备战2023年上海中考数学真题(5年)与一二模题(1年)分类汇编几何中档题含详解

专题05 几何中档题
1．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF BE =，2AE AQ AB =⋅． 求证：（1）CAE BAF ∠=∠； （2）CF FQ AF BQ ⋅=⋅．
2．（2021•上海）如图，在圆O 中，弦AB 等于弦CD ，且相交于点P ，其中E 、F 为AB 、CD 中点．
（1）证明：OP EF ⊥；
（2）连接AF 、AC 、CE ，若//AF OP ，证明：四边形AFEC 为矩形．
3．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．
（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；
（2）如果2BE AB AE =⋅，求证：AG DF =．
4．（2019•上海）已知：如图，AB 、AC 是O 的两条弦，且AB AC =，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交O 于点E ，联结CD 并延长交O 于点F ． （1）求证：BD CD =；
（2）如果2
AB AO AD
=，求证：四边形ABDC是菱形．
5．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE AP
⊥，DF AP
⊥，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF AE BE
=-；
（2）连接BF，如果AF DF
BF AD
=．求证：EF EP
=．
6．（2022•静安区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且BM MN ND
==，联结CM、CN．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）如果AE AF
=，求证：四边形ABCD是菱形．
7．（2022•闵行区二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG BC
⊥，交BC的延长线于点G．
（1）求证：BE FG
=；
（2）如果AB DM EC AE
⋅=⋅，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．
8．（2022•闵行区二模）直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对． 如图，在ABC ∆中，AB AC =，顶角A 的正对记作preA ，这时BC
preA AB
==
底边腰． 仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题： （1）60pre ︒的值为 ． （A ）
1
2
； （B ）1；
（C ； （D ）2．
（2）对于0180A ︒<<︒，A ∠的正对值preA 的取值范围是 ． （3）如果8
sin 17
A =
，其中A ∠为锐角，试求preA 的值．
9．（2022•黄浦区二模）如图，已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，AB AC =，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，E 、F 分别是OM 、ON 上的点． （1）求证：AOM AON ∠=∠；
（2）如果//AE ON ，//AF OM ，求证：21
2
OE OM AO ⋅=
．
10．（2022•长宁区二模）已知：如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，G 是线段AD 上一点，且2AG GD =，联结BG 并延长，交边AC 于点E ． （1）求证：
2AE BD
CE BC
=
； （2）如果D 是边BC 的中点，P 是边BC 延长线上一点，且CP BC =，延长线段BE ，交线段AP 于点F ，联结CF 、CG ，求证：四边形AGCF 是平行四边形．
11．（2022•金山区二模）如图，已知：ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，其中点D 在边BC 上，点F 是AB 边上一点，且BF CD =． （1）求证：//DE CF ；
（2）联结DF ，设AD 、CF 的交点为M ，如果2DF FM FC =⋅，求证：//DF AC ．
12．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边AB 、AC 、BC 上，//DF AC ，2BD AD =，2AE EC =．
（1）如果2AB AC =，求证：四边形ADFE 是菱形；
（2）如果AB ，且1BC =，联结DE ，求DE 的长．
13．（2022•徐汇区二模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 上任意一点（点E 与点C 、D 不重合），过点A 作AF AE ⊥，交边CB 的延长线于点F ，联结EF 交边AB 于点G ，连接AC ．
（1）求证：AEF DAC ∆∆∽；
（2）如果FE 平分AFB ∠，联结CG ，求证：四边形AGCE 为菱形．
14．（2022•崇明区二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作//CF AD 交线段AE 于点F ，连接BF ． （1）求证：ABF EAD ∆≅∆；
（2）如果2BE AB EF =⋅，求证：ECF BAE ∠=∠．
15．（2022•杨浦区二模）已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点O ，点
E 、
F 分别是线段OC 、OD 的中点，联结AF 、BE ．
（1）求证：四边形ABEF 是等腰梯形；
（2）过点O 作OM AB ⊥，垂足为点M ，联结ME ，如果OME BAC ∠=∠，求证：四边形
AMEF 是菱形．
16．（2022•松江区二模）已知：如图，两个DAB ∆和EBC ∆中，DA DB =，EB EC =，ADB BEC ∠=∠，且点A 、B 、C 在一条直线上，联结AE 、ED ，AE 与BD 交于点F ．
（1）求证：
DF AB
BF BC
=
； （2）如果2BE BF BD =⋅，求证：DF BE =．
17．（2022•嘉定区二模）如图，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，AC AD =，点E 在边BC 上，AB AE =，BAE CAD ∠=∠，联结DE ． （1）求证：BC DE =；
（2）当AC BC =时，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
18．（2022•奉贤区二模）已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 的延长线上，DE DC =，联结BE ，分别交边DC 、对角线AC 于点F 、G ，AD FD =． （1）求证：AC BE ⊥； （2）求证：
CF AC
DF BE
=
．
19．（2022•虹口区二模）已知：如图，AB 、AC 是O 的两条弦，AB AC =，点M 、N 分别在弦AB 、AC 上，且AM CN =，AM AN <，联结OM 、ON ． （1）求证：OM ON =；
（2）当BAC ∠为锐角时，如果2AO AM AC =⋅，求证：四边形AMON 为等腰梯形．
20．（2022•普陀区二模）已知：如图，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，点F 在边AD 上，CF 交BD 于点G ，//CF AE ，1
2
CF BD =． （1）求证：四边形AECF 为菱形；
（2）如果DCG DEC ∠=∠，求证：2AE AD DC =⋅．
21．（2022•浦东新区二模）如图，已知正方形ABCD ，以AB 为边在正方形外作等边ABE ∆，过点E 作EF AB ⊥与边AB 、CD 分别交于点F 、点G ，点O 在线段EG 上，且DO CD =． （1）求证：//AE DO ；
（2）联结AO 、DE ，DE 分别交AO 、AB 于点M 、Q ，求证：
EQ EF
AD DM
=
．
22．（2022•杨浦区三模）已知：如图，在ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，B A
∠>∠，点D、E分别是边AB、AC的中点，//
CF AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）联结BE，如果BE CD
⊥，求证：AB=．
23．（2022•徐汇区模拟）如图，四边形ABCE中，90
BAC
∠=︒，AB AC
=，BF CE
⊥于点F，点D为BF上一点，且BAD CAE
∠=∠．
（1）求证：AD AE
=；
（2）设BF交AC于点G，若22
BC BD BG
=⋅，判断四边形ADFE的形状，并证明．
24．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知等边ABC
∆中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD BF
=，以AD为边向左作等边ADE
∆，联结CF、EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）当45
DEF
∠=︒时，求BD
CD
的值．
25．（2022•宝山区模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点
F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且DEF ADC ∠=∠．
（1）求证：
EF AB
BF DB
=
； （2）如果2
2BD AD DF =，求证：平行四边形ABCD 是矩形．
26．（2022•徐汇区校级模拟）如图，已知O 经过菱形ABCD 的顶点A ，C ，且与CD 相切，直径CF 交AB 于点E ． （1）求证：AD 与O 相切； （2）若
34DC CF =，求
AE
CE
的值．
27．（2022•普陀区模拟）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90BCD ∠=︒，BC DC =，点E 在对角线BD 上，作90ECF ∠=︒，连接DF ，且满足CF EC =． （1）求证：BD DF ⊥．
（2）当2BC DE DB =时，试判断四边形DECF 的形状，并说明理由．
28．（2022•宝山区模拟）如图，在ABC
∆中，90
BAC
∠=︒，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF AB
⊥，EG AC
⊥，垂足分别为F，G．
求证：（1）EG CG AD CD
=；
（2）FD DG
⊥．
29．（2022•徐汇区模拟）如图，已知梯形ABCD中，//
AB CD，90
D
∠=︒，BE平分ABC
∠，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE BE
⊥．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；
（2）2
BE AE AD BC
⋅=⋅．
30．（2022•松江区校级模拟）如图，在ABC
∆中，AB AC
=，点D在BC上，以AD、AE 为腰做等腰ADE
∆，且ADE ABC
∠=∠，连接CE，过E作//
EF BC交CA延长线于F，连接BF．
（1）求证：ECA ABC
∠=∠；
（2）如果AF AB
=，求证：四边形FBDE是矩形．
31．（2022•浦东新区校级模拟）如图，ABC
∆的边AB是O的直径，点C在O上，点D 是边AB上的一点，点E和点D关于BC对称，DE交边BC于点M，过点D作DE的垂线交EC的延长线于点F，线段DF交AC于点N．
（1）求证：四边形CMDN是矩形；
（2）联结CD，当CD AB
⋅=⋅．
EF CB AB ME
⊥时，求证：2
32．（2022•嘉定区校级模拟）如图，在梯形ABCD中，//
=，过点D作
AD BC，AB DC
=．连接BF、CF、AC．DE BC
⊥，垂足为E，并延长DE至F，使EF DE
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）如果2
=，求证：四边形ABFC是矩形．
DE BE CE
33．（2022•青浦区模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，//
AD BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．2
CD CG CF
=⋅，AED CFD
∠=∠．
（1）求证：AB CD
=；
（2）延长AD至点M，联结CM，当CF CM
⋅=⋅．
=时，求证：EA AB AD MD
34．（2022•松江区校级模拟）如图，在ABC ∆中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC 平行的直线PQ ，交AB 于点Q ，点D 在线段BC 上，连接AD 交线段PQ 于点E ，且CP QE CD BD
=，点G 在BC 延长线上，ACG ∠的平分线交直线PQ 于点F ． （1）求证：PC PE =；
（2）当P 是边AC 的中点时，求证：四边形AECF 是矩形．
专题05 几何中档题
1．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF BE =，2AE AQ AB =⋅．
求证：（1）CAE BAF ∠=∠；
（2）CF FQ AF BQ ⋅=⋅．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）
AB AC =，
B C ∴∠=∠，
CF BE =，
CF EF BE EF ∴-=-， 即CE BF =，
在ACE ∆和ABF ∆中，
AC AB C B
CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ACE ABF SAS ∴∆≅∆，
CAE BAF ∴∠=∠；
（2）ACE ABF ∆≅∆，
AE AF ∴=，CAE BAF ∠=∠，
2AE AQ AB =⋅，AC AB =， ∴AE AC AQ AF
=， ACE AFQ ∴∆∆∽，
AEC AQF ∴∠=∠，
AEF BQF ∴∠=∠，
AE AF =，
AEF AFE ∴∠=∠，
BQF AFE ∴∠=∠，
B C ∠=∠，
CAF BFQ ∴∆∆∽， ∴CF AF BQ FQ
=， 即CF FQ AF BQ ⋅=⋅．
2．（2021•上海）如图，在圆O 中，弦AB 等于弦CD ，且相交于点P ，其中E 、F 为AB 、CD 中点．
（1）证明：OP EF ⊥；
（2）连接AF 、AC 、CE ，若//AF OP ，证明：四边形AFEC 为矩形．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：连接OP ，EF ，OE ，OF ，OB OD =．
AE EB =，CF FD =，AB CD =，
OE AB ∴⊥，OF CD ⊥，BE DF =，
90OEB OFD ∴∠=∠=︒，
OB OD =，
Rt OEB Rt OFD(HL)∴∆≅∆，
OE OF ∴=，
90OEP OFP ∠=∠=︒，OP OP =，
Rt OPE Rt OPF(HL)∴∆≅∆，
PE PF ∴=，
OE OF =，
OP EF ∴⊥．
（2）证明：连接AC ，设EF 交OP 于J ．
AB CD =，AE EB =，CF DF =，
AE CF ∴=，BE DF =，
PE PF =，
PA PC ∴=，
PE PF =，OE OF =，
OP ∴垂直平分线段EF ，
EJ JF ∴=，
//OP AF ，
EP PA ∴=，
PC PF ∴=，PA PE =，
∴四边形AFEC 是平行四边形，
EA CF =，
∴四边形AFEC 是矩形．
3．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．
（1）求证：BEC BCH ∆∆∽；
（2）如果2BE AB AE =⋅，求证：AG DF =．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，
CD CB ∴=，D B ∠=∠，
DF BE =，
()CDF CBE SAS ∴∆≅∆，
DCF BCE ∴∠=∠，
//CD BH ，
H DCF ∴∠=∠，
H BCE ∴∠=∠，
B B ∠=∠，
BEC BCH ∴∆∆∽．
（2）证明：2BE AB AE =⋅，
∴
AB BE
BE AE
=，
//
CB DG，AEG BEC
∴∆∆
∽，
∴AE AG BE BC
=，
∴AG BE BC AB
=，BC AB
=，AG BE
∴=，
CDF CBE
∆≅∆，
DF BE
∴=，
AG DF
∴=．
4．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是O的两条弦，且AB AC
=，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交O于点E，联结CD并延长交O于点F．
（1）求证：BD CD
=；
（2）如果2
AB AO AD
=，求证：四边形ABDC是菱形．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，
AB、AC是O的两条弦，且AB AC
=，A
∴在BC的垂直平分线上，
OB OA OC
==，
O
∴在BC的垂直平分线上，
AO
∴垂直平分BC，
BD CD
∴=；
（2）如图2，连接OB，
2
AB AO AD
=，
∴
AB AD
AO AB
=，BAO DAB ∠=∠，ABO ADB
∴∆∆
∽，
OBA ADB
∴∠=∠，
OA OB
=，
OBA OAB
∴∠=∠，
OAB BDA
∴∠=∠，
AB BD
∴=，
AB AC
=，BD CD
=，AB AC BD CD
∴===，∴四边形ABDC是菱形．
5．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE AP ⊥，DF AP ⊥，垂足分别是点E 、F ．
（1）求证：EF AE BE =-；
（2）连接BF ，如果AF DF BF AD
=．求证：EF EP =．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）四边形ABCD 为正方形，
AB AD ∴=，90BAD ∠=︒，
BE AP ⊥，DF AP ⊥，
90BEA AFD ∴∠=∠=︒，
1290∠+∠=︒，2390∠+∠=︒，
13∴∠=∠，
在ABE ∆和DAF ∆中
13
BEA AFD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ABE DAF ∴∆≅∆，
BE AF ∴=，
EF AE AF AE BE ∴=-=-；
（2）如图，
AF DF BF AD =， 而AF BE =， ∴
BE DF BF AD =， ∴BE BF DF AD
=， BEF DFA ∴∆∆∽，
43∴∠=∠，
而13∠=∠，
41∴∠=∠，
∴∠=∠，
45
即BE平分FBP
∠，
而BE EP
⊥，
∴=．
EF EP
6．（2022•静安区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且BM MN ND
==，联结CM、CN．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）如果AE AF
=，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）点E、F分别是边BC、DC的中点，BM MN ND
==，
ME
∴是BCN
∆的中位线，
∆的中位线，NF是CDM
NF CM，
∴，//
//
ME NC
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）如图，连接AC交BD于O，连接EF，
由（1）可知，四边形AMCN是平行四边形，
=，
=，OM ON
AM CN
∴=，OA OC
=，
BM ND
∴+=+，
OM BM ON ND
即OB OD
=，
∴四边形ABCD是平行四边形，
=，
AE AF
∴∠=∠，
AEF AFE
点E、F分别是边BC、DC的中点，
EF
∴是BCD
∆的中位线，
AMN AEF
∠=∠，
∴∠=∠，ANM AFE
∴∠=∠，
AMN ANM
∴=，
AM AN
OM ON
=，
∴⊥，
AC MN
即AC BD
⊥，
∴平行四边形ABCD是菱形．
7．（2022•闵行区二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG BC
⊥，交BC的延长线于点G．
（1）求证：BE FG
=；
（2）如果AB DM EC AE
⋅=⋅，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）四边形ABCD是矩形，
∴∠=∠=︒，
90
B ECD
∴∠+∠=︒，
90
BAE BEA
又FG BC
⊥，
∴∠=∠=︒，
BGF B
90
线段AE绕点E顺时针旋转90︒，即：90
∠=︒，
AEF
∴∠+∠=︒，
GEF BEA
90
∴∠=∠，
BAE GEF
在ABE
∆与EGF
∆中，
B BGF BAE GEF AE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABE EGF AAS ∴∆≅∆，
BE FG ∴=；
（2）如图，连接AM ，DE ，
B ECD ∠=∠，BAE GEF ∠=∠，
ABE ECM ∴∆∆∽， ∴AB AE EC EM
=， AB DM EC AE ⋅=⋅， ∴AB AE EC DM
=， ∴AE AE EM DM
=， EM DM ∴=，
在Rt AEM ∆与Rt ADM ∆中，
EM DM AM AM =⎧⎨=⎩
， Rt AEM Rt ADM(HL)∴∆≅∆，
AD AE ∴=．
∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，
EM DM =，
∴点M 在线段DE 的垂直平分线上，
AM ∴垂直平分DE ．
8．（2022•闵行区二模）直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．
如图，在ABC ∆中，AB AC =，顶角A 的正对记作preA ，这时BC preA AB
==底边腰．
仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：
（1）60pre ︒的值为 ．
（A ）12
； （B ）1；
（C ； （D ）2．
（2）对于0180A ︒<<︒，A ∠的正对值preA 的取值范围是 ．
（3）如果8sin 17
A =，其中A ∠为锐角，试求preA 的值．
【答案】见解析
【详解】（1）在ABC ∆中，AB AC =，60A ∠=︒， ABC ∴∆为等边三角形，
BC AB ∴=，
601BC pre AB
∴︒==， 故答案为：B ；
（2）在ABC ∆中，根据三角形的三边关系得，BC AB AC <+， AB AC =，
2BC AB ∴<，
2BC preA AB
∴=<， 0preA >，
02preA ∴<<，
故答案为：02preA <<；
（3）如图，过点B 作BD AC ⊥于D ，则90ADB ∠=︒， 8sin 17BD A AB ==，
∴设17AB k =，8(0)BD k k =≠，
在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，
15AD k ，
ABC ∆是等腰三角形，
17AB AC k ∴==．
2DC AC AD k ∴=-=，
在Rt BCD ∆中，BC ==，
BC preA AB ∴===．
9．（2022•黄浦区二模）如图，已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，AB AC =，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，E 、F 分别是OM 、ON 上的点．
（1）求证：AOM AON ∠=∠；
（2）如果//AE ON ，//AF OM ，求证：212
OE OM AO ⋅=．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）M 、N 分别是AB 、AC 的中点， OM AB ∴⊥，ON AC ⊥，
AB AC =，
AM AN ∴=，
在Rt AMO ∆和Rt ANO ∆中，
AO AO AM AN =⎧⎨=⎩
， Rt AMO Rt ANO(HL)∴∆≅∆，
AOM AON ∴∠=∠；
（2）//AE ON ，//AF OM ，
∴四边形AEOF 是平行四边形，EAO AON ∠=∠， AOM AON ∠=∠，
EAO AOM ∴∠=∠，
EA EO ∴=，
∴四边形AEOF 是菱形，
连接EF ，与AO 交于点H ，
AO EF ∴⊥，12
OH OA =， 90OHE OMA ∠=∠=︒，EOH AOM ∠=∠，
OEH OAM ∴∆∆∽， ∴OE OH OA OM
=， OE OM OH OA ∴⋅=⋅，
212
OE OM AO ∴⋅=． 10．（2022•长宁区二模）已知：如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，G 是线段AD 上一点，且2AG GD =，联结BG 并延长，交边AC 于点E ．
（1）求证：2AE BD CE BC
=； （2）如果D 是边BC 的中点，P 是边BC 延长线上一点，且CP BC =，延长线段BE ，交线段AP 于点F ，联结CF 、CG ，求证：四边形AGCF 是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图，过点D 作//DH AC ，交BE 于H ，
//DH AC ，
DHG AEG ∴∆∆∽， ∴DG DH AG AE
=， 2AG GD =，
12
DH AE ∴=， //DH AC ，
BDH BCE ∴∆∆∽， ∴12AE BD DH BC CE CE
==， ∴2AE BD CE BC
=； （2）证明：如图，
D 是边BC 的中点，
22BC BD CD ∴==， ∴21AE BD CE BC
==， AE CE ∴=，
2CP BC CD ==， ∴13
CD CP =， 2AG GD =， ∴
13DG AD =， ∴CD DG CP AD
=，
又ADP GDC ∠=∠，
DGC DAP ∴∆∆∽，
DGC DAP ∴∠=∠，
//GC AP ∴，
GEC FEA ∴∆∆∽， ∴1GE CE EF AE
==， GE EF ∴=，
∴四边形AGCF 是平行四边形．
11．（2022•金山区二模）如图，已知：ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，其中点D 在边BC 上，点F 是AB 边上一点，且BF CD =．
（1）求证：//DE CF ；
（2）联结DF ，设AD 、CF 的交点为M ，如果2DF FM FC =⋅，求证：//DF AC ．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）如图1，
ABC ∆是等边三角形，
AC BC ∴=，60ACB B ∠=∠=︒，
在ACD ∆和CBF ∆中，
AC CB ACD B CD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD CBF SAS ∴∆≅∆，
CAD BCF ∴∠=∠，
ADE ∆是等边三角形，
60ADE ACB ∴∠=∠=︒，
ADE BDE ACB CAD ∠+∠=∠+∠，
BDE CAD ∴∠=∠，
BDE BCF ∴∠=∠，
//DE CF ∴；
（2）如图2，
2DF FM FC =⋅， ∴DF FC FM DF
=， DFM CFD ∠=∠，
DFM CFD ∴∆∆∽，
FDM FCD ∴∠=∠，
CAD BCF ∠=∠，
FDM CAD ∴∠=∠，
//DF AC ∴．
12．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边AB 、AC 、BC 上，//DF AC ，2BD AD =，2AE EC =．
（1）如果2AB AC =，求证：四边形ADFE 是菱形；
（2）如果AB ，且1BC =，联结DE ，求DE 的长．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：2BD AD =，2AE EC =， ∴BD AE AD CE
=，
//DF AC ， ∴
BD BF AD CF =， ∴BF AE CF CE
=， //EF AB ∴，
又//DF AC ，
∴四边形ADFE 是平行四边形，
2AB AC =，23
AE AC =
， 13AE AB ∴=， AD AE ∴=，
四边形ADFE 是平行四边形，
∴四边形ADFE 是菱形；
（2）如图，在ADE ∆和ACB ∆中，A ∠是公共角，
133AB AC AD AC AC AC ===
，2233AC AC AE AB AB ===， ADE ACB ∴∆∆∽，
1BC =，
DE ∴=．
13．（2022•徐汇区二模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 上任意一点（点E 与点C 、
D 不重合）
，过点A 作AF AE ⊥，交边CB 的延长线于点F ，联结EF 交边AB 于点G ，连接AC ．
（1）求证：AEF DAC ∆∆∽；
（2）如果FE 平分AFB ∠，联结CG ，求证：四边形AGCE 为菱形．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）四边形ABCD是矩形，
//
AB CD
∴，AB DC
=，90
BCD DAB ABC D
∠=∠=∠=∠=︒，18090
ABF ABC
∴∠=︒-∠=︒，
AE AF
⊥，
90
FAE
∴∠=︒，
FAE BAE DAB BAE
∴∠-∠=∠-∠，
BAF DAE
∴∠=∠，
90
D ABF
∠=∠=︒，
ABF ADE
∴∆∆
∽，
∴AB AF AD AE
=，
∴DC AF
AD AE
=，
90
D FAE
∠=∠=︒，AEF DAC
∴∆∆
∽；
（2）如图：
FE平分AFB
∠，
AFE CFE
∴∠=∠，
90
FAE BCD
∠=∠=︒，EF EF
=，
()
AFE CFE AAS
∴∆≅∆，
AF CF
∴=，AE EC
=，
FG FG
=，
()
AFG CFG SAS
∴∆≅∆，
FAG FCG
∴∠=∠，
BAF DAE
∠=∠，
DAE FCG
∴∠=∠，
90
DAE AED
∠+∠=︒，90
BCG DCG
∠+∠=︒，
DCG AED ∴∠=∠，
//AE CG ∴，
//AB CD ，
∴四边形AGCE 是平行四边形，
AE EC =，
∴四边形AGCE 为菱形．
14．（2022•崇明区二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作//CF AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．
（1）求证：ABF EAD ∆≅∆；
（2）如果2BE AB EF =⋅，求证：ECF BAE ∠=∠．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）
//AE CD ，
AEB DCE ∴∠=∠， //DE AB ，
ABE DEC ∴∠=∠，BAF AED ∠=∠， ABC BCD ∠=∠，
ABE AEB ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠， AB AE ∴=，DE DC =，
//AF CD ，//AD CF ，
∴四边形AFCD 是平行四边形，
AF CD ∴=，
AF DE ∴=，
在ABF ∆和EAD ∆中，
AB AE BAF AED AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABF EAD SAS ∴∆≅∆；
（2）2BE AB EF =⋅，AB AE =， ∴BE EF AE BE
=， 又AEB BEF ∠=∠，
EBF EAB ∴∆∆∽，
FBE BAE ∴∠=∠，
由（1）得ABF EAD ∆≅∆，
BF AD ∴=，
在平行四边形AFCD 中，AD CF =，
BF CF ∴=，
FBE ECF ∴∠=∠，
ECF BAE ∴∠=∠．
15．（2022•杨浦区二模）已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别是线段OC 、OD 的中点，联结AF 、BE ．
（1）求证：四边形ABEF 是等腰梯形；
（2）过点O 作OM AB ⊥，垂足为点M ，联结ME ，如果OME BAC ∠=∠，求证：四边形AMEF 是菱形．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）四边形ABCD 是矩形，
//AB CD ∴，AO CO =，BO DO =，AC BD =，
DO CO ∴=，AO BO =，
点E 、F 分别是线段OC 、OD 的中点，
//EF DC ∴，12OE OC =，12
OF OD =， //EF AB ∴，OE OF =，
OF OB OE OA
∴+=+，
即AE BF
=，
∴四边形ABEF是等腰梯形；
（2）连接MF，
点E、F分别是线段OC、OD的中点，
∴
1
2
EF CD
=，
OA OB
=，OM AB
⊥，
∴
1
2
AM BM AB
==，
四边形ABCD是矩形，AB CD
∴=，
EF AM
∴=，
由（1）知：//
EF AM，
∴四边形AMEF是平行四边形，
同理：四边形BMFE是平行四边形，OA OB
=，
OAB OBA
∴∠=∠，
又OME BAC
∠=∠，
OME OBA
∴∠=∠，
90
OME BME
∠+∠=︒，
90
OBA BME
∴∠+∠=︒，
OB ME
∴⊥，
∴平行四边形BMFE是菱形，
BE BM
∴=，
又四边形ABEF是等腰梯形，
BE AF
∴=，
又BM AM
=，
AF AM ∴=，
∴四边形AMEF 是菱形．
16．（2022•松江区二模）已知：如图，两个DAB ∆和EBC ∆中，DA DB =，EB EC =，ADB BEC ∠=∠，且点A 、B 、C 在一条直线上，联结AE 、ED ，AE 与BD 交于点F ．
（1）求证：DF AB BF BC
=； （2）如果2BE BF BD =⋅，求证：DF BE =．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）DA DB =，EB EC =， ∴DA DB EB EC
=， ADB BEC ∠=∠，
DAB EBC ∴∆∆∽，
DAB EBC ∴∠=∠，DA AB EB BC
=， //AD EB ∴，
DAF AEB ∴∠=∠，ADF DBE ∠=∠，
ADF EBF ∴∆∆∽， ∴
AD DF EB BF =， ∴DF AB BF BC
=； （2）2BE BF BD =⋅， ∴BE BD BF BE
=， DBE EBF ∠=∠，
BFE BED ∴∆∆∽，
BEF BDE ∴∠=∠，
DAF AEB ∠=∠，
DAF BDE ∴∠=∠，
ADF DBE ∠=∠，AD DB =，
()ADF DBE ASA ∴∆≅∆，
DF BE ∴=．
17．（2022•嘉定区二模）如图，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，AC AD =，点E 在边BC 上，AB AE =，BAE CAD ∠=∠，联结DE ．
（1）求证：BC DE =；
（2）当AC BC =时，求证：四边形ABCD 是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）BAE CAD ∠=∠，
BAE EAC CAD EAC ∴∠+∠=∠+∠，
即BAC EAD ∠=∠．
在ABC ∆与AED ∆中，
AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
．
()ABC AED SAS ∴∆≅∆．
BC DE ∴=；
（2）由（1）可知，ABC AED ∆≅∆，
B AED ∴∠=∠，B
C DE =，AC A
D =，
AC BC =，
BC AD DE ∴==，
EAD AED ∴∠=∠，
B EAD ∴∠=∠，
AB AE =，
AEB B ∴∠=∠，
EAD AEB ∴∠=∠，
//AD BC ∴，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
18．（2022•奉贤区二模）已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 的延长线上，DE DC =
，
联结BE ，分别交边DC 、对角线AC 于点F 、G ，AD FD =．
（1）求证：AC BE ⊥；
（2）求证：CF AC DF BE
=．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）DE DC =，AD FD =，90EDF CDA ∠=∠=︒， ()CDA EDF SAS ∴∆≅∆，
AEG ACD ∴∠=∠，
90ACD DAC ∠+∠=︒，
90AEG DAC ∴∠+∠=︒，
90AGE ∴∠=︒，
AC BE ∴⊥．
（2）在矩形ABCD 中，//BC AD ，//BC DE ∴， BCF EDF ∴∆∆∽， ∴CF BC DF DE
=， BC AD =，DE CD =， ∴CF AD DF CD
=， 由（1）得90AGE CDA ∠=︒=∠，AEG ACD ∠=∠， CDA EAB ∴∆∆∽， ∴AC AD BE AB
=， AB CD =， ∴AC AD BE CD
=，
∴CF AC DF BE
=． 19．（2022•虹口区二模）已知：如图，AB 、AC 是O 的两条弦，AB AC =，点M 、N 分别在弦AB 、AC 上，且AM CN =，AM AN <，联结OM 、ON ．
（1）求证：OM ON =；
（2）当BAC ∠为锐角时，如果2AO AM AC =⋅，求证：四边形AMON 为等腰梯形．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）过点O 作OE AB ⊥于点E ，OF AC ⊥于点F ，如图，
AB AC =，OE AB ⊥，OF AC ⊥，
OE OF ∴=，12
AE CF AB ==． AM CN =，
AE AM FC CN ∴-=-，
即：EM FN =．
在OEM ∆和OFN ∆中，
90EM FN MEO NFO OE OF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()OEM OFN SAS ∴∆≅∆．
OM ON ∴=；
（2）连接OB ，如图，
2AO AM AC =⋅，AC AB =，
2AO AM AB ∴=⋅， ∴OA AB OM OA
=． MAO OAB ∠=∠，
OAM BAO ∴∆∆∽，
AOM B ∴∠=∠．
OA OB =，
OAB B ∴∠=∠，
OAB AOM ∴∠=∠，
OM AM ∴=．
OM ON =，
AM ON ∴=．
OE OF =，OE AB ⊥，OF AC ⊥，
OAB OAC ∴∠=∠，
AOM OAC ∴∠=∠，
//OM AN ∴．
AM AN <，
OM AN ∴<，
∴四边形AMON 为梯形，
AM ON =，
∴四边形AMON 为等腰梯形．
20．（2022•普陀区二模）已知：如图，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，E 为对角线BD 的中点，点F 在边AD 上，CF 交BD 于点G ，//CF AE ，12
CF BD =
． （1）求证：四边形AECF 为菱形；
（2）如果DCG DEC ∠=∠，求证：2AE AD DC =⋅．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）90BAD ∠=︒，E 为BD 的中点， 12
AE DE BD ∴==， 12
CF BD =， AE CF DE ∴==，
//CF AE ，
∴四边形AECF 是平行四边形， 90BCD ∠=︒，E 为BD 的中点，
12
CE BD ∴=， AE CE ∴=，
∴四边形AECF 为菱形；
（2）四边形AECF 为菱形，
//AD CE ∴，
ADE DEC ∴∠=∠， DCG DEC ∠=∠，
ADE DCG ∴∠=∠，
//AE CF ，
EAD CFD ∴∠=∠，
ADE FCD ∴∆∆∽，
∴AD DE CF CD
=， CF DE AD CD ∴⋅=⋅， AE CF DE ==，
2AE AD DC ∴=⋅．
21．（2022•浦东新区二模）如图，已知正方形ABCD ，以AB 为边在正方形外作等边ABE ∆，过点E 作EF AB ⊥与边AB 、CD 分别交于点F 、点G ，点O 在线段EG 上，且DO CD =．
（1）求证：//AE DO ；
（2）联结AO 、DE ，DE 分别交AO 、AB 于点M 、Q ，求证：EQ EF AD DM
=．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：ABE ∆是等边三角形， AE AB ∴=，
四边形ABCD 是正方形，
AB BE AD CD ∴===，90BAD ADC ∠=∠=︒， OD CD =，
OD AE ∴=，
EF AB ⊥，//AB CD ，
EF CD ∴⊥，
∴四边形ADGF 为矩形，
AF DG ∴=，AD FG =，
在Rt AFE ∆和Rt DGO ∆中，
AE OD AF DG =⎧⎨=⎩
， Rt AFE Rt DGO(HL)∴∆≅∆，
EF OG ∴=，
OE FG ∴=，
AD OE ∴=，
又//AD OE ，
∴四边形ADOE 为平行四边形，
//AE DO ∴；
（2）证明：四边形ADOE 为平行四边形，AD OD CD ==， ∴四边形ADOE 为菱形，
AO ED ∴⊥，
90AMD ∴∠=︒，
又90EFQ ∠=︒，
AMD EFQ ∴∠=∠，
又//AD EF ，
ADM QEF ∴∠=∠，
QEF ADM ∴∆∆∽， ∴EQ EF AD DM
=． 22．（2022•杨浦区三模）已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，B A ∠>∠，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，//CF AB 交DE 的延长线于点F ．
（1）求证：四边形ADCF 是菱形；
（2）联结BE ，如果BE CD ⊥，求证：AB =．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， DE ∴是ABC ∆的中位线，
//DE BC ∴，12
DE BC =
， 90ACB ∠=︒， 90AED ACB ∴∠=∠=︒，
DF AC ∴⊥，
//DE BC ，//CF AB ，
∴四边形DBCF 为平行四边形， DF BC ∴=，
1122
EF DF DE BC CB CB ∴=-=-=， DE EF ∴=，
AE CE =，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
AC DF ⊥，
∴四边形ADCF 是菱形；
（2）如图，设DE a =，CE b =，则2BC a =，
BE CD ⊥，
90COE OCE CEO ∴∠=∠+∠=︒，
90CBE BEC ∠+∠=︒，
DCE CBE ∴∠=∠，
90BCE CED ∠=∠=︒，
BCE CED ∴∆∆∽， ∴CE BC ED CE =，即2b a a b
=， 222b a ∴=，
由勾股定理得：22223CD a b a =+=，
222222(2)6BE BC CE a b a =+=+=，
222BE CD ∴=，
12
AD CD AB ==，
AB ∴=．
23．（2022•徐汇区模拟）如图，四边形ABCE 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，BF CE ⊥于点F ，点D 为BF 上一点，且BAD CAE ∠=∠．
（1）求证：AD AE =；
（2）设BF 交AC 于点G ，若22BC BD BG =⋅，判断四边形ADFE 的形状，并证明．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：BF CE ⊥，
90BFC ∴∠=︒，
BFC BAC ∴∠=∠，
CGF AGB ∠=∠，
ABG ACF ∴∠=∠，
AB AC =，BAD CAE ∠=∠，
()BAD CAE ASA ∴∆≅∆，
AD AE ∴=；
（2）解：四边形ADFE 是正方形，理由如下：
ABC ∆是等腰直角三角形，
222BC AB ∴=，
22BC BD BG =⋅，
2AB BD BG ∴=⋅，
ABD ABG ∠=∠，
ABD GBA ∴∆∆∽，
90BAG BDA ∴∠=∠=︒，
BAD CAE ∆≅∆，
90BDA AEC ∴∠=∠=︒，
90ADF DAE E ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形ADFE 是矩形，
AD AE =，
∴四边形ADFE 是正方形．
24．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知等边ABC ∆中，D 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且CD BF =，以AD 为边向左作等边ADE ∆，联结CF 、EF ．
（1）求证：四边形CDEF 是平行四边形；
（2）当45DEF ∠=︒时，求BD CD
的值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：ABC ∆是等边三角形，
AC CB ∴=，ACD B ∠=∠，
又CD BF =，
()ACD CBF SAS ∴∆≅∆，
DAC FCB ∴∠=∠，
BAD ACF ∴∠=∠，
180120EDB ADE ADC ADC
∠=︒-∠-∠=︒-∠，
180120FCB B CFB CFB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，
EDB FCB ∴∠=∠，
//CF DE ∴，
∴四边形CDEF 是平行四边形； （2）解：过F 作FG BC ⊥于G ，
四边形CDEF 是平行四边形，45DEF ∠=︒，
45FCB DEF ∴∠=∠=︒，
FG CG ∴=，
设BG x =，则tan 60CG FG BG ==⋅︒=，
2cos60BG CD BF x ===︒
，
(1BC BG CG x ∴=+=，
(121)BD BC CD x x x ∴=-=+-=，
∴BD CD ． 25．（2022•宝山区模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且DEF ADC ∠=∠．
（1）求证：EF AB BF DB
=；
（2）如果22BD AD DF =，求证：平行四边形ABCD 是矩形．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：平行四边形ABCD ，
//AD BC ∴，//AB DC
180BAD ADC ∴∠+∠=︒，
又180BEF DEF ∠+∠=︒，
BAD ADC BEF DEF ∴∠+∠=∠+∠，
DEF ADC ∠=∠， BAD BEF ∴∠=∠，
//AD BC ，
EBF ADB ∴∠=∠，
ADB EBF ∴∆∆∽， ∴EF AB BF DB
=； （2）ADB EBF ∆∆∽， ∴AD BE BD BF
=， 在平行四边形ABCD 中，12BE ED BD ==
， 212
AD BF BD BE BD ∴==， 22BD AD BF ∴=，
又22BD AD DF =，
BF DF ∴=，
DBF ∴∆是等腰三角形，
BE DE =，
FE BD ∴⊥，
即90DEF ∠=︒，
90
ADC DEF
∴∠=∠=︒，
∴平行四边形ABCD是矩形．
26．（2022•徐汇区校级模拟）如图，已知O经过菱形ABCD的顶点A，C，且与CD相切，直径CF交AB于点E．
（1）求证：AD与O相切；
（2）若
3
4
DC
CF
=，求
AE
CE
的值．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：如图1，连接OA，OD，
O与CD相切，OC为半径，
90
DCO
∴∠=︒，
O经过菱形ABCD的顶点A，C，
OA OC
∴=，AD CD
=，
OD OD
=，
()
OAD OCD SSS
∴∆≅∆，
90
OAD OCD
∴∠=∠=︒，
OA 为半径，
AD ∴与O 相切；
（2）解：如图2，连接OA ，OD ，，
，， ， ， ，，
垂直平分，
，
，
，
，
， 在中，． 27．（2022•普陀区模拟）如图，在梯形中，，，，点在对角线上，作，连接，且满足．
（1）求证：．
（2）当时，试判断四边形的形状，并说明理由．
AC 12CO CF =34DC CF =∴32
DC CO =2tan 3CO CDO CD ∴∠=
=DC DA =OA OC =OD ∴AC 90CDO ACE ∴∠+∠=︒90OCD ∠=︒90DCA ACE ∴∠+∠=︒CDO ACE ∴∠=∠2tan tan 3
CDO ACE ∴∠=∠=Rt CAE ∆2tan 3AE ACE CE ∠=
=ABCD //AD BC 90BCD ∠=︒BC DC =E BD 90ECF ∠=︒DF CF EC =BD DF ⊥2
BC DE DB =DECF
【答案】见解析
【详解】（1）证明：，，
，，，
，
，，，
，，
；
（2）解：四边形是正方形．
，，，， ，，
，
，四边形是矩形，
，四边形是正方形． 28．（2022•宝山区模拟）如图，在中，，是边上的高，点在线段上，，，垂足分别为，．
求证：（1）； （2）．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：在和中，
是边上的高，，，
，
又为公共角，
，
．
（2）证明：在四边形中，
，
四边形为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
90BCD ECF ∠=∠=︒BCE DCF ∴∠=∠BC DC =EC CF =BCE DCF ∴∆≅∆EBC FDC ∴∠=∠BC DC =90BCD ∠=︒45DBC BDC ∴∠=∠=︒45FDC ∴∠=︒90FDB ∴∠=︒BD DF ∴⊥DECF 2BC DE DB =BC DC =2DC DE DB ∴=∴
DC DE DB DC
=CDE BDC ∠=∠CDE BDC ∴∆∆∽90DEC DCB ∴∠=∠=︒90FDE ECF ∠=∠=︒∴DECF CE CF =∴DECF ABC ∆90BAC ∠=︒AD BC E DC EF AB ⊥EG AC ⊥F G EG CG AD CD
=FD DG
⊥ADC ∆EGC ∆AD BC EF AB ⊥EG AC ⊥90ADC EGC ∴∠=∠=︒C ∠ADC EGC ∴∆∆∽∴EG CG AD CD
=AFEG 90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=︒∴AFEG
．
由（1）知
， ， ， 为直角三角形，，
，
，
又，
，
即，
．
29．（2022•徐汇区模拟）如图，已知梯形中，，，平分，交于点，是的中点，联结、，且．
求证：（1）四边形是菱形；
（2）．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）
，
， 平分，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
AF EG ∴=EG CG AD CD =∴
AF CG AD CD =∴AF AD CG CD
=ABC ∆AD BC ⊥FAD C ∴∠=∠AFD CGD ∴∆∆∽90CDG ADG ∠+∠=︒90ADF ADG ∴∠+∠=︒90FDG ∠=︒FD DG ∴⊥ABCD //AB CD 90D ∠=︒BE ABC ∠CD E F AB AE EF AE BE ⊥BCEF 2BE AE AD BC ⋅=
⋅//AB CD EBF BEC ∴∠=∠BE ABC ∠CBE FBE ∴∠=∠BEC CBE ∴∠=∠CE CB ∴=AE BE ⊥90AEB ∴∠=︒F AB AF EF BF ∴==
，
，
，
而，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
（2）过点作于，如图，
，
，
，，
，
，
，
，即， ， ， 即．
30．（2022•松江区校级模拟）如图，在中，，点在上，以、为腰做等腰，且，连接，过作交延长线于，连接．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
FBE FEB ∴∠=∠FEB CBE ∴∠=∠//EF BC ∴//CE BF ∴BCEF CB CE =∴BCEF C CH BE ⊥H CE CB =BH EH ∴=90AED DAE ∠+∠=︒90CEB AED ∠+∠=︒DAE CEB CBE ∴∠=∠=∠D CBH ∠=∠ADE BHC ∴∆∆∽∴AD AE BH BC
=BH AE AD BC ⋅=⋅12
BH BE =∴12
BE AE AD BC ⋅=⋅2BE AE AD BC ⋅=⋅ABC ∆AB AC =D BC AD AE ADE ∆ADE ABC ∠=∠CE E //EF BC CA F BF ECA ABC ∠=∠AF AB =FBDE
【答案】见解析
【详解】证明：（1）
，
，
， 同理，
，
，
，
又，，
，
；
（2），， ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
， ，
即，
平行四边形是矩形．
31．（2022•浦东新区校级模拟）如图，的边是的直径，点在上，点是边上的一点，点和点关于对称，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点，线段交于点．
AB AC =ABC ACB ∴∠=∠1802BAC ABC ∴∠=︒-∠1802DAE ADE ∠=︒-∠ABC ADE ∠=∠BAC DAE ∴∠=∠BAD CAE ∴∠=∠AB AC =AD AE =()ABD ACE SAS ∴∆≅∆ECA ABC ∴∠=∠ECA ABC ∠=∠ABC ACB ∠=∠ECF ACB ∴∠=∠//EF BC EFC ACB ∴∠=∠EFC ECF ∴∠=∠EF EC ∴=ABD ACE ∆≅∆BD EC ∴=BD EF ∴=∴FBDE AF AB AC ==AFB ABF ∴∠=∠ABC ACB ∠=∠180AFB ABF ABC ACB ∠+∠+∠+∠=︒90ABF ABC ∴∠+∠=︒90CBF ∠=︒∴FBDE ABC ∆AB O C O D AB E D BC DE BC M D DE EC F DF AC N。