苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第四章4.1-4.4#13(延边大学)三年级

4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2
x L 的矩阵元。

解：(1)对于
x L 3
33()31()(
)()21()()21()()()21()()()2x pp z y z y z y y z y y i
i
p r
p r
i i p r
p r i i p r p r i p p r L e
y p z p e
d e yp zp e d e i p p e d p pz i p p e d p pz τ
π
τπτππ'-'-'-'--'=-=-∂∂=--∂∂∂∂=--∂∂⎰⎰⎰⎰()()()z
y y i p p p p p pz
τ
δ∂∂
'=---∂∂
（2）对于2
x L
23
2
32
331
()(
)21()()21()()()21)()()()2pp x x z y z y z y z y z y y i i
p r
p r
i i p r p r i i p r
p r i i p r p L e L e d e y p z p e d e y p z p y p z p e d e y p z p i p p e p pz
τπτπτπ
π'-'-'-'-'==-=--∂∂=---∂∂⎰
⎰
⎰⎰3()2
232
2
1()())()21()()2()()z y z y y z y y z
y y r i i
p r
p r i p p r
d i p p
e y p z p e d p pz p p e d p pz p p p p p pz
ττ
πτπδ-'--'∂∂=---∂∂∂∂=--∂∂∂∂'=-
--∂∂⎰
⎰
4.2设厄米算符ˆA ，B 满足2
2
ˆˆ1A B ==，ˆˆˆˆ0AB BA +=，求：
（1）在ˆA 表象中，算符ˆ
A 和ˆB
的矩阵表示； （2）在ˆB
表象中，算符ˆ
A 和ˆ
B 的矩阵表示； （3）在ˆ
A 表象中，算符ˆB
的本征值和本征函数；
（4）在ˆB
表象中，算符ˆ
A 的本征值和本征函数； （5）由A 表象到
B 的幺正变换矩阵S 。

解：（1）因为2
2
ˆˆ1A B
==，故算符ˆˆ
,A B 的本征值为1,1- 在A 表象中，ˆA 的矩阵表达式应为对角阵，对角元为其本征值，即1001A ⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭ 不妨设ˆB 的矩阵式为a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭，则由ˆˆˆˆ0AB BA +=得 20ˆˆˆˆ002a AB BA d ⎛⎫+== ⎪-⎝⎭
即0
,
0a d ==
又由2
2
00100b bc B c bc ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及†B B =得
b c *=亦即,i i b e c e δδ-==
故0ˆ0i i e B e δδ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（2）由于ˆˆ
,A B 地位的对称性可知，在B 表象中，,A B 的矩阵值将互换
即10ˆ01B ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭ ， 0ˆ0i i e A e δδ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（3）解本征方程可得, 在A 表象中，B 的本征值为1,1-
，其分别对应的本征函数为
1i e δ-⎛⎫⎪⎭
1i e δ-⎛⎫
⎪-⎭
（4）根据上一问及由于ˆˆ
,A B 地位的对称性可知，在B 表象中，ˆ
A 的本征值为1,1-，
1i e δ-⎛⎫⎪⎭
1i e δ-⎛⎫
⎪-⎭
（5）令
l m S n k ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
由S 是A 表象到B 表象的正交变换矩阵可得
1100010i i e S S e δδ
--⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭ 即
100010i i i i i i l m l m e n k n k e
l m ne ke n k le
me δ
δδ
δδ
δ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
解得：1,1,,i i l m n e
k e δ
δ--====-
又S 是幺正矩阵，†
S S =
，故
1
1i i S e
e δδ--⎫=
⎪-⎭
4.3如果体系的哈密顿量不显含时间，证明下列求和规则。

证：先求出以下对易矩阵：
2
22
2
22
2222
22ˆ[,][()][()]22()2H
x V x x x V x m x m x x x m x x m x ∂∂=-+--+∂∂∂∂∂
=--=-
∂∂∂
2
2
ˆˆ[[,],]()H
x x x x m x x m ∂∂=--=-∂∂
又ˆˆ
[[,],]H x x 可以直接由对易式定义展开：
22ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[[,],][,][,]2H x x H x x x H x Hx xHx x H =-=-+
故根据两种形式等效得2
22ˆˆˆˆˆˆˆ2Hx
xHx x H m -+=-（1）
求能量本征态
,m k ψψ所对应的上述算符的矩阵元可表示为
ˆˆm k
F dx m F k ψψ∞
-∞
=⎰
将（1）式代入得
2
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2m x
H x k m H x x k m x x H k m k
m
--=
改写成矩阵元乘积利用投影算符
,p
p I q q I
==∑∑得
2
ˆˆˆˆˆˆ2ˆˆˆp
q
p q
mk
p
q
m x
p p H
q q x
k m H k p x
q q x k m x
p p x
q q H k m
δ--=∑∑∑∑∑∑ （2）
因为矩阵元是能量表象
即有
ˆˆˆ,,p q k
H p E p H q E q H k E k ===
代入（2）得
2
ˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆˆ2ˆˆq pq p mp p
q
p
q
k qk p
q
p m p
q k mk
p
E m x
p q x
k E p x q q x k E m x
p p x
q E m x
p p x
k E m x p p x
k E m x
p p x
k m
δδδδ--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑
将所有求和求和指标换成
p ，可得
2
ˆˆ(2)p
k m mk
p
E
E E m x
p p x
k m
δ--=∑
再令m k =可得
2
ˆˆ()2p
m p
E
E m x
p p x
m m -=∑（3）
由于能量本征函数一般是实函数，且x 是厄米算符，故有
ˆˆm m pm m x
p x p x m x ψψ*===⎰（4）
（4）代入（3）得
2
2
()2p
m pm p
E
E x m -=
∑
将p 换成n 即为题中所要求证明的结论 ：
2
2
()2n
m nm n
E
E x m -=
∑
4.4设U ˆ为么正算符。

B i A i U U i U U U ˆˆ)2ˆˆ()ˆˆ(21ˆ+≡-++≡++
证明：（1）A ˆ与B
ˆ是厄密算符，且2
2
ˆˆ1A B += （2）ˆˆ[,]0A B =因而B A ˆ
,ˆ可同时对角化。

（3）设B A ˆ,ˆ的共同本征态为
>'',B A 本征值分别为'‘’
‘'iB A ：U B A +=则有和
1
'=U 即12'2'=+B A 因此可令'''''(sin cos H H B H A ==为实数），从而有
2/12
/1'''
itgH itgH H e U i
i
-+=
=
（4）证明U ˆ可以表示为)2/ˆ(1)2/ˆ(1ˆˆH itg H itg e U H i -+=
= ,H 厄米 证：（1） †
†ˆˆˆˆˆˆ()()22U U U U A A
++-+===
故A ˆ
是厄密的。

†††
†ˆˆˆˆˆˆ()()()22U U U U B B
i i --===-
故B
ˆ也是厄密的（用了)-
+=i i †'?†222?††22?2?†ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()()ˆˆ44
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ4U U U U U U U U A B U UU U U U U U UU U U ++--+=-
+++--++=
因U ˆ是么正的，故ˆˆˆˆ,UU U U I ++==故最后一式简化为I 。

（2） ††††ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()()ˆˆˆˆˆˆ[,]0
4U U U U U U U U A B AB BA i +---+=-==
B A ˆ,ˆ可交换，故当采取一种表象使A ˆ对角化时，该表象亦能使B
ˆ对角化 （3）按题意
>>=>>=''''''''',,ˆ,ˆB A B B A B B A A B A A
算符U ˆ的定义是B i A ˆ
ˆ+将前面的
第一个本征方程式加上第二个本征方程式乘以i ,得到：
>+>=+'''''',)(,)ˆˆ(B A iB A B A B i A
将这个方程式和
>'''>=''B A U B A U
,ˆ比较，得知B i A U '+'='
2
2B A B i A U '+'='+'='
要求此式，可将A ˆ运算于A ˆ
的本征方程式，有
>'''>='''⋅>=''⋅B A A B A A A B A A A
,ˆ,ˆˆ2
同理有
>'''>=''⋅B A B B A B B
,ˆˆ2
二式相加得
>'''+'>=''+B A B A B A B A
,)(,)ˆˆ(2222
按照第（1）条小题2
2
ˆˆA B I +=得 >
'''+'>=''B A B A B A ,)(,22
故有12
2
='+'B A ，两个实数的和等于1，则此两数表示成
⎩⎨⎧'=''='H B H A sin cos 但A B tg H ''='-1
（实数），这样算符U ˆ的本征值
U ' 一般是个复数，它表示成：
21212sin 2cos 2sin 2cos sin cos 2/2
/H itg
H itg H i H H i H e e e H i H B i A U H i H i H i '-'+='-''+'==='+'='+'=''-''
（4）要证明算符U ˆ和2ˆ12ˆ1H
itg H
itg
-+等同，需要证明这两算符运算于任一态矢量>ψ的结果相
同。

按（2）和（3）小题B A ˆ
ˆ有共同本征矢>
''B A ，它构成完备系，因此可将它来展开
,
>ψ得：
A B A B ψψ''''>=<>>
∑
ˆ
ˆˆˆˆˆ()ˆˆ()()(cos sin ),iH U
U A B A B A B U
A B A B A
iB A B A B A
A B iB A B A B A iB A B A B H i H A B A B e A B ψψψψψψψψ''''>=<>>''''=<>>''''=<>+>''''''=<>>+>''''''=<>+>''''''=<>+>''=<>>
∑∑∑∑∑∑∑
但
ˆˆˆˆ1122,,ˆˆ112
2
iH
iH H
H
itg itg A B A B A B e A B A B e A B H H
itg
itg
ψψψψ'++''''''''''''>=<>
>=<>>=<>>--∑∑∑即
ˆ12ˆ12
H itg
U H itg
ψψ+>=
>
-
ψ>
是任何态矢量，因而命题得证。