初中数学教案：同余与同余方程

初中数学教案：同余与同余方程
一、引言
同余与同余方程是初中数学中的重要概念。

在代数与数论中具有广泛的应用。

本教案将介绍同余的定义及性质，以及如何解决同余方程。

二、同余的概念及性质
1. 同余的定义：对于给定的整数a、b和正整数m，如果m能整除(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。

2. 同余的性质：
2.1 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

2.2 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。

2.3 自反性：对于任意整数a和正整数m，有a≡a(mod m)。

三、同余方程的解法
1. 同余方程定义：形如ax ≡ b (mod m)的方程称为同余方程。

2. 求解同余方程的一般步骤：
2.1 将同余方程转化为线性方程。

2.2 解线性方程求得特解x0。

2.3 根据特解x0，构造出所有满足原始条件(ax ≡ b mod m ) 的解。

3. 解法示例：
示例1: 解决方程5x≡3(mod 7)。

解法：
3.1 将同余方程转化为线性方程：5x - 3 = 7k，其中k为整数。

3.2 解线性方程求得特解x0：令k=1，得到 x0 = 8。

3.3 利用特解x0，构造出所有满足原始条件的解：x = x0 + m×t，其中t为整数，m为模数。

代入关系中得到最终的解集{x|x≡8(mod 7)}。

四、同余运算及其应用
1. 同余运算的定义：对于给定的正整数m，在整数集上定义一个等价关系∼ m ，如果两个整数a和b满足a ≡ b (mod m)，则称 a 和 b在模 m 下同余。

即∼是一个
模m下的等价关系。

2. 同余运算与加、减、乘法的性质：
2.1 同余运算与加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则有(a±c) ≡ (b±d)(mod m)。

2.2 同余运算与乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则有ac ≡ bd (mod m)。

3. 应用示例：
示例2: 在模12下计算73 ×147两个正整数的乘积。

解法：
3.1 将73和147分别写成模12的形式：73≡1(mod 12)，147 ≡ 3 (mod 12)。

3.2 利用同余运算与乘法的性质：(73×147) mod 12 = (1 × 3) mod 12 = 3。

五、同余定理及其应用
1. 同余定理的定义：如果a与c关于模m同余，b与c关于模m同余，则有a≡ b(mod m)。

2. 应用示例：
示例3: 若两个整数的和能被7整除，则这两个整数各自除以7得到的余数也相等。

即若(a + b) ≡0(mod 7)，那么a ≡ b(mod 7)。

解法：根据同余定理，由(a+b) ≡0(mod 7)，可以得出a ≡ b (mod 7)。

六、其他相关概念及扩展应用
1. 模反元素: 如果正整数a与模m互素，并且满足ax≡1(mod m)，则称x为a在模m下的模反元素。

2. 模反元素应用示例：
示例4: 在模11下求解方程2x≡1(mod 11)。

解法：由于2与11互素，我们需要找到一个整数x使得2x≡1 (mod 11)，即找到2在模11下的模反元素。

经过试探可得x=6是满足条件的解，所以方程的解是{x|x≡6(mod 11)}。

七、总结
本教案介绍了同余及同余方程的定义和性质，解决同余方程的步骤及示例，同时讨论了同余运算与加、减、乘法的性质，以及同余定理与应用。

此外，还介绍了模反元素这一相关概念及其应用。

同余与同余方程作为初中数学中重要的概念，在代数和数论中具有广泛而重要的应用价值。

希望通过本教案的学习能够帮助学生更好地理解和掌握这一知识点，并能灵活应用于解题中。