2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一(创新班)下学期期初考试数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一（创新班）下学期
期初考试数学试题
一、单选题
1．在ABC V 中，7,2,60AC BC B ===o ，则BC 边上的中线AD 的长为( )
A ．1
B ．3
C ．2
D ．7
【答案】D
【解析】由余弦定理可得：2222cos 3AC AB BC AB BC B AB =+-⋅⇒=，在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，即可． 【详解】
由余弦定理可得：22222cos 230AC AB BC AB BC B AB AB =+-⋅⇒--=．
3AB ∴=
在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，
7AD ∴=
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现
ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，
往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面
是（）
A．定B．有C．收D．获
【答案】B
【解析】试题分析：这是一个正方体的平面展开图，其直观图如下：
共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．
故选B．
【考点】展开图与直观图.
3．直线cos320
xα+=的倾斜角的范围是( )
A．
π
[
6
，
π5π
][
26
⋃，π)B．[0，
π5π
][
66
⋃，π)
C．[0，5π
]
6
D．
π
[
6
，
5π
]
6
【答案】B
【解析】求出直线斜率为
3
kα
=，根据cosα的范围即可求得斜率的范围，再
由正切函数的图象即可求出直线倾斜角的范围. 【详解】
直线方程化为斜截式为：
323
y x
α
=，斜率为
3
3
kα
=-，
因为cos [1,1]α∈-，所以斜率33[,]
k ∈-
， 根据正切函数的图象可知直线倾斜角的范围为[0，π5π
][66
⋃，π). 故选：B 【点睛】
本题考查直线的倾斜角，三角函数的图象与性质，属于基础题.
4．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是( ) A ．1//D O 平面11A BC
B ．1D O ⊥平面AM
C C ．异面直线1BC 与AC 所成角为60︒
D ．点B 到平面AMC 的距离为
22
【答案】D
【解析】A 项，通过证明11//OD BO 来证明线面平行；B 项，建立空间直角坐标系，由
10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r 、10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r
推出1OD AM ⊥、1OD CM ⊥，从而证明线面垂直；C 项，利用公式11cos ||||
AC BC AC BC θ⋅=⋅u u u r u u u u r
u u u
r u u u u r 可求得异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值从而求得夹角；D 项，由等体积法求点到平面的距离即可判断. 【详解】
A 项，连接11
B D ，交11A
C 于点1O ，连接B
D ，根据正方体的性质可知，11D O 与BO 平行且相等，所以四边形11BOD O 是平行四边形，即11//OD BO ，又因为1//D O 平面
11A BC ，故A 选项正确；
B 项，设正方体的边长为1，分别以BA ，B
C ，1BB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图：
则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(,,0)22B A C O ，11
(0,0,),(1,1,1)2
M D ，
所以111,,122OD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，11,0,2AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，10,1,2CM ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭u u u u r ，
因为10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r ，10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r
，所以1OD AM ⊥，1OD CM ⊥，
又因为AM CM M ⋂=，且AM ⊂平面AMC ，CM ⊂平面AMC ， 所以1D O ⊥平面AMC ，B 选项正确；
C 项，根据B 项可得1(0,1,1)C ，所以1(0,1,1)BC =u u u u r ，(1,1,0)AC =-u u u r
， 设异面直线1BC 与AC 所成角为θ，则111cos 2
||||AC BC AC BC θ⋅==⋅u u u r u u u u r
u u u
r u u u u r ， 又0,
2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以60θ︒=，C 选项正确； D 项，设正方体的边长为a ，则2
BO a =
，所以由勾股定理可得223
MO OB BM =+=
，根据题意可知MA MC =，O 是AC 的中点，故MO AC ⊥，所以21624
MAC S AC MO a =
⋅=V ，设点B 到平面MAC 的距离为h ，则13B MAC MAC V S h -=⋅V ，又因为1
3
B MA
C M ABC ABC V V S MB --==⋅V ，解得
62
2
ABC MAC S MB h S ⋅=
=≠V V ，D 错误.
故选：D 【点睛】
本题考查直线与平面平行和垂直的判定及异面直线和平面夹角的求解，属于中档题. 5．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－
4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－2，4) B ．(－2，－4)
C ．(2，4)
D ．(2，－4)
【答案】C
【解析】求出A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，可写出BC 所在直线方程，与直线y ＝2x 联立，即可求出C 点坐标. 【详解】
设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则2
214
2422
2y x y x -⎧⨯=-⎪⎪+⎨+-+⎪=⨯⎪⎩，解得42x y =⎧⎨
=-⎩ ∴BC 所在直线方程为y －1＝
21
43
---(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 联立直线y=2x ，解得2
4x y =⎧⎨=⎩
，则C (2，4)．故选C. 【点睛】
本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.
6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m
【答案】A
【解析】如图所示，设水柱CD 的高度为h ．在Rt △ACD 中，由∠DAC=45°，可得AC=h ．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt △BCD 中，∠CBD=30°，可得
．在△ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出． 【详解】 如图所示，
设水柱CD 的高度为h ．
在Rt △ACD 中，∵∠DAC=45°，∴AC=h ． ∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．
又∵B ，A ，C 在同一水平面上，∴△BCD 是以C 为直角顶点的直角三角形， 在Rt △BCD 中，∠CBD=30°，∴
．
在△ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC•ABcos60°．
∴（3h ）2=h 2+1002﹣121002
h ⨯⨯
， 化为h 2+50h ﹣5000=0，解得h=50． 故选A ．
【点睛】
解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 7．已知直线l 方程为(),0f x y =，()111,P x y 和()222,P x y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示（ ） A ．过点1P 且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线
C ．过点2P 且与l 平行的直线
D ．不过点2P ，但与l 平行的直线
【答案】C
【解析】先判断直线与l 平行，再判断直线过点2P ，得到答案. 【详解】
由题意直线l 方程为(),0f x y =，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --= 两条直线平行，
()111,P x y 为直线l 上的点，()11,0f x y =，()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，
化为()()22,,0f x y f x y -=，
显然()222,P x y 满足方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，
所以()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示过点2P 且与l 平行的直线． 故答案选C ．
【点睛】
本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.
8．如图，
2
3
BAC
π
∠=，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，1
AD=
，点P是圆
M及其内部任意一点，且()
AP x AD y AE x y R
=+∈
u u u v u u u v u u u v
、，则x y
+的取值范围是（）A．1,423
⎡⎤
+
⎣⎦
B．423,423
⎡⎤
-+
⎣⎦
C．1,23
⎡⎤
+
⎣⎦
D．23,23
⎡⎤
-+
⎣⎦
【答案】B
【解析】连接AM并延长分别交圆M于Q T
、，连接DE，DE与AM交于R，显然11
22
AR AD AE
u u u r u u u r u u u r
=+，此时1
x y
+=，分别过Q T
、作DE的平行线，由于
1,120
AD AE BAC
==∠=，则2,3
AM DM
==，则23
AQ=-，
1
2
AR=，
23
(423)(23)(23)
2
AQ AR AD AE
u u u r u u u r u u u r u u u r
-
==-=-+-
，此时423
x y
+=-，同理可得：(23)(23)
AT AD AE
u u u r u u u r u u u r
=+++，423
x y
+=+，选B.
【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P在等和线DE上1
x y
+=去求
x y
+的取值范围，由于点P是圆M及其内部任意一点，所以分别过Q T
、作圆的切线，求出两条等和线的x y
+值，就可得出x y
+的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.
二、多选题
9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β.若//αβ，a α⊂，则下列四个结论中正确的是( )
A ．a 与β内所有直线平行
B ．a 与β内的无数条直线平行
C ．a 与β内的任意直线都不垂直
D ．a 与β没有公共点
【答案】BD
【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解。

【详解】
若,,c b c b P ββ⊂⊂⋂=，//b a ，则a 与c 是异面直线，故A 错误；
b β⊂，则β内所有与b 平行的直线皆与a 平行，故B 正确；
若c b ⊥，因为//b a ，所以a c ⊥，故C 错误；
因为//αβ，所以α与β没有公共点，而a α⊂，所以a 与β没有公共点，D 正确. 故选：BD 【点睛】
本题考查命题真假性的判断，两平行平面内的直线的位置关系，充分理解平行平面及性质和异面直线的定义是解题的关键，属于基础题.
10．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A ．若
cos cos cos a b c
A B C
==，则ABC ∆一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC ∆一定是等腰三角形 D ．若2220a b c +->，则ABC ∆一定是锐角三角形 【答案】AC
【解析】利用正弦定理可得tan tan tan ,A B C A B C ====，可判断A ；由正弦定理可得22sin A sin B =，可判断B ；由正弦定理与诱导公式可得
()sin sin ,sin sin B C B A B +==，可判断C ；由余弦定理可得角C 为锐角，角,A B 不
一定是锐角，可判断D . 【详解】
由
cos cos cos a b c A B C ==，利用正弦定理可得sin sin sin cos cos cos A B C
A B C
==，即tan tan tan ,A B C A B C ====，ABC ∆是等边三角形，A 正确；
由正弦定理可得sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =⇒=，22A B =或
22A B π+=，
ABC ∆是等腰或直角三角形，B 不正确；
由正弦定理可得sin cos sin cos sin B C C B B +=，即
()sin sin ,sin sin B C B A B +==，
则,A B ABC =∆等腰三角形，C 正确；
由正弦定理可得222cos 02a b c C ab
+-=>，角C 为锐角，角,A B 不一定是锐角，D 不
正确，故选AC. 【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
11．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)
C ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为
11
2121
y y x x y y x x --=--
D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】AB
【解析】根据直线的方程及性质，逐项分析，A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，2-，所以围成三角形的面积是2正确，
B 中0+121(,)22
+在直线1y x =+上，且(0,2),(1,1)连线的斜率为1-，所以B 正确，C 选项需要条件2121,y y x x ≠≠，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线y x =. 【详解】
A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，2-，所以围成三角形的面积是2正确，
B 中
0+121
(
,)22
+在直线1y x =+上，且(0,2),(1,1)连线的斜率为1-，所以B 正确，C 选项需要条件2121,y y x x ≠≠，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线y x =. 【点睛】
本题主要考查了直线的截距，点关于直线的对称点，直线的两点式方程，属于中档题.
12．设有一组圆224*
:(1)()()k C x y k k k N -+-=∈.下列四个命题正确的是（ ）
A ．存在k ，使圆与x 轴相切
B ．存在一条直线与所有的圆均相交
C ．存在一条直线与所有的圆均不相交
D ．所有的圆均不经过原点 【答案】ABD
【解析】根据圆的方程写出圆心坐标，半径，判断两个圆的位置关系，然后对各选项进行分析检验，从而得到答案. 【详解】
根据题意得圆的圆心为（1，k ），半径为2k ，
选项A,当k=2k ，即k=1时，圆的方程为()()2
2
111x y -+-=，圆与x 轴相切，故正确；
选项B ，直线x=1过圆的圆心（1，k ），x ＝1与所有圆都相交，故正确；
选项C,圆k ：圆心（1，k ），半径为k 2，圆k +1：圆心（1，k +1），半径为（k +1）2， 两圆的圆心距d ＝1，两圆的半径之差R ﹣r ＝2k +1，（R ﹣r ＞d ），∁k 含于C k +1之中， 若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；
选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k 2＝k 4，不存在 k ∈N 使上式成立， 即所有圆不过原点，正确． 故选ABD 【点睛】
本题考查圆的方程，考查两圆的位置关系，会利用反证法进行分析证明，会利用数形结合解决实际问题．
三、填空题
13．直线3450x y -+=关于点(2,3)M -对称的直线的方程为_________.
【答案】34410x y --=
【解析】设所求直线上任一点坐标为(,)P x y ，点P 关于点(2,3)M -对称的点()00,x y ，
根据中点坐标公式00
462x x y y =-⎧⎨=--⎩，点()00,x y 在直线3450x y -+=，可得所求直线
方程，即可求得答案. 【详解】
设所求直线上任一点坐标为(,)P x y ，P 点关于点(2,3)M -对称的点为()00,x y
根据坐标中点公式可得：00
22
32x x y y +⎧
=⎪⎪⎨
+⎪-=⎪⎩
解得：0046x x
y y
=-⎧⎨
=--⎩——① Q 点()00,x y 在直线3450x y -+=
∴003450x y -+=——②
将①代入②可得：3(4)4(6)50x y ----+= 整理可得：34410x y --=. 故答案为：34410x y --=. 【点睛】
本题主要考查直线关于点对称的直线方程，设出所求直线上任一点的坐标，求出其关于定点对称的点的坐标，代入已知直线即可求出结果，属于基础题型.
14．已知圆221:9C x y +=，圆22
2:4C x y +=,定点(1,0)M ,动点A ，B 分别在圆2
C 和圆1C 上，满足90AMB ︒∠=,则线段AB 的取值范围_______.
【答案】[231,31]
【解析】因为90AMB ︒∠=，可得MA MB ⊥u u u r u u u r ，根据向量和可得AB MA MB =+u u u r u u u r u u u r
，即
2222
||||||2||MA MB MA MB MA MB AB +=++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上
点设()11,A x y ，()22,B x y ，求得()2
1212||132AB x x y y -+=，由MA MB ⊥u u u r u u u r
，可得
1212121x x y y x x +=+-，即可得到()212||152AB x x =-+，设AB 中点为()00,N x y ，
求得0x 的取值范围，即可求得答案. 【详解】
Q 90AMB ︒∠=
MA MB ∴⊥u u u r u u u r
，
2222
||||||2||MA MB MA MB MA MB AB ∴+=++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， Q A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上点
设()11,A x y ，()22,B x y ，
∴221122
2294
x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 则()()()2
2
221211212||132AB x x y y x x y y =-+-=-+， 由MA MB ⊥u u u r u u u r
，
可()()11221,1,0x y x y -⋅-=， 即()()1212110x x y y --+=， 整理可得：1212121x x y y x x +=+-，
()()21212||1321152AB x x x x ∴=-+-=-+，
设AB 中点为()00,N x y ，则2
0||154AB x =-，
∴0120
1222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，
()
()()2200121212041321321114x y x x y y x x x ∴+=++=++-=+
即2
200132x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭，
点()00,N x y 的轨迹是以1
,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
0x ∴
的取值范围是1122⎡+⎢
⎣，
20||154AB x ∴=-
的范围为13⎡-+⎣，
故：||AB
的范围为1,1]
故答案为：1,1]． 【点睛】
本题主要考查了求同心圆上两点间距离的范围问题，解题关键是掌握向量加法原理和将两点间距离问题转化为中点轨迹问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 若(
)2cos cos cos A b C c B a +==，ABC ∆
的面积为， 则A =_______ ，b c +=_______． 【答案】
3
π
7 【解析】()1由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2cos sin sin A A A =，从而求得
1
cos 2
A =
，结合范围()0A π∈，，即可得到答案 ()2运用余弦定理和三角形面积公式，结合完全平方公式，即可得到答案
【详解】
()1由已知及正弦定理可得
()2cos sin cos sin cos sin A B C C B A +=，可得：()2cos sin sin A B C A +=
解得2cos sin sin A A A =，即1cos 2
A =
()0A Q ，π∈，
3
A π
∴=
()2由面积公式可得：133
3sin 2bc A bc =
=，即12bc = 由余弦定理可得：22132cos b c bc A =+- 即有()()2
2
13336b c bc b c =+-=+- 解得7b c += 【点睛】
本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，1），B （1，－1），点P 为圆（x －4）2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则1
2
S S 的最小值是________． 【答案】23-
【解析】设∠AOP ＝α，利用面积公式得2
1
tan S S α=，求出α的最小值即可. 【详解】
设∠AOP ＝α，易知OA ＝2，OB ＝2，∠AOB ＝
2π，则∠BOP ＝2
π
α-，112sin 2S OP α=⨯⨯⨯，112
2sin()cos 222S OP OP παα=⨯⨯⨯-=，
故2
1
tan S S α=，
直线:,:OA y x OB y x ==-，圆（x －4）2＋y 2＝4圆心(4,0)C 到两条直线的距离均为
=
由图易知，圆在AOB ∠内部， 设:OP y kx =
2≤，即231k ≤，
解得[k ∈，所以POC ∠最大为6π，即直线OP 与圆相切时，当切点在第一象限的点的时候，4612πππ
α=-=，2
1
tan S S α=
取得最小值2.
故答案为：2 【点睛】
此题考查三角形面积公式的应用，结合直线与圆的位置关系解决问题.
四、解答题
17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23
B π
=
，c = （1）求角C ；
（2）若点E 满足2AE EC =u u u v u u u v
，求BE 的长.
【答案】（1）6
C π
=
；（2）1BE =
【解析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.
（2）解法一：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC V 中把边和角都解出来，然后在BCE V 中利用余弦定理求解；解法三：
将BE u u u r 用,BA BC u u u r u u u r 表示，平方后求出BE u u u r
的模长.
【详解】
（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=， 所以2sin sin sin B C B =.
由于sin 0B =
≠，则1sin 2C =.
又因为03
C π
<<，
所以6
C π
=
.
【解法二】
由题设及余弦定理可得222222
2sin 22a b c b c a b C a c
ab bc
+-+-=+， 化简得2sin b C b =. 因为0b >，所以1
sin 2
C =. 又因为03
C π
<<，
所以6
C π
=
.
【解法三】
由题设2sin cos cos b C a C c A =+， 结合射影定理cos cos b a C c A =+， 化简可得2sin b C b =. 因为0b >.所以1sin 2
C =. 又因为03
C π
<<，
所以6
C π
=
.
（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C
==3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v ，所以22
33
AE AC b ==，即2AE =.
在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6
A π
=，
所以在ABE ∆中，6
A π
=
，AB =2AE =
由余弦定理得1BE ===， 所以1BE =. 【解法2】
在ABC ∆中，因为23B π=
，6C π=，所以6
A π
=，a c ==
由余弦定理得()()
2
2
2
3
3
233cos 33
b π=
+-⨯⨯⨯=.
因为
2AE EC =u u u v u u u v
，所以1
13
EC AC ==. 在BCE ∆中，6
C π
=
，3BC =
，1CE =
由余弦定理得2232cos
3123116
2
BE BC EC BC EC π
=+-⋅=+-⨯⨯⨯
= 所以1BE =. 【解法3】
在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π
=，3a c ==. 因为2AE EC =u u u v u u u v
，所以1233
BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v .
则
()
()
22221111||2|44|3433431
9992BE BA BC BA BA BC BC ⎛⎫
=+=+⋅+=-⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
所以1BE =. 【点睛】
本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题. 18．如图，在直三棱柱中，点
分别为线段
的中点.
（1）求证：平面； （2）若在边
上，
，求证：
.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）由题意，利用三角形中位线定理可证MN ∥BC ，即可判定MN ∥平面
；（2）利用线面垂直的性质可证CC 1⊥AD ，结合已知可证AD ⊥平面
，
从而证明AD ⊥BC ，结合（1）知，MN ∥BC ，即可证明MN ⊥AD
试题解析：（1）如图，连结A 1C ．]
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 与AC 1相交于点N ，
即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分 因为M 为线段A 1B 的中点，
所以MN ∥BC ． ……………… 4分 又MNË平面BB 1C 1C ，BCÌ平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C ． ………………… 6分
（2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ． 又ADÌ平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． …………………… 8分
因为AD ⊥DC 1，DC 1Ì平面BB 1C 1C ，CC 1Ì平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1， 所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分
又BCÌ平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………………… 12分
又由（1）知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………………… 14分 【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 19．已知直线()():20++++-=l a b x a b y a b 及点()3,4P ．
()1证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． ()2当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．
【答案】（1）证明见解析,定点坐标为()2,3-（2）570x y ++=
【解析】()1直线l 方程化成()()2110a x y b x y ++++-=，再联解关于x 、y 的方
程组21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩
，即可得到直线l 经过的定点坐标；
()2设直线l 经过的定点为A ，由平面几何知识，得到当PA l ⊥时，点P 到直线l 的距
离最大.因此算出直线PA 的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线l 的斜率，即可求出此时直线l 的方程． 【详解】
() 1直线l 方程可化为：()()2110a x y b x y ++++-=
由210
10
x y x y ++=⎧⎨
+-=⎩，解得2x =-且3y =，
∴直线恒l 过定点A ，其坐标为()2,3-．
()2Q 直线恒l 过定点()2,3A -
∴当点P 在直线l 上的射影点恰好是A 时，
即PA l ⊥时，点P 到直线l 的距离最大
PA Q 的斜率431
325PA k -==+ ∴直线l 的斜率1
5PA
k k -=
=- 由此可得点P 到直线l 的距离最大时，
直线l 的方程为()352y x -=-+，即570x y ++=． 【点睛】
本题主要考查直线过定点的问题，以及求直线外一点P 到直线的距离最大时直线的方程；熟记两直线交点的求法、点到直线的距离公式，以及直线的一般式方程即可，属于基础题．
20．树林的边界是直线l （如图CD 所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l 的垂线AC 上的点A 点和B 点处，AB BC a ==（a 为正常数），若兔子沿AD 方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM （M CD ∈）方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M 处的时间不多于兔子到达M 处的时间，狼就会吃掉兔子.
（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积()S a ； （2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ（DAC θ=∠的取值范围）.
【答案】（1）2
49
a π（2）,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
【解析】（1）建立直角坐标系，设(0,2),(0,)A a B a ，(,)M x y ，由
2BM
AM
μ
μ
≤
求得2
22
2439a a x y ⎛⎫+-≤ ⎪⎝
⎭，由此求得圆的面积()s a 的值；（2）设:2(0)AD l y kx a k =+≠，由题意可得直线AD 与（1）所得圆是相离的，则根据直线与圆的位置关系列出不等式即可求得斜率k 的取值范围，从而求得θ的范围. 【详解】
（1）建立如图所示直角坐标系，设(0,2),(0,)A a B a ，(,)M x y ，
由2BM
AM μμ≤，得2222439a a x y ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭
，所以M 在以20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为23a 的圆及内部，所以2
4()9
a s a π=；
（2）设:2(0)AD l y kx a k =+≠
2(3a k >⇒∈⋃， 可得03ADC π<∠<，所以,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭. 【点睛】 本题考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率的关系，属于中档题.
21．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:64O x y +=，以1(9,0)O 为圆心的圆记为圆1O ，已知圆1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21.
（1）求圆1O 的标准方程；
（2）求过点(5,5)M 且与圆1O 相切的直线的方程；
（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆1O 都相交，记直线l 被圆O ，圆1O 截得的弦长分别为d ，1d .若1
2d d =，求证：直线l 过定点. 【答案】（1）22(9)16x y -+=；（2）949408
y x =-+或5x =；（3）证明见解析. 【解析】（1）因为22:64O x y +=，可得圆(0,0)O 为圆心，半径为8，设1(9,0)O 为圆心的圆记为圆1O ，设1O 半径为R ，由圆1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21，可得8921R ++=，即可求得圆1O 方程，即可求得答案；
（2）分别讨论切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况，当切线的斜率存在时，设直线方程为5(5)y k x -=-，设直线到圆的距离为d
，由直线和圆相切，可得4d ==，求得k ,即可求得答案；
（3）设直线l 的方程为y kx m =+，求得圆心O ，圆心1O 到直线l
的距离分别为h =
，1h =
根据几何关系可得：d =
，1d =结合1
2d d =，即可求得k 和m 关系式，即可求得l 方程，进而求得直线l 过定点. 【详解】
（1）Q 22:64O x y +=
∴圆(0,0)O 为圆心，半径为8
设1(9,0)O 为圆心的圆记为圆1O ，设1O 半径为R
由圆1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21.
可得8921R ++=
解得4R =
∴圆1O 的标准方程为22(9)16x y -+=.
（2）①当切线的斜率不存在时，直线方程为5x =符合题意；
②当切线的斜率存在时，
设直线方程为5(5)y k x -=-，
即(55)0kx y k -+-=，
Q 直线和圆相切，
设直线到圆的距离为d
∴4d ==， 解得940k =-，从而切线方程为949408
y x =-+. 故切线方程为949408y x =-+或5x = （3）设直线l 的方程为y kx m =+，
则圆心O ，圆心1O 到直线l
的距离分别为h =
，1h =
几何关系可得：d =
1d =
∴d =
1d =. 由12d d =，得2
222212
6414(9)161m d k k m d k -+==+-+， 整理得22
4(9)m k m =+，故2(9)m k m =±+，
即180k m +=或60k m +=， ∴直线l 为18y kx k =-或6y kx k =-，
∴直线l 过点定点(18,0)或直线l 过定点(6,0).
【点睛】
本题主要考查了求圆标准方程和求圆的切线方程，及其求直线过定点问题，解题关键是掌握圆的基础知识和求圆的切线方程的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆O ：224x y +=与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点,A B .
（1）若直线l 与y 轴交于D ，且16DP DQ ⋅=u u u r u u u r ，求直线l 的方程；
（2）设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，求12k k +的值；
（3）设AB 的中点为M ，点4,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若133
MN =，求QAB ∆的面积. 【答案】（1）320x y --=（2）-1（3）
125 【解析】（1）可设点()0,D m ，表示出,DP DQ u u u r u u u r ，可求出参数2m =-或6，结合题意可舍去6m =，再由,D P 两点已知求出直线l 的方程；
（2）可设()()1122,,,A x y B x y ，设直线方程为()24y k x =-+，联立直线和圆的方程求出关于x 的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出,QA QB k k ，结合前式即可求解；
（3）设()00,M x y ，由13MN =建立方程，化简可得22000640x y x ++-=，由（2）可得()()()
1202
002222122241k k x x x k k y k x k -⎧+==⎪⎪+⎨--⎪=-+=⎪+⎩
，联立求解得3k =，再结合圆的几何性
质和点到直线距离公式及三角形面积公式即可求解；
【详解】
（1）设()0,D m ，求出()2,0Q ，()()2,4,2,DP m DQ m =-=-u u u r u u u r ，
则244162DP DQ m m m ⋅=+-=⇒=-u u u r u u u r 或6，结合直线圆的位置关系可知，2m =-一定满足，()0,2D -，()2,4P 此时直线l 的方程为：320x y --=；
当6m =时，()0,6D ，()2,4P ，直线l 的方程为：60x y +-=
，圆心到直线距离2d ==>（舍去）； （2）设直线l 的方程为：()24y k x =-+，联立()22424y k x y x ⎧=-++=⎨⎩
可得：()()()2
221422440k x k k x k +--+--=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()12221224212441k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨--⎪⋅=⎪+⎩
，① 1212,22
QA QB y y k k x x ==--， 则()()1212121221212424442222222
k y k k x k x y k x x x x x x -+-+=+=+=++----+--，② 将①代入②化简可得()124842221116k k k k k k +=-
--+==-， 即121k k +=-；
（3）设点()00,M x y ，由点4,03N ⎛⎫
⎪⎝⎭
，3MN =， 可得()2222000041339x y x y ⎛⎫-+=+ ⎪⎝
⎭，化简得22000640x y x ++-=，③ 又()()()
1202
002222122241k k x x x k k y k x k -⎧+==⎪⎪+⎨--⎪=-+=⎪+⎩
，④
④式代入③式解得3k =或13k =
，由圆心到直线的距离423d k =<⇒>，
故3k =，此时31,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，圆心到直线距离224101
k d k -+==+， 则210610245AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，直线方程为：320x y --=，()2,0Q ，Q 到直线的距离210h =，则1161021012225QAB S AB h ∆=⋅=⨯⨯=
【点睛】
本题考查圆中，由向量关系反求直线方程，由韦达定理求解圆锥曲线中的定值问题，由弦的中点问题求三角形面积，圆的几何性质，点到直线距离公式等，计算能力，综合性强，属于难题。