数学归纳法PPT教学课件
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由（1）和（2），可知的等式对任何n N 都成立．
三、例题分析
例1 用数学归纳法证明 1 3 5 (2n 1) n2 .
证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当 n k 时，等式成立，就是 1 3 5 (2k 1) k 2 .
那么 1 3 5 (2k 1) [2(k 1) 1] k 2 [(2(k 1) 1] k 2 2k 1 (k 1)2
推理
大球中装的全是红
球
判
考察全部对象，断得到一般结论的方法，
叫做完全归纳法。完全归纳法得到的
结论一定正确！
不完全归纳法和完全归纳法 均称为归纳法。
二、讲授新课
思考：下列推理正确吗？
在等差数列{an } 中，已知首项为a1 ，公差为d ， a1 a1 0 d , a2 a1 1 d , a3 a1 2 d , a4 a1 3 d, an ?
归纳
点评：
an a1 (n 1)d
这个结论是由不完全归纳法得到的，证明结果
不一定可靠！
讨论： 如何运用完全归纳法证明上面的等差数列通项
公式是正确的？
你玩过多米诺骨牌游戏吗？
能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就 都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定 导致后一块倒下。
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明 莫忘掉
作业：
1.用数学归纳法证明:1 a a2 an1(a 1)在验证
n 1时,左端计算所得的项为( )
A.1
B.1 a
C.1 a a2
D.1 a a2 a3
2.用数学归纳法证明:
1
1 2
1 3
1 2n
1
n(n
N
,
n
1),
第二步证明从"k到k 1",左端增加的项数是 ( )
A.2k-1 B.2k
C.2k 1
D.2k 1
3.课本：p132 第 4题
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
假设当n＝k时等式成立。
即 2＋4＋6＋…＋2k＝ k 2 ＋k＋1
则 2＋4＋6＋…＋2k＋2（k＋1） ＝ k ＋2 k＋1 ＋2（k＋1
＝）(k 1)2＋（k＋1）＋1
哪错了
？ ？？？
这就是说，当n＝k＋1时等式成立。
根据数学归纳法2＋4＋6＋…＋2n＝
n
2
＋n+1对n∈N都正确。
评析：
用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。
实验步骤： 1、将三块载玻片编号为A、B、C.
验证液体中含有何种营养物质
实验步骤：
2、将酒精灯放在三角架下，再将石棉网置于三角架上，然后取3片洁净的标有A、B、C的 载玻片分别放在石棉网中间，用滴管在载玻片的中央分别滴一滴A（土壤浸出液）、B （无土栽培培养液）、C（蒸馏水）溶液。最后点燃酒精灯用酒精灯进行烘干。（为 确保安全，我们实验时不直接对着载玻片加热，以免引起载玻片破裂）
验证液体中含有何种营养物质
实验步骤： 3、当水分蒸发干后，观察载玻片上有什么
现象。
验证液体中含有何种营养物质
实验步骤： 1、把土壤浸出液、无土栽培培 养液、蒸馏水，分别装入编号为A、B、C的三个试管中。 2、将酒精灯放在三角架下，再将石棉网置于三角架上，然后取3片洁净的标有A、B、C的
载玻片分别放在石棉网中间，用滴管在载玻片的中央分别滴一滴A（土壤浸出液）、B （无土栽培培养液）、C（蒸馏水）三个试管中的溶液。最后点燃酒精灯用酒精灯进 行烘干。（为确保安全，我们实验时不直接对着载玻片加热，以免引起载玻片破裂） 3、当水分蒸发干后，观察载玻片上有什么现象。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
练习4：
求证：12＋22＋32＋...＋n2＝n(n 1)(2n 1) 6
证明：（1）当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝1 2 3＝1，等式成立； 6
（2）假设当n＝k时，等式成立。即12＋22＋32＋...＋k 2＝ k(k 1)(2k 1) 6
则12＋22＋32＋...＋k 2＋（k＋1）2＝k(k 1)(2k 1) ＋（k＋1）2 6
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
无土栽培
3. 无土栽培的优点：产量高；品质好；
不受自然条件的约束等优点 。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
讨论
1.实验中三株植物出现生长差异的原因是什么？
（锥形瓶内的液体分别为土壤浸出液、无土栽培培养液、蒸馏水，这是实验中的唯一的变 量）
2.实验中，含有无机盐的溶液有哪些？ （土壤浸出液、无土栽培培养液） 3.你认为无土栽培成功的原因是什么？ （无土栽培成功的原因是无土栽培培养液中含有植物生活必需的无机盐 )
（
( A)
）：1
;
2(k 1)
(B) 1 1 ; 2k 1 2k 2
(C ) 1 1 ; (D) 1 1 1 .
2k 2 k 1
2k 1 2k 2 k 1
评析：
以上三道题告诉我们用数学归纳法证明 命题的步骤（2）中，要注意对n=k到n=k+1 的正确理解，以及由n=k到n=k+1的过程中所 变化的部分。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
土壤浸出液: 配置方法：取100克土壤，加入200 毫升清水，浸泡一段时间后，用4层纱布进行 过滤得到；
无土栽培培养液: 根据植物生物所需要的营养物质 的种类和数量的不同，用水和营养物质配置 成培养植物的液体；
蒸馏水: 在这种液体中只有水
验证液体中含有何种营养物质
无土栽培
1. 无土栽培就是利用溶液培养法的原理，把植 物体生长发育过程中所需要的无机盐，按照 一定的比例配制成营养液，并用这种营养液 来栽培植物的技术。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
无土栽培
2. 最大的特点是用人工创造的根系的生活 环境，来取代土壤环境，这样可以做到 用人工的方法直接调节和控制根系的环 境，从而使植物体能够良好地生长发育。
数学归纳法
一、归纳法的原理：
大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理， 其结论是否正确？
试验
（1）从大球中取出了5个小球，发现全是红色的。 推理
大球中装的全是红球 判断
考察部分对象，得到一般结论的方法， 叫做不完全归纳法。不完全归纳法得 到的结论不一定正确！
试验
（2）从大球中取出所有的小球， 发现全是红色的。
＝ k(k 1)(2k 1)＋（6 k 1）2 ＝ (k 1)(2k 2 7k 6)
6
6
＝(k 1)(k 2)(2k 3)＝ (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1]
6
6
即当n＝k 1时等式成立；
由(1)(2)可得，对任意n N *, 等式成立。
五、小结
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 一、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题. 二、用数学归纳法证明命题的步骤：
其中道理可用于数学证明──数学归纳法.
分析：
类似地，把关于自然数n的命题 看作多米诺骨牌，产生一种符合
能够使游戏一直连续运行的条件： 运行条件的方法：
（1）第一张骨牌必须能倒下 （游戏开始的基础）
(1)证明当n取第一个值 n0时命题成立；
（递推基础）
（2）假若第k（k≥1）张能倒下 （2）假设n k(k N , k n0 )时
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
要证明的 目标是： 1＋3＋5 ＋… ＋（2k-1 ）＋ [2(k+1)－
1]=(k+1)^
2
由（1）和（2），可知的等式对任何n N 都成立．
评析：
用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，
2.用数学归纳法证明:1
1 2
1 3
1 2n
1
n(n
N
,
n
1),
第二步证明从"k到k 1",左端增加的项数是 ( B )
A.2k-1
B.2k
C.2k 1
D.2k 1
练习3：
(1)用数学归纳法证: 1 1 1 13
n 1 n 2 2n 24
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，不等式左边的D变化是
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
生长情况 液体组成 实验现象 实验结果
土壤 生长正常 水+？ 浸出液
无土栽 培培养 液
蒸馏水
生长正常 水+？ 生长不良 水
载玻片上 出现结晶 体
载玻片上 出现结晶 体
无明显现 象
液体中含 有无机盐
液体中含 有无机盐
液体中不 含无机盐
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
时，一定能压倒紧挨着它的 命题成立，再证明当n k 1时
第k+1张骨牌
命题也成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
（游戏继续的条件）
（递推依据）
由（1）（2）知，游戏可以一直 连续运行。
由（1）（2）知，命题对于一切 n≥n。的自然数n都正确。
我们把以上证明关于自然数n的 命题的方法，叫做数学归纳法。
下面用数学归纳法证明等差数列通项公式：
没有步骤（1）命题的成立就失去了基础； 没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！
练习2：
1.用数学归纳法证明"当n是正奇数时, xn yn能被x y整除",
在第二步时,正确的证法是(C )
A.假设n k(k N，k 1)时命题成立,推得n k 1命题成立 B.假设n 2k＋1(k N，k 1)时命题成立,推得n 2k 3命题成立 C.假设n 2k－1(k N，k 1)时命题成立,推得n 2k 1命题成立 D.假设n k(k N，k 1)时命题成立,推得n k 2命题成立
an a1 (n 1)d
证明：（1）当n=1时，左边 a1, 右边 a1 0 d a1, 等式是成立的．
（2）假设当n=k时等式成立，就是ak a1 (k 1)d, 那么 ak1 ak d [a1 (k 1)d] a1 [(k 1) 1]d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确。
四、练习
我是 一毛
我是 二毛
我是 三毛
我不是 四毛！ 我是小 明！
我是 谁？
——小明的爸爸有四个小孩
练习1： 用数学归纳法证明:
2＋4＋6＋…＋2n＝ n2＋n+1(n∈N)的步骤如下：
证明：当n=1时，左边＝2，右边＝3，等式不成立；
三、例题分析
例1 用数学归纳法证明 1 3 5 (2n 1) n2 .
证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当 n k 时，等式成立，就是 1 3 5 (2k 1) k 2 .
那么 1 3 5 (2k 1) [2(k 1) 1] k 2 [(2(k 1) 1] k 2 2k 1 (k 1)2
推理
大球中装的全是红
球
判
考察全部对象，断得到一般结论的方法，
叫做完全归纳法。完全归纳法得到的
结论一定正确！
不完全归纳法和完全归纳法 均称为归纳法。
二、讲授新课
思考：下列推理正确吗？
在等差数列{an } 中，已知首项为a1 ，公差为d ， a1 a1 0 d , a2 a1 1 d , a3 a1 2 d , a4 a1 3 d, an ?
归纳
点评：
an a1 (n 1)d
这个结论是由不完全归纳法得到的，证明结果
不一定可靠！
讨论： 如何运用完全归纳法证明上面的等差数列通项
公式是正确的？
你玩过多米诺骨牌游戏吗？
能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就 都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定 导致后一块倒下。
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明 莫忘掉
作业：
1.用数学归纳法证明:1 a a2 an1(a 1)在验证
n 1时,左端计算所得的项为( )
A.1
B.1 a
C.1 a a2
D.1 a a2 a3
2.用数学归纳法证明:
1
1 2
1 3
1 2n
1
n(n
N
,
n
1),
第二步证明从"k到k 1",左端增加的项数是 ( )
A.2k-1 B.2k
C.2k 1
D.2k 1
3.课本：p132 第 4题
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
假设当n＝k时等式成立。
即 2＋4＋6＋…＋2k＝ k 2 ＋k＋1
则 2＋4＋6＋…＋2k＋2（k＋1） ＝ k ＋2 k＋1 ＋2（k＋1
＝）(k 1)2＋（k＋1）＋1
哪错了
？ ？？？
这就是说，当n＝k＋1时等式成立。
根据数学归纳法2＋4＋6＋…＋2n＝
n
2
＋n+1对n∈N都正确。
评析：
用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。
实验步骤： 1、将三块载玻片编号为A、B、C.
验证液体中含有何种营养物质
实验步骤：
2、将酒精灯放在三角架下，再将石棉网置于三角架上，然后取3片洁净的标有A、B、C的 载玻片分别放在石棉网中间，用滴管在载玻片的中央分别滴一滴A（土壤浸出液）、B （无土栽培培养液）、C（蒸馏水）溶液。最后点燃酒精灯用酒精灯进行烘干。（为 确保安全，我们实验时不直接对着载玻片加热，以免引起载玻片破裂）
验证液体中含有何种营养物质
实验步骤： 3、当水分蒸发干后，观察载玻片上有什么
现象。
验证液体中含有何种营养物质
实验步骤： 1、把土壤浸出液、无土栽培培 养液、蒸馏水，分别装入编号为A、B、C的三个试管中。 2、将酒精灯放在三角架下，再将石棉网置于三角架上，然后取3片洁净的标有A、B、C的
载玻片分别放在石棉网中间，用滴管在载玻片的中央分别滴一滴A（土壤浸出液）、B （无土栽培培养液）、C（蒸馏水）三个试管中的溶液。最后点燃酒精灯用酒精灯进 行烘干。（为确保安全，我们实验时不直接对着载玻片加热，以免引起载玻片破裂） 3、当水分蒸发干后，观察载玻片上有什么现象。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
练习4：
求证：12＋22＋32＋...＋n2＝n(n 1)(2n 1) 6
证明：（1）当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝1 2 3＝1，等式成立； 6
（2）假设当n＝k时，等式成立。即12＋22＋32＋...＋k 2＝ k(k 1)(2k 1) 6
则12＋22＋32＋...＋k 2＋（k＋1）2＝k(k 1)(2k 1) ＋（k＋1）2 6
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
无土栽培
3. 无土栽培的优点：产量高；品质好；
不受自然条件的约束等优点 。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
讨论
1.实验中三株植物出现生长差异的原因是什么？
（锥形瓶内的液体分别为土壤浸出液、无土栽培培养液、蒸馏水，这是实验中的唯一的变 量）
2.实验中，含有无机盐的溶液有哪些？ （土壤浸出液、无土栽培培养液） 3.你认为无土栽培成功的原因是什么？ （无土栽培成功的原因是无土栽培培养液中含有植物生活必需的无机盐 )
（
( A)
）：1
;
2(k 1)
(B) 1 1 ; 2k 1 2k 2
(C ) 1 1 ; (D) 1 1 1 .
2k 2 k 1
2k 1 2k 2 k 1
评析：
以上三道题告诉我们用数学归纳法证明 命题的步骤（2）中，要注意对n=k到n=k+1 的正确理解，以及由n=k到n=k+1的过程中所 变化的部分。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
土壤浸出液: 配置方法：取100克土壤，加入200 毫升清水，浸泡一段时间后，用4层纱布进行 过滤得到；
无土栽培培养液: 根据植物生物所需要的营养物质 的种类和数量的不同，用水和营养物质配置 成培养植物的液体；
蒸馏水: 在这种液体中只有水
验证液体中含有何种营养物质
无土栽培
1. 无土栽培就是利用溶液培养法的原理，把植 物体生长发育过程中所需要的无机盐，按照 一定的比例配制成营养液，并用这种营养液 来栽培植物的技术。
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
无土栽培
2. 最大的特点是用人工创造的根系的生活 环境，来取代土壤环境，这样可以做到 用人工的方法直接调节和控制根系的环 境，从而使植物体能够良好地生长发育。
数学归纳法
一、归纳法的原理：
大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理， 其结论是否正确？
试验
（1）从大球中取出了5个小球，发现全是红色的。 推理
大球中装的全是红球 判断
考察部分对象，得到一般结论的方法， 叫做不完全归纳法。不完全归纳法得 到的结论不一定正确！
试验
（2）从大球中取出所有的小球， 发现全是红色的。
＝ k(k 1)(2k 1)＋（6 k 1）2 ＝ (k 1)(2k 2 7k 6)
6
6
＝(k 1)(k 2)(2k 3)＝ (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1]
6
6
即当n＝k 1时等式成立；
由(1)(2)可得，对任意n N *, 等式成立。
五、小结
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 一、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题. 二、用数学归纳法证明命题的步骤：
其中道理可用于数学证明──数学归纳法.
分析：
类似地，把关于自然数n的命题 看作多米诺骨牌，产生一种符合
能够使游戏一直连续运行的条件： 运行条件的方法：
（1）第一张骨牌必须能倒下 （游戏开始的基础）
(1)证明当n取第一个值 n0时命题成立；
（递推基础）
（2）假若第k（k≥1）张能倒下 （2）假设n k(k N , k n0 )时
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
要证明的 目标是： 1＋3＋5 ＋… ＋（2k-1 ）＋ [2(k+1)－
1]=(k+1)^
2
由（1）和（2），可知的等式对任何n N 都成立．
评析：
用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，
2.用数学归纳法证明:1
1 2
1 3
1 2n
1
n(n
N
,
n
1),
第二步证明从"k到k 1",左端增加的项数是 ( B )
A.2k-1
B.2k
C.2k 1
D.2k 1
练习3：
(1)用数学归纳法证: 1 1 1 13
n 1 n 2 2n 24
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，不等式左边的D变化是
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
生长情况 液体组成 实验现象 实验结果
土壤 生长正常 水+？ 浸出液
无土栽 培培养 液
蒸馏水
生长正常 水+？ 生长不良 水
载玻片上 出现结晶 体
载玻片上 出现结晶 体
无明显现 象
液体中含 有无机盐
液体中含 有无机盐
液体中不 含无机盐
第二节 绿色植物从土壤中获得什么
时，一定能压倒紧挨着它的 命题成立，再证明当n k 1时
第k+1张骨牌
命题也成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
（游戏继续的条件）
（递推依据）
由（1）（2）知，游戏可以一直 连续运行。
由（1）（2）知，命题对于一切 n≥n。的自然数n都正确。
我们把以上证明关于自然数n的 命题的方法，叫做数学归纳法。
下面用数学归纳法证明等差数列通项公式：
没有步骤（1）命题的成立就失去了基础； 没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！
练习2：
1.用数学归纳法证明"当n是正奇数时, xn yn能被x y整除",
在第二步时,正确的证法是(C )
A.假设n k(k N，k 1)时命题成立,推得n k 1命题成立 B.假设n 2k＋1(k N，k 1)时命题成立,推得n 2k 3命题成立 C.假设n 2k－1(k N，k 1)时命题成立,推得n 2k 1命题成立 D.假设n k(k N，k 1)时命题成立,推得n k 2命题成立
an a1 (n 1)d
证明：（1）当n=1时，左边 a1, 右边 a1 0 d a1, 等式是成立的．
（2）假设当n=k时等式成立，就是ak a1 (k 1)d, 那么 ak1 ak d [a1 (k 1)d] a1 [(k 1) 1]d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确。
四、练习
我是 一毛
我是 二毛
我是 三毛
我不是 四毛！ 我是小 明！
我是 谁？
——小明的爸爸有四个小孩
练习1： 用数学归纳法证明:
2＋4＋6＋…＋2n＝ n2＋n+1(n∈N)的步骤如下：
证明：当n=1时，左边＝2，右边＝3，等式不成立；