初中数学最新版《绝对值》精品导学案(2022年版)

2.4 绝对值
学习目标：
1．理解绝对值的概念及其几何意义；〔重点〕
2．会求一个数的绝对值，会根据绝对值求对应的数；〔重点〕 3．了解绝对值的非负性，并能用其非负性解决相关问题．〔重点、难点〕
自主学习
一、知识链接
1.a 的相反数表示为.
2.在数轴上表示-5和5的点，它们到原点的距离分别是多少？表示-34 和3
4 的点呢？ 二、新知预习
〔预习课本P22-24〕填空并完成练习：
1.在数轴上，表示一个数的点到叫做这个数的绝对值，用“〞表示.
2.一个正数的绝对值是_；一个负数的绝对值是它的__；0的绝对值是.
3.任何一个有理数的绝对值总是正数和0〔通常也称〕，即对有理数a ，总有|a|0. 练习：1.写出以下各数的绝对值. +4，-
2
1
，0，-5.1. 2.计算：〔1〕|-1|+|+3|； 〔2〕|-1.2|+|-0.7|.
合作探究
一、要点探究
探究点1：绝对值的意义及求法
【概念提出】在数轴上，表示一个数的点到叫做这个数的绝对值，用“〞表示. 问题1 分别写出3，0，-6的绝对值和到原点的距离，你发现了什么？ 【要点归纳】一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是. 问题2 分别计算5和-5，3和-3，和的绝对值，你发现了什么？ 【要点归纳】互为相反数的两个数的绝对值． 【典例精析】
12，-
5
3，，0．
〔1〕|﹣0.25|； 〔2〕+|﹣3.14|； 〔3〕﹣|2.3|.
【针对训练】化简：〔1〕﹣|+2.5|； 〔2〕-|﹣4|； 〔3〕|﹣〔﹣3〕|． 探究点2：绝对值的性质及应用
思考1：观察这些数的绝对值，它们有什么共同点？ |5|=5；|-10|=10；；|-5000|=5000；|0|=0……
思考2: 假设字母a 表示一个有理数,你知道a 的绝对值等于什么吗? (1)当a ＞0时，｜a ｜＝；
(2)当a＜0时，｜a｜＝；
(3)当a=0时，｜a｜＝．
【要点归纳】任何一个有理数的绝对值总是正数和0〔通常也称〕．【典例精析】
(1)绝对值等于0的数是；
(2)绝对值等于的正数是_；
(3)绝对值等于的负数是；
2的数是_.
|a|+|b|=0，求a，b的值．
提示：由绝对值的性质可得|a|≥0，|b|≥0．
【方法总结】几个非负数的和为0，那么这几个数都为0．
二、课堂小结
1．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．
2．绝对值的性质：(1)|a|≥0；
(2)
(0)
||(0)
0(0)
a a
a a a
a
>
⎧
⎪
=-<
⎨
⎪=
⎩
当堂检测
6．﹣|﹣2|＝；|﹣〔﹣〕|＝；|﹣〔+〕|＝；﹣|﹣1|＝．7.计算：
〔1〕56-++； 〔2〕5.02.1---； 〔3〕5
35-
⨯-. 参考答案
自主学习
一、知识链接
1.-a
2.解：-5和5到原点的距离均为5，-34 和34 到原点的距离都是3
4 ． 二、新知预习
1.原点的距离 | |
2.它本身 相反数 0
3.非负数 ≥ 练习：1.解：它们的绝对值分别是4，
2
1
，0，5.1. 2.解：〔1〕原式=1+3=4； 〔2〕原式=1.2+0.7=1.9. 合作探究 二、要点探究
探究点1：绝对值的意义及求法
【概念提出】原点的距离 | | 〞表示. 【要点归纳】它本身 相反数 0 【要点归纳】相等 【典例精析】
〔1〕|12|＝12；〔2〕|﹣
53|＝5
3
；〔3〕|﹣7.5|＝；〔4〕|0|＝0．
解：〔1〕|﹣0.25|＝；〔2〕+|﹣3.14|＝；〔3〕﹣|2.3|＝﹣．
【针对训练】解：〔1〕﹣|+2.5|＝﹣；〔2〕-|﹣4|＝-4；〔3〕|﹣〔﹣3〕|＝|3|＝3． 探究点2：绝对值的性质及应用
思考1：解：它们的绝对值都是正数或0． 思考2: (1)a (2)-a (3)0 【要点归纳】非负数 【典例精析】
(2)5.25 (3)-5.25 (4)±2
|a|≥0，|b|≥0，|a|+|b|=0，所以|a|=0，|b|=0，所以a=0，b=0． 当堂检测
6．﹣2 ﹣1
7.解：〔1〕115656=+=-++；〔2〕7.05.02.15.02.1=-=---；〔3〕
35
3
5535=⨯=-
⨯-. 第1课时 单项式与单项式、多项式相乘
1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法那么，并运用它们进行运算．(重点)
2．熟练应用运算法那么进行计算．(难点) 一、情境导入
1．教师引导学生回忆幂的运算公式．
学生积极举手答复：同底数幂的乘法公式：a m ·a n ＝a m ＋n
(m ，n 为正整数)．
幂的乘方公式：(a m )n ＝a mn
(m ，n 为正整数)．
积的乘方公式：(ab )n ＝a n b n
(n 为正整数)．
2．教师肯定学生的答复，并引入课题——单项式与单项式、多项式相乘． 二、合作探究
探究点一：单项式乘以单项式
【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法那么进行计算
计算：
(1)(－23a 2b )·(56ac 2
)；
(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2
；
(3)－6m 2n ·(x －y )3·13
mn 2(y －x )2
.
解析：运用幂的运算法那么和单项式乘以单项式的法那么计算即可． 解：(1)(－23a 2b )·(56ac 2)＝－23×56a 3bc 2＝－59
a 3bc 2
；
(2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3×3xy 2×4x 2y 4
＝－32x 9y 9；
(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13
m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5
.
方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意
按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合
－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项，求m 2
＋n 的值．
解析：根据－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m 的积与x 4
y 是同类项可得出关于m ，n 的方程组，进而求出m ，n 的值，即可得出答案．
解：∵－2x
3m ＋1y 2n
与7x n －6y
－3－m
的积与x
4
y 是同类项，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＋n －6＝4，2n －3－m ＝1，解得：
⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝2，
n ＝3，∴m 2
＋n ＝7.
方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项，列出二元一次方程组．
【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用
有一块长为x m ，宽为y m 的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长35x m ，宽3
4
y m
的矩形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解析：先求出长方形的面积，再求出矩形绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
解：长方形的面积是xy m 2，矩形空地绿化的面积是35x ×34y ＝920xy (m)2
，那么剩下的面积
是xy －920xy ＝1120
xy (m 2
)．
方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法那么是解题的关键． 探究点二：单项式乘以多项式
【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法那么进行计算
计算： (1)(23ab 2－2ab )·1
2ab ；
(2)－2x ·(12
x 2
y ＋3y －1)．
解析：先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可．
解：(1)(23ab 2－2ab )·12ab ＝23ab 2·12ab －2ab ·12ab ＝13
a 2
b 3－a 2b 2
；
(2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)＝－2x ·12x 2y ＋(－2x )·3y －(－2x )·1＝－x 3
y ＋(－6xy )－
(－2x )＝－x 3
y －6xy ＋2x .
方法总结：单项式与多项式相乘的运算法那么：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【类型二】 单项式乘以多项式乘法的实际应用
一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽(a ＋2b )米，坝高1
2
a 米．
(1)求防洪堤坝的横断面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法那么计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．
解：(1)防洪堤坝的横断面积S ＝12[a ＋(a ＋2b )]×12a ＝14a (2a ＋2b )＝12a 2＋1
2ab .故防洪堤
坝的横断面积为(12a 2＋1
2
ab )平方米；
(2)堤坝的体积V ＝Sh ＝(12a 2＋12ab )×100＝50a 2＋50ab .故这段防洪堤坝的体积是(50a
2
＋50ab )立方米．
方法总结：通过此题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法那么是解题的关键．
【类型三】 化简求值
先化简，再求值：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2
(3a ＋4)，其中a ＝－2.
解析：首先根据单项式与多项式相乘的法那么去掉括号，然后合并同类项，最后代入的数值计算即可．
解：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)＝6a 3－12a 2＋9a －6a 3－8a 2＝－20a 2
＋9a ，当a ＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
【类型四】 单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值
如果(－3x )2(x 2－2nx ＋23
)的展开式中不含x 3
项，求n 的值．
解析：原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法那么计算，根据结果不含x 3
项，求出n 的值即可．
解：(－3x )2(x 2－2nx ＋23)＝(9x 2)(x 2－2nx ＋23)＝9x 4－18nx 3＋6x 2，由展开式中不含x
3
项，得到n ＝0.
方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.
三、板书设计
单项式与单项式、多项式相乘
1．单项式与单项式相乘法那么：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式．
2．单项式与多项式相乘的法那么：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．
本节知识的重点是让学生理解单项式与单项式、多项式相乘的法那么，并能应用．这就必须要求学生对乘法的分配律以及幂的运算法那么有一定的根底，因此课前可以要求学生先复习该局部的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识．对于运算法那么的得出，教师通过“试一试〞逐步解题，通过计算演示法那么的内容，更有利于学生理解运算法那么．。