课件14：2.3 数学归纳法

所以左边为1＋2＋3.故应选C．
2．用数学归纳法证明11·2＋21·3＋31·4＋…＋n(n1＋1)
＝n＋n 1(n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要
增添的项是 ( D )
A．k(k＋1 1)
B．k(k＋1 1)＋(k＋1)1(k＋2)
C．k(k＋1 2)
D．(k＋1)1(k＋2)
3．已知数列{an}满足 Sn＋an＝2n＋1. (1)写出 a1、a2、a3，并推测 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.

(1)解：将 n＝1、2、3 代入 Sn＋an＝2n＋1 中得， a1＝32＝2－12，a2＝74＝2－14，a3＝185＝2－18， 猜想 an＝2－21n. (2)证明：①由(1)知当 n＝1 时，命题成立； ②假设 n＝k 时，命题成立，即 ak＝2－21k，
命题方向2 ⇨用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12<2－1n (n≥2). 证明：1°当 n＝2 时，1＋212＝54<2－21＝23，命题成立． 2°假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12<2－1k 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋(k＋11)2<
【解析】 当 n＝k 时，等式左边＝11·2＋21·3＋…＋k(k＋1 1) 当 n＝k＋1 时，等式左边＝11·2＋21·3＋…＋k(k＋1 1) ＋(k＋1)1(k＋2)，两者比较需添加的项为(k＋1)1(k＋2). 故应选 D．
3．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1>16247
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1 整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋ 1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－ a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
2.3 数学归纳法
情境导入 从前有一位画家，为了测试他的三个徒
弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来， 让他们用最少的笔墨，画出最多的马．第一 个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第 二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；
第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走 出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马．三张画 稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思 巧妙，笔墨经济，以少胜多！
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这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马 呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？
预习自测
1．用数学归纳法证明 1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)
时，在验证 n＝1 成立时，左边所得的代数式是 ( C )
A．1
B．1＋3
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
【解析】 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，
∵x＋y 能整除(x2k－1＋y2k－1)，又 x＋y 能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除 x2k＋1＋y2k＋1.由(1)、(2)可知当 n 为正奇数时， xn＋yn 能被 x＋y 整除．
学科核心素养 归纳——猜想——证明
由已知条件首先计算数列{an}的前几项的值，根据前 几项的特点，猜想出数列{an}的通项公式或递推公式，利 用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．
解：(1)由 an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n， 将 a1＝2 代入，得 a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4； 将 a2＝λ2＋4 代入，得 a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8； 将 a3＝2λ3＋8 代入，得 a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16. (2)由a2，a3，a4，对{an}的通项公式作出猜想： an＝(n－1)λn＋2n. 证明如下：
由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时 命题也成立．
由(1)、(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．
跟踪练习 3 求证：当 n 为正奇数时，xn＋yn 能被 x＋y 整除． 证明：(1)显然，当 n＝1 时，命题成立，即 x1＋y1 能被 x＋y 整除． (2)假设当 n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除 x2k－1＋y2k－1，则当 n＝2k＋1 时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋ x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1，
(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(*) 由(1)知 S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.由(*)可得 S3＝43. 由此猜想 Sn＝n＋n 1，n＝1,2,3，…. 下面用数学归纳法证明这个结论．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1×13＝13，右边＝2×11＋1＝13， 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设 n＝k(k≥1)时等式成立，即有 1×13＋3×15＋…＋(2k－1)1(2k＋1)＝2k＋k 1， 则当 n＝k＋1 时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3
①n＝1 时已知结论成立． ②假设 n＝k 时结论成立，即 Sk＝k＋k 1， 当 n＝k＋1 时，由(*)得 Sk＋1＝2－1 Sk，即 Sk＋1＝kk＋ ＋12. 故 n＝k＋1 时结论也成立． 由①②可知 Sn＝n＋n 1对所有正整数 n 都成立．
跟踪练习 4 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)， 其中 λ>0. (1)求 a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
2－1k＋(k＋11)2<2－1k＋k(k＋1 1)＝2－1k＋1k－k＋1 1 ＝2－k＋1 1命题成立． 由 1°、2°知原不等式在 n≥2 时均成立．
跟踪练习 2
求证：1＋n2≤1＋21＋31＋…＋21n≤12＋n(n∈N*)． 证明：设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋21n. 1°当 n＝1 时，f(1)＝1＋12，原不等式成立． 2°设 n＝k(k∈N*)时，原不等式成立．
【解析】自变量的取值依次为 2,4＝22,8＝23,16＝24,32＝25， …，故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，…， 故右边为n＋2 2，即 f(2n)>n＋2 2.
命题方向1 ⇨数学归纳法的基本原理及用数学归纳法 证明恒等式
例 1 证明：1×1 3＋3×1 5＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1. (n∈N*)
＋
＝12＋(k＋1)，
∴n＝k＋1 时，命题成立．
综合 1°、2°可得：原命题对 n∈N*恒成立．
命题方向3 ⇨用数学归纳法证明整除问题
例 3 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1 能被 a2＋a＋1 整除，n∈N*， a∈R.
证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命 题显然成立．
例 4 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且方程 x2－anx－an＝0 有一根为 Sn－1(n＝1,2,3，…). (1)求 a1，a2； (2)求{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
解：(1)当 n＝1 时，x2－a1x－a1＝0， 有一根 S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得 a1＝12. 当 n＝2 时，x2－a2x－a2＝0，有一根 S2－1＝a2－12， 于是(a2－12)2－a2(a2－21)－a2＝0，解得 a2＝16.
课堂检测 1．某命题与自然数有关，如果当 n＝k(k∈N＋)时该命题成立， 则可推得 n＝k＋1 时该命题也成立，现已知当 n＝5 时该命题 不成立，则可推得 ( C ) A．当 n＝6 时，该命题不成立 B．当 n＝6 时，该命题成立 C．当 n＝4 时，该命题不成立 D．当 n＝4 时，该命题成立
则当 n＝k＋1 时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1， 且 a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak， ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3， ∴2ak＋1＝4－21k，∴ak＋1＝2－2k1＋1， 即当 n＝k＋1 时，命题成立． 根据①②得 n∈N*，an＝2－21n都成立．
即 1＋2k≤1＋21＋31＋…＋21k≤21＋k 成立，
当 n＝k＋1 时， f(k＋1)＝f(k)＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1 ≥1＋2k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1
>1＋2k＋
＝1＋2k＋21＝1＋k＋2 1.
f(k＋1)＝f(k)＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1 ≤12＋k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1<12＋k
跟踪练习 1
用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(n∈N*，
a≠1)，在验证 n＝1 时，左边所得的项为( C )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
【解析】由数学归纳法步骤可知，验证 n＝1 成立时， 左边所得项为 1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故选 C．
成立时，起始值 n 至少应取为 ( B )
A．7
B．8
C．9
D．10
【解析】
∵1＋12＋14＋…＋271－1＝11－－12127＝2－216
＝272－6 1＝16247
而 1＋12＋14＋…＋281－1>16247，故应选 B．
4．已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得 f(2)＝32， 有f(_4_)f>_(_22_，n)_>_fn(_8＋_2)>_2_52_，. f(16)>3，f(32)>72，由此推测，当 n>2 时，
＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝2kk＋2k1＋32k＋＋13 ＝22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2k＋k＋11＋1. 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)、(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
规律总结 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值 n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设 建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
【解析】 若 n＝4 时，该命题成立，由条件可推得 n＝5 命题成立．它的逆否命题为：若 n＝5 不成立，则 n＝4 时 该命题也不成立．
2．用数学归纳法证明 34n＋2＋52n＋1 能被 14 整除的过程中， 当 n＝k＋1 时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1 应变形为______.
【解析】当 n＝k＋1 时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1 ＝81·34k＋2＋25·52k＋1 ＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2. 【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
①当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时,ak＝(k－1)λk＋2k，则当n＝k＋1时， ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k ＝(k－1)λk＋1＋λ2k＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝kλk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.
由此可知，当n＝k＋1时，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1 也成立．由①②可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N*都 成立．