(数学归纳法)人教版高中数学选修2-2教学课件(第2.3课时)

第四页，共三十一页。
新知探究
大家都听说过多米诺骨牌游戏，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨 牌也倒下.只要推到第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最 后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.
•假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
2.数学归纳法两个步骤间的关系:
“第一步——归纳奠基和第二步——归纳递推”两个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命
题递推的根据.
3.数学归纳法的适用范围： 一般来说，数学归纳法只适用于和正整数有关的命题.
第三十页，共三十一页。
右边 = 1(1 + 1)(2 1 + 1) = 1， 6
等式成立.
根据（1）和（2）,可知等式对任何正整数都成立.
(2)假设当n = k(k ∈ N* )时等式成立，
即12 + 22 + +k 2 = k(k + 1)(2k + 1) ， 6
那么， 12 + 22 + +k 2 + (k + 1)2
所以，当n = k + 1时猜想也成立.
+ 4k + 1 1)(3k + 4)
根据(1)和(2),可知等式对任何正整数都成立.
第二十五页，共三十一页。
课堂练习
已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时， (1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知
1 -
n
1 +
3
n
<
1 2
，求证
第五页，共三十一页。
新知探究
探究
这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
动动脑
想一想，自己总结出倒下的条件.
第六页，共三十一页。
思考…
新知探究
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下；
你认为条件（2）的作用是什么？
第二十四页，共三十一页。
新知探究
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当n
=
1时，左边
=
S1
=
1， 4
右边 = n = 1 = 1 ，
3n + 1 3 1 + 1 4
那么 1 + 1 + 1 + +
1 4 4 7 7 10
1
+
1
(3k - 2)(3k + 1) [3(k + 1) - 2][3(k + 1) + 1]
第十九页，共三十一页。
新知探究
用数学归纳法证明
12 + 22 +…+ n2 = n(n +1)(2n +1) (n∈N*). 6
提示
(1)在第一步奠基中， 验证n = 1时命题成立，即证明命题 "12 = 1（1 + 1）（21 + 1）".
6
第二十页，共三十一页。
新知探究
(2)在第二步归纳递推中，就是要 证明条件命题“假设12 + 22 + +k 2 = k(k + 1）(2k + 1) , 那么
类 比
游戏的条件（2）
第十页，共三十一页。
新知探究
继续解答……
如果n=k时猜想成立，即
ak
1 =，
k
那么当n=k+1时猜想也成立，即
ak +1
=
k
1. +1
事实上，如果ak
=
1 k
，那么ak
+1
=
ak 1 + ak
1
=
1
k +
1
=
1 ，即n = k + 1时猜想也成立. k +1
k
第十一页，共三十一页。
新知探究
(2)第二步——归纳递推
“假设n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立”,其本质是证明一个递推关 系，归纳递推的作用是从前往后传递，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点（例如n=1） 不断发展，以至无穷.如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数n都成立，也不能保证命 题对后面的所有正整数都成立.
Biblioteka Baidu
= k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 6
k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 =
(k + 1)(2k 2 + 76k + 6) =
6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
6
这句是不可缺少的！
= (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]， 即当n = k + 1时等6 式也成立.
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．
第二十七页，共三十一页。
课堂练习
（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时， 由（Ⅰ）得
1
+
n
1 +
3
m
≥1
-
m n+3
>
0，
于是
1 -
m n+3
n
≤ 1 -
n
1 +
3
nm
=
1 -
n
1 +
3
n
m
<
1 2
m
m = 1，2， ，n
第二十八页，共三十一页。
课堂练习
某个命题当n=k (k∈N )时成立，可证得当n=k+1时也成立.现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得
（） C
A. n=6时该命题不成立 B. n=6时该命题成立 C. n=4时该命题不成立 D. n=4时该命题成立
第二十九页，共三十一页。
课堂小结
1.数学归纳法的概念： •证明当n取第一个值n0 时命题成立；
n=k时命题成立
n=k+1时命题也成立.
第十八页，共三十一页。
新知探究
归纳
数学归纳法的适用范围： 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题，但是，并不能简单地说所有 与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，一般说，从n=k时的情形过渡到 n=k+1时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困 难.
的分母可以发现，第一项
为4后面的每一项比前一项增加3，于是，我们猜想： n 的分母是首项为4，公差为3的等差数列.写出这
S 个等差数列的通项公式后，就容易猜想出 的表达式. n
(2)用数学归纳法证明时，要注意从n=k时的情形到n=k+1时的情形是怎样过渡的，即要证明n=k+1时等式成立，应如何利用n=k
新知探究
•用数学归纳法进行证明时，第一步从n等于几开始，要根据具体问题而定. 如果要证明的命题是对全体正整数都成立的，则要从n=1证起；
一般来说
n n 如果要证明的命题是对不小于 0 的全体正整数都成立，则要从n= 0证起；
如果要证明的命题是对全体自然数(包括0)都成立的，则要从n=0证起.
第十六页，共三十一页。
课前导入
我们来分析此方法： 一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很麻烦.特别 是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，从n=5开始逐个往下验证的想法价值 不大.我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立.
第七页，共三十一页。
新知探究
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下. 这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证(1)(2) 成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
第八页，共三十一页。
新知探究
对于数列{an }，已知a1 = 1，
课堂练习 当m=k+1时， x2 > -1，1 + x > 0，于是在
不等式 (1 + x)k ≥1 + kx 两边同时乘以1+x得
(1 + x)k (1 + x)≥(1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 ≥1 + (k + 1)x
所以 (1 + x)k+1 ≥1 + (k + 1)x. 即m=k+1时，不等 式也成立.
归纳奠基
1.证明当n取第一个值n0 时命题成立；
归纳递推
2.假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
这种证明方法就叫做
数学归纳法.
第十三页，共三十一页。
新知探究
用框图来表示此证明方法:
验证n=n0 时命题成立. 归纳奠基
当n=k(k≥n0)时命题成立，证明 n=k+1时命题也成立.
an+1
=
an 1 + an
(n
= 1，2，3，
)，
此数列的通项公式an
=
1 n
.
大家现在能证明这个猜想吗？
这个猜想和多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
第九页，共三十一页。
新知探究
下面我们证明此猜想：
由条件容易知道，n=1时猜想成 立.
相当于
证明一个递推关系.
考虑
游戏的条件（1）
6 12 + 22 + +k 2 + (k + 1)2 = (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]”.
6
证明的关键是，如何从n=k时的情形过渡到n=k+1时的情形， 即：要证明n=k+1时等式成立，应如何利用n=k时等式成立这个假设.
第二十一页，共三十一页。
新知探究
证明： (1)当n = 1时，左边 = 12 = 1，
人教版高中数学选修2-2
第2章 推理与证明
2.3 数学归纳法
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：精品课件 时间：2020.6.1
第一页，共三十一页。
课前导入
对于数列{an}，已知a1 = 1，
an+1
=
an 1 + an
(n
=
1，2，3，
)，
此数列的通项公式是什么？
通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，我们已经猜出其通项公式为
1 an = n .
第二页，共三十一页。
课前导入
这个猜想对前4项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立吗？ 这个猜想需要证明，自然地，我们会想到从n=5开始一个个往下验证.
这个方法可行吗?
第三页，共三十一页。
(2)假设当n = k(k
即1 + 1 +
14 47 7
1
=
(3k - 2)(3k + 1)
∈ N* )时猜想成立， 1 ++ 10
k， 3k + 1
=k+
1
= 3k 2
3k + 1 (3k + 1)(3k + 4) (3k +
= (3k + 1)(k + 1) = k + 1 ， (3k + 1)(3k + 4) 3(k + 1) + 1
第二十二页，共三十一页。
新知探究
已知数列 1 ， 1 ， 1 ， ， 1
， ，
1 4 4 7 7 10 (3n - 2)(3n + 1)
计算S1，S
2，S3，S
，根据计算结果，
4
猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.
分析
S （1）猜想
S 的表达是的关键是猜想其分母的表达式.观察 n
S1，S2，S3，S4
归纳递推
命题对从n0开始所有的正整数n都成立.
第十四页，共三十一页。
新知探究
用数学归纳法证题时,应注意的事项 : “归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据.
具体说明如下：
(1)第一步——归纳奠基
•必须有第一步，如果没有第一步，证明不可靠；
第十五页，共三十一页。
时等式成立这个假设.
第二十三页，共三十一页。
新知探究
解：
S1
=
1 1 4
=
1; 4
S2
=
1 4
+
1 4 7
=
2; 7
2
1
3
S3
=
7
+
7 10
=
; 10
3
1
4
S4
=
10
+ 10 13
=
. 13
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以
猜想
n Sn = 3n + 1
第十七页，共三十一页。
新知探究
注意
用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而第二步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k时 命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”.不能不使用“n=k时命题成立”这个条件， 而直接将n=k+1代入命题，便断言此时命题成立因为这样的“证明”并不推出递推关系：
人教版高中数学选修2-2
第2章 推理与证明
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
新知探究
继续解答……
这样，对于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成立，就有n=3也成立； n=3成立，就有n=4也成 立； n=4成立，就有n=5也成立······所以，对任意的正整数n，猜想都成立.
此猜想正确，即
此数列的通项公式an
=
1 n
.
第十二页，共三十一页。
新知探究
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1-
m n+3
n
<
1 2
m
，m=1,2…，n；
解：
（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当m=1,原不等式成立；当m=2时，左边
= 1+ 2x + x2 ，右边=1+2x，因为 x2 0
所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即
(1 + x)k 1 + kx.
第二十六页，共三十一页。