2020年中考数学一轮专项复习32 圆中与切线有关的证明、计算(含解析)

2020年中考数学一轮专项复习——圆中与切线有关的证明、计算
基础过关
1. (2018湘西州)已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 无法确定
2．(2019广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为()
A. 0条
B. 1条
C. 2条
D. 无数条
3．(2019杭州)如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，若P A＝3，则PB＝()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第3题图
4．(2019重庆A卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为()
A．40°B．50°C．80°D．100°
第4题图
5．(2019舟山)如图，已知⊙O上三点A、B、C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC延长线于点P，则P A的长为()
第5题图
A. 2
B. 3
C. 2
D. 1 2
6．(2019娄底)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()
A. 1
B. 3
C. 2
D. 2 3
第6题图
7．(2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为()
A. 32°
B. 31°
C. 29°
D. 61°
第7题图
8．(2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()
第8题图
A. 2 3
B. 2
C. 3 3
D. 4 3
9．(2019宿迁)直角三角形的两条直角边分别为5和12，则它的内切圆半径为________．
10．如图，P A是⊙O的切线，A为切点，连接PO交⊙O于点B，P A＝4，PB＝2，则sin∠APO＝________．
第10题图
11．(2019包头)如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为________．
第11题图
12．(2020原创)如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA.连接OC，过点A作AD⊥OC 于点E，交⊙O于点D，连接DB.
(1)求证：△ACE≌△BAD；
(2)连接CB交⊙O于点M，交AD于点N.若AD＝4，求MN的长．
第12题图
13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于点D，交AC 于点E，F是DE的中点，连接CF.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC.
第13题图
能力提升
1．(2019绵阳模拟)如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10 cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14 cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是()
A. 圆形铁片的半径是4 cm
B. 四边形AOBC为正方形
C. 弧AB的长度为4π cm
D. 扇形OAB的面积为4π cm2
第1题图
2．(2019安顺)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：点H为CE的中点；
(3)若BC＝10，cos C＝
5
5，求AE的长．
第2题图
满分冲关
1．(2019玉林)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M、N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值与最大值之和是()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
第1题图
2．如图，直线y ＝－3
4x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1
个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是________．
第2题图
参考答案
基础过关
1．B 【解析】根据圆心到直线的距离等于半径，则圆与直线相切，可知直线l 与⊙O 相切． 2．C 【解析】∵⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，∴点P 在圆外．过圆外一点可以作两条直线和圆相切．
3．B 【解析】∵P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，∴根据切线长定理知，PB ＝P A ＝3.
4．C 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝50°，∴∠ABD ＝40°，∴∠AOD ＝2∠ABD ＝80°.
5．B 【解析】 如解图，连接OA ，则∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵AP 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴AP ＝OA ·tan ∠AOC ＝1×tan60°＝ 3.
第5题解图
6．A 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边△ABC 的内切圆，∴D 为AB 的中点．∵AB ＝23，∴AD ＝12AB ＝ 3.∵在等边△ABC 中，∠CAB ＝60°，∴∠OAD ＝30°.∴tan ∠OAD
＝
OD AD .∴tan30°＝OD 3
，解得OD ＝1.
第6题解图
7．A 【解析】如解图，设BP 与⊙O 交于点M ，连接OC 、CM .∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵四边形ABMC 是⊙O 的内接四边形，∠A ＝119°，∴∠BMC ＝180°－119°＝61°.∵OC ＝OM ，∴∠OCM ＝∠OMC ＝61°.∴在△COM 中，∠COM ＝180°－∠OCM ＝∠OMC ＝58°.∴在△COP 中，∠P ＝180°－∠COM －∠OCP ＝180°－58°－90°＝32°.
第7题解图
8．A 【解析】∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD ，在Rt △AOD 中，AD ＝3OD ，∴tan A ＝OD AD ＝
OD
3OD ＝
33，∴∠A ＝30°，∴∠AOD ＝60°，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝1
2
∠AOD ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠C ＝90°. 在Rt △ABC 中，BC ＝AB ·sin A ＝12×12＝6. 在
Rt △CBD 中，CD ＝BC ·tan30°＝6×
3
3
＝2 3. 9．2 【解析】∵两条直角边的长分别为5和12，由勾股定理可知，斜边长＝52＋122＝13，∴它的内切圆的半径＝5＋12－13
2
＝2.
10.3
5 【解析】∵P A 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP ＝90°，∵在Rt △OAP 中，P A ＝4，PB ＝2，
设半径为r ，∴OA ＝OB ＝r ，OP ＝r ＋2.在Rt △OAP 中，由勾股定理得(r ＋2)2＝r 2＋42，解得r ＝3，∴OP ＝3＋2＝5，OA ＝3，∴sin ∠APO ＝OA OP ＝3
5
.
11．26 【解析】如解图，连接CD ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DCB ＝90°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∠CAB ＝∠DCB ＝90°，∴△CAB ∽△DCB .∴BC AB ＝BD CB
，即BC ＝BD ·AB ＝2 6.
第11题解图
12．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AD ⊥OC ， ∴∠AEC ＝90°， ∴∠ADB ＝∠AEC ， ∵CA 是⊙O 的切线， ∴∠CAO ＝90°，
∴∠CAE ＋∠BAD ＝∠CAE ＋∠ACE ＝90°， ∴∠ACE ＝∠BAD ， 在△ACE 和△BAD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠AEC ＝∠BDA ∠ACE ＝∠BAD CA ＝AB
， ∴△ACE ≌△BAD (AAS)； (2)解：如解图，连接AM ，
第12题解图
∵AD ⊥OC ，AD ＝4， ∴AE ＝DE ＝1
2AD ＝2，
∵△ACE ≌△BAD ，
∴AE ＝BD ＝2，CE ＝AD ＝4，
在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝25， 在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝210. ∵∠CEN ＝∠BDN ＝90°，∠CNE ＝∠BND ， ∴△CEN ∽△BDN ， ∴
CN BN ＝CE
BD
＝2. ∴BN ＝13BC ＝210
3，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AMB ＝90°，即AM ⊥CB ， ∵CA ＝BA ，∠CAB ＝90°， ∴BM ＝1
2BC ＝10，
∴MN ＝BM －BN ＝
103
. 13．证明：(1)如解图，连接OC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∴∠ECD ＝90°. ∵点F 为DE 的中点， ∴EF ＝CF . ∴∠FCE ＝∠FEC . ∵∠AEO ＝∠FEC ， ∴∠FCE ＝∠AEO . ∵OA ＝OC ， ∴∠OCA ＝∠A . ∵OD ⊥AB ， ∴∠A ＋∠AEO ＝90°. ∴∠OCA ＋∠FCE ＝90°， 即∠FCO ＝90°. ∴OC ⊥CF .
∵OC 是⊙O 的半径， ∴CF 是⊙O 的切线；
第13题解图
(2)∵∠A ＝22.5°，
∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.
∵OD ⊥AB ，
∴∠BOD ＝90°.
∴∠DOC ＝45°.
∵∠FCO ＝90°，
∴∠CFO ＝45°.
∴∠CFO ＝∠DOC .
∴CF ＝CO .
∵CF ＝EF ＝DF ，
∴DE ＝2CF .
∴AB ＝2OC ＝DE .
∵∠A ＋∠B ＝90°，∠D ＋∠B ＝90°，
∴∠A ＝∠D ，
在△ABC 和△DEC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D
∠ACB ＝∠DCE ＝90°AB ＝DE
，
∴△ABC ≌△DEC (AAS)．
∴AC ＝DC .
能力提升
1．C 【解析】∵CA 、CB 分别与⊙O 相切，∴∠OBC ＝∠OAC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴四边形AOBC 是矩形，∵OA ＝OB ，∴四边形AOBC 是正方形，∵AC ＝4 cm ，∴OB ＝4 cm ，即圆形铁片的半径是4 cm ，
∴弧AB 的长为90π×4180
＝2π cm ，扇形OAB 的面积为90π×42
360＝4π cm 2，综上所述，说法错误的是C . 2．(1)解：DH 与⊙O 相切．
理由如下：如解图，连接OD ，
∵OB ＝OD ，
∴∠B ＝∠ODB ，
∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠C ，
∴∠ODB ＝∠C ，
∴OD ∥AC ，
∵DH ⊥AC ，
∴OD ⊥DH ，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴DH 与⊙O 相切；
第2题解图 (2)证明：如解图，连接DE ，
∵四边形ABDE 是圆内接四边形，
∴∠B ＋∠AED ＝180°，
∵∠DEC ＋∠AED ＝180°，
∴∠DEC ＝∠B ，
∵∠B ＝∠C ，
∴∠DEC ＝∠C ，
∴DE ＝DC ，
∵DH ⊥EC ，
∴点H 为CE 的中点；
(3)解：如解图，连接AD ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴AD ⊥BC ，
∵AB ＝AC ，
∴DC ＝12BC ＝12×10＝5，
∵在Rt △ADC 中，cos C ＝DC AC ＝5
5，
∴AC ＝55，
∵在Rt △DHC 中，cos C ＝HC CD ＝5
5，
∴HC ＝5，
∵点H 为CE 的中点，
∴CE ＝2CH ＝25，
∴AE ＝AC －EC ＝3 5.
满分冲关
1．B 【解析】如解图，在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠C ＝90°，∴AB ＝5，∵点O 是AB 的三
等分点，∴AO ＝53，设半圆O 与AC 相切于点D ，交AB 于点E 、F ，则OD ⊥AD ，∴△ADO ∽△ACB ，∴DO CB ＝AO AB ，即DO 3＝13，∴DO ＝EO ＝1.当N 在点E 处，M 在点B 处时MN 最大，最大值为BE ＝BO ＋OE ＝103
＋1；过点O 作OM ⊥BC 于M ，交半圆O 于点N ，则此时MN 最小，∵△BOM ∽△BAC ，∴OM AC ＝OB AB ＝23
，∴OM ＝83，∴MN 的最小值为OM －ON ＝83－1，∴最大值与最小值的和为103＋1＋83
－1＝6.
第1题解图
2．(－73，0)或(－173
，0) 【解析】如解图①，当点P 在直线AB 上方且⊙P 与直线AB 相切时，设切点为C ，连接PC ，则PC ⊥AB ，∵直线y ＝－34
x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴A (－4，0)，B (0，－3)．∴AB ＝5.在△APC 与△ABO 中，∠AOB ＝90°，∠ACP ＝90°，∠P AC ＝∠OAB ，∴△ABO ∽△APC .∴CP OB
＝AP AB .∴13＝AP 5.∴AP ＝53.∴OP ＝AO －AP ＝4－53＝73.∴P 点的坐标为(－73
，0)；如解图②，当点P 在AB 下方且⊙P 与直线AB 相切时，设切点为C ，连接PC ，则PC ⊥AB ，在△ABO 与△APC 中，∵∠AOB ＝90°，∠ACP ＝90°，∠P AC ＝∠OAB ，∴△APC ∽△ABO .∴CP OB ＝AP AB .∴13＝AP 5.∴AP ＝53.∴OP ＝AO ＋AP ＝4＋53＝173
.∴P 点的坐标为(－173，0)综上的述点P 的坐标是(－73，0)或(－173
，0)．
第2题解图。