高一数学(人教A版)必修4课件：1-3-2 诱导公式五、六

温故知新 1．诱导公式二、三、四的记忆为：函数名 不变，符号 看 象限 ．
第一章 1.3 1.3.2
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2．cos(－420°)的值等于( )
3 A. 2
B．－
3 2
1 C.2
D．－12
[答案] C
[解析] cos(－420°)＝cos420°＝cos(360°＋60°)＝cos60°＝12.
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人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1
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第一章
三角函数
2
第一章 三角函数
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第一章
1．3 三角函数的诱导公式
3
第一章 三角函数
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新课引入
第一章 1.3 1.3.2
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留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山的巍 峨、水的柔媚在那一刻融合……如果你的手中拿着一个度数 为α的角的模型，你观察一下湖中的这个角的模型与你手中的 这个角的模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对 称！
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若
sin(3π
＋
θ)
＝
1 4
求
cosπ＋θ cosθ[cosπ＋θ－1]
＋
cosθ＋2πccoossθθ－＋2ππ＋cos－θ的值．
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已知sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°为定值，这是因
为1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，则cos
π 2k＋1
＋cos
2π 2k＋1
＋…＋cos
2k－1 2k＋1
π＋cos
2k 2k＋1
π(k∈Z)是否可以为定值？如果
是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
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[证明] 左边
＝
tan2π－αcos32π－αcos6π－α sinα＋32πcosα＋32π
＝
tan－α－sinαcosα －cosαsinα
＝－tacnoαsαsisninααcosα＝－tanα＝右边，
[分析]
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[证明] 左边＝－2sin321π－－2θs·in－2θsinθ－1 ＝2sin[π＋1－π2－ 2siθn2]θsinθ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1 ＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ
[小结]诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象 限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名 三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦．“符号看象限”是 把α看成锐角时原三角函数值的符号．
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已知sin25.7°＝m，则cos64.3°等于( )
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命题方向 2 三角恒等式的证明 求证：2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θ2π－1＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11.
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∴β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－4π时，代入②得cosβ＝ 23，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝4π，β＝π6满足条件．
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∴原等式成立．
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探索延拓创新 命题方向 3 存在性、探索性问题
是否存在 α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 sin(3π －α)＝ 2cos2π－β， 3cos(－α)＝－ 2cos(π＋β)同时成立？若 存在，求出 α、 β 的值；若不存在，说明理由．
第一章
1．3.2 诱导公式五、六
4
第一章 三角函数
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课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
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课前自主预习
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第一章 1.3 1.3.2
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＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2 ＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ. 右边＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11＝ttaannθθ－＋11＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ. ∴左边＝右边，故原式得证．
A．m
B．－m
C．m2
D. 1－m2
[答案] A
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已知cos10°＝a，则sin100°＝________. [答案] a
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课堂典例讲练
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思路方法技巧
命题方向 1 利用诱导公式进行化简、求值 已知 α 是第三象限角，f(α)＝
sinπ－αcocoss2－π－α－αtπan－α＋32π. (1)若 cosα－32π＝15，求 f(α)的值； (2)若 α＝－1860°，求 f(α)的值． [分析] 若 f(α)的表达式很繁琐，可先化简再代入求值．
第一章 1.3 1.3.2
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公式五和公式六可以概括为：
π 2
±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函
数值，前面加上一个把α看成 锐角 时原函数值的符
号，公式一～六都叫做诱导公式
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3 2.
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5．化简cos－siαn·πta＋nα7π＋α等于________． [答案] －1 [解析] 原式＝cosα－tasninπα＋α＝co－sαs·itnaαnα＝－1.
第一章 1.3 1.3.2
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[解析]
f(α)＝sinα·cosco－sαα＋·csoiπns3322ππ－－αα
－cosα ＝sinα·c－oscαo·s－α sinα＝－cosα.
第一章 1.3 1.3.2
[解析] 由条件得，sin3αco＝sα＝2sin2βcosβ ②
①
①2＋②2得，sin2α＋3cos2α＝2③
又∵sin2α＋cos2α＝1④
由③，④得sin2α＝12即sinα＝± 22，
∵α∈－2π，π2，∴α＝π4或α＝－π4.
当α＝4π时，代入②得cosβ＝ 23，又β∈(0，π)，
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3．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( )
A．1
B．2
C．0
D．2sin2α
[答案] B
[解析] 原式＝sin2α＋cosα·cosα＋1＝1＋1＝2.
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(1)∵cos(α－32π)＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，
∵α为第三象限角，∴cosα＝－2 5 6，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴f(α)＝－cosα＝2
5
6 .
(2)∵－1860°＝－5×360°－60°，
∴f(－1860°)＝－cos(－5×360°－60°)＝－12.
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规律总结：利用诱导公式证明等式问题，主要思路在于 如何配角、如何去分析角之间的关系．
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求证：tan2πs－inαα＋co3s2π32πco－sαα＋co3s2π6π－α＝－tanα. [分析] 解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行 化简推出右边．
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[分析] 题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用 平方关系消去 α(或 β)解方程可求出角 α 与 β 的一个三角函数值 和其范围，进一步求出角．
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[拓展]记忆六组诱导公式，这六组诱导公式也可以统一用
口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即 k·2π±α(k∈Z)的三
角函数值，当 k 为偶数时，得 α 的同名三角函数值；当 k 为奇
数时，得 α 的余名三角函数值，然后前面加上一个把 α 看成锐
角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇
[解析] ∵sin(3π＋θ)＝14，∴sinθ＝－14. ∴cosθ[ccoossππ＋＋θθ－1]＋cosθ＋2πccoossθθ－＋2ππ＋cos－θ ＝cosθ[－－ccoossθθ－1]＋cosθ－ccoossθθ＋cosθ ＝cosθccoossθθ＋1－cosθccoossθθ－1 ＝cosθ1＋1－cosθ1－1＝cos－2θ2－1 ＝sin22θ＝－2142＝32.
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4．已知sin(π＋α)＝－12，则cosα等于________．
[答案]
3 ±2
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[解析] 由sin(π＋α)＝－12得sinα＝12，
∴α是第一或第二象限角．∴cosα＝±
角α关于水平面对称的角的度数是多少？这两个角的三角 函数值有什么关系呢？
第一章 1.3 1.3.2
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自主预习 认真阅读教材P26－27回答下列问题． 诱导公式五、六如下表：
公式五 sin(π2－α)＝ cosα cos(π2－α)＝ sinα 公式六 sin(π2＋α)＝ cosα cos(π2＋α)＝ －sinα
偶性．如 sin(112π＋α)中的 k＝11 是奇数，且把 α 看成锐角时，
11π 2
＋α
是第四象限角，第四象限角的正弦值是负数，所以
sin(112π＋α)＝－cosα.
第一章 1.3 1.3.2
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利用诱导公式化简下列各式 (1)sin(3π－α)＝________； (2)sin(52π＋α)＝________； (3)cos(72π＋α)＝________； (4)tan(α－11π)＝________. [答案] (1)sinα；(2)cosα；(3)sinα；(4)tanα