人教版初三数学上册二次函数与三角形的面积问题导学案

二次函数与三角形的面积问题
【活动目标】
1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答二次函数中三角形图形的面积。

【活动重点和难点】 1.运用2
铅垂高
水平宽⨯=
s ； 2.运用二次函数有关知识解三角形最大面积。

【活动过程】
类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行 (小班预习作业） 例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求: （1）抛物线解析式；
（2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ；
（3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。

解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。

求出下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。

方法小结： 一般地，此类题目相对简单，做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。

类型二：
三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。

关于2
铅垂高
水平宽⨯=∆S 的知识点：
如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC= ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．如图2：△
ABC
的水平宽=
， 铅垂高= 。

B
A
铅垂高
水平宽 h
a 图1
图2
x
C
O y A
B
D 1
1
知识小结：今天你学到了哪些知识？收获了什么？ 过关练习：
1、 如图，抛物线 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，
已知B 点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．
中考真题：
（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过三点A 、B 、O （O 为原点）． （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
例2、如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式． （2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N ，连接NB 、NC ，是否存在M ，使△BNC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。