x x x b x bx x b ⎧-=-=⎨-+<⎩
1当
02
b
≤即0b ≤时，()2f x x bx =-在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以
()()()()1202303f f x f x f ≤<⋯<≤，则
()()()()()()12232022202312f x f x f x f x f x f x =-+-++- ()()()()()()()()213220232022f x f x f x f x f x f x =-+-+
+-
()()()()203313093f x f x f f b =--=-
解得1b ≤-；
2当
32
b
即6b 时，()2f x x bx =-+在[]0,3上单调递增，因为12202303x x x ≤<<<≤，所以 ()()()()20331123093f x f x f f b =--=-+，解得7;b
3当3322
b
<<即36b <<时，
()()()()22612203293992422b b b b b f f f b -⎛⎫⎛⎫
--=⨯-+--+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，矛盾；
4当3
022
b <
≤即03b <≤时， ()()()()()2
61223029399222b b b b f f f f b b -⎛⎫
+--=+-=+< ⎪⎝⎭
，矛盾.
综上所述，b 的取值范围是][()
,17,.∞∞--⋃+。