【优化方案】2012高考数学总复习 第5章第4课时数列的综合应用精品课件 文 新人教A版

2．数列应用题常见模型 ． (1)等差模型：如果增加 或减少 的量是一个固定量 等差模型： 或减少)的量是一个固定量 等差模型 如果增加(或减少 该模型是等差模型，增加(或减少 或减少)的量就是公 时，该模型是等差模型，增加 或减少 的量就是公 差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个 等比模型： 等比模型 固定的数时，该模型是等比模型， 固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就 是公比． 是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间 递推数列模型： 递推数列模型 的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a 的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 n 项和S 与an＋1之间的递推关系，还是前 项和 n与前 ＋1 ＋ 之间的递推关系，还是前n项和 与前n＋ 项和S ＋ 之间的递推关系． 项和 n＋1之间的递推关系．
思考感悟 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式 设本金为a元 每期利率为r， 提示：单利公式——设本金为 元，每期利率为 ， 设本金为 存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模 存期为 ，则本利和 ＋ ， 设本金为a元 每期利率为r， 型．复利公式——设本金为 元，每期利率为 ，存 复利公式 设本金为 期为n，则本利和 属于等比模型． 期为 ，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型． ＋
【名师点评】 名师点评】
③ ， ④ ④÷③可得：q＝3，则 b1＝3， ③可得： ＝ ， ， × ∈ ． ∴bn＝3×3n－1＝3n(n∈N*)． (2)由 cn＝an·bn＝(4n＋5)·3n， 由 ＋ ∴Sn＝9·3＋13·32＋17·33＋…＋(4n＋5)·3n. ① ＋ ＋ 两边同乘以 3 得： 3Sn ＝ 9·32 ＋ 13·33 ＋ 17·34 ＋ … ＋ (4n＋ 1)·3n ＋ (4n＋ ＋ ＋ 5)·3n＋1. ②
1 例3 上有定义， ＝ 已知函数 f(x)在(－1,1)上有定义，f( )＝ 在－ 上有定义 2 x＋y ＋ y∈ － )． －1， ， 且满足 x、 ∈(－1,1)时， ＋f(y)＝f( 、 时 f(x)＋ ＝ ． 1＋xy ＋ (1)证明 f(x)在(－1,1)上为奇函数； 上为奇函数； 证明 在－ 上为奇函数 1 2xn (2)设数列 n}中，x1＝ ，xn＋1＝ 设数列{x 中 设数列 2 ，求用 n 表 2 1＋xn ＋ 的表达式． 示 f(xn)的表达式． 的表达式
b1＋b3＝30 ∴ b2＋b4＝90
①－②得： －2Sn＝9·3＋4·32＋4·33＋…＋4·3n－(4n＋5)·3n＋1 ＋ ＋ 32(1－3n－1) － n＋ 1 ＝27＋4· ＋ －(4n＋5)·3 ＋ 1－3 － n＋1 n＋1 ＝27＋2·3 －18－(4n＋5)·3 ， ＋ － ＋ 1 n＋1 ∴Sn＝ [(4n＋3)·3 －9]． ＋ ． 2
例1
由题意知： 【解】 (1)由题意知：对数列 n}， 由题意知 对数列{a ， a2＋a4＝34 a2＋a4＝34 ① ⇒ ， A4＝60 a1＋a3＝26 ② ∴①－ 可得： ＝ ， ∴①－②可得：2d＝8， ∴d＝4，a1＝9， ＝ ， ， ∴an＝4n＋5(n∈N*)． ＋ ∈ ． B4＝120 由题意知：对数列{b ， 由题意知：对数列 n}， ， b2＋b4＝90
(2)设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投 设至少经过 5n 入，由此 bn－an>0，即 1600×[( ) －1]－4000× ， × － × 4 4n [1－( ) ]>0， － ， 5 4n 2 令 x＝( ) ，代入上式得 5x －7x＋2>0， ＝ ＋ ， 5 2 解此不等式， 舍去)， 解此不等式，得 x< ，或 x>1(舍去 ， 舍去 5 4n 2 即( ) < ，由此得 n≥5. ≥ 5 5 旅游业的总收入才能超过总投入． ∴至少经过 5 年， 旅游业的总收入才能超过总投入．
【思路分析】 思路分析】
(1)赋值，运用奇偶性定义．(2) 赋值，运用奇偶性定义． 赋值
寻求f(x ＋ 与 的关系． 寻求 n＋1)与f(xn)的关系． 的关系 证明： 【解】 (1)证明：令x＝y＝0，得2f(0)＝f(0)， 证明 ＝ ＝ ， ＝ ， ∴f(0)＝0. ＝ ＝－x， 令y＝－ ，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， ＝－ ＋ － ＝ ＝ ， ＝－f(x)．∴f(x)在(－1,1)上是奇函数． 上是奇函数． ∴f(－x)＝－ － ＝－ ． 在－ 上是奇函数
考点探究·挑战高考 考点探究·
考点突破 等差、 等差、等比数列的综合问题 (1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考 考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式， 考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式， 项和公式以及等差中项、 前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年 项和公式以及等差中项 命题的热点． 命题的热点．
【解】
万元， 第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收 1 万元， 入为 400×(1＋ )万元， ， n 年旅游业收入为 × ＋ 万元 … 第 4 1 n－ 1 400×(1＋ ) 万元，所以，n 年内的旅游业总收 万元，所以， × ＋ 4 入为 1 1 n－1 bn＝400＋400×(1＋ )＋…＋400×(1＋ ) ＋ × ＋ ＋ × ＋ 4 4 5n ＝1600×[( ) －1]． × ． 4
【思路分析】 思路分析】 解不等式 → bn>an
写出各年度的 求和得 → an和bn 投入与收入
(1)第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入 第 万元， 1 万元， 为 800×(1－ )万元，…，第 n 年投入为 800× × － 万元 × 5 1 n－ 1 (1－ ) 万元，所以，n 年内的总投入为 万元，所以， － 5 1 1 n－1 an＝800＋800×(1－ )＋…＋800×(1－ ) ＋ × － ＋ × － 5 5 4n ＝4000×[1－( ) ]． × － ． 5
(2011年河源质检 已知等差数列 n}的前 年河源质检)已知等差数列 年河源质检 已知等差数列{a 的前 四项的和A 四项的和 4＝60，第二项与第四项的和为 ，等 ，第二项与第四项的和为34， 比数列{b 的前四项的和 的前四项的和B 比数列 n}的前四项的和 4＝120，第二项与第四 ， 项的和为90. 项的和为 (1)求数列 n}，{bn}的通项公式； 求数列{a ， 的通项公式； 求数列 的通项公式 (2)设cn＝an·bn，且{cn}的前 项和为 n，求Sn. 的前n项和为 设 的前 项和为S 思路分析】 【思路分析】 (1)由已知设出公差与公比联立方 由已知设出公差与公比联立方 程求解． 程求解． (2)利用错位相减法求解． 利用错位相减法求解． 利用错位相减法求解
第4课时 课时
数列的综合应用
第
4课
时 数 列 的 综 合 应 用 考
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高考
考点探究·挑战高考 考点探究·
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高考
温故夯基· 温故夯基·面对高考
1．解答数列应用题的步骤 ． (1)审题 审题——仔细阅读材料，认真理解题意． 仔细阅读材料， 审题 仔细阅读材料 认真理解题意． 建模 (2)________——将已知条件翻译成数学 数列 语 将已知条件翻译成数学(数列 将已知条件翻译成数学 数列)语 将实际问题转化成数学问题， 言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列 的特征、要求是什么． 的特征、要求是什么． (3)求解 求解——求出该问题的数学解． 求出该问题的数学解． 求解 求出该问题的数学解 还原 (4)_________——将所求结果还原到原实际问题 将所求结果还原到原实际问题 中．
例2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进 从社会效益和经济效益出发，
行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划， 行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划， 1 万元，以后每年投入将比上年减少 本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ， 5 万元， 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建 设对旅游业的促进作用， 设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年 1 会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内 本年度为第一年 总投入为 an 万元， 本年度为第一年)总投入为 万元， 设 年内(本年度为第一年 旅游 万元， 的表达式． 业总收入为 bn 万元，写出 an，bn 的表达式． (2)至少经过几年， 至少经过几年， 旅游业的总收入才能超过总投入？ 至少经过几年 旅游业的总收入才能超过总投入？
数列与函数、解析几何、 数列与函数、解析几何、不等式的综 合应用 数列是特殊的函数， 数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明 问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在 知识交汇点上命题的特点， 知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综 合性强， 合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解 能力，因而一直为高考命题者的首选． 能力，因而一直为高考命题者的首选．
【误区警示】 误区警示】
(1)容易把这里的 an 与 bn 看作数 容易把这里的 5n 4n 列的通项处理； (2)解不等式 × 列的通项处理； 解不等式 2×( ) ＋5×( ) －7>0 × 4 5 4n 2 不会换元转化； 求出 求出( 时，不会换元转化；(3)求出 ) < 后，不会用估算 5 5 的最小值． 法求出 n 的最小值．
解：∵cn＝an＋bn， ∴cn＝4n＋5＋3n， ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ∴ Sn ＝ 4(1＋ 2＋ 3＋ … ＋ n)＋ 5n＋ (3＋ 32 ＋ 33 ＋ … ＋ 3 n) n(n＋1) 3(1－3n) ( ＋ ) ( － ＝4· ＋5n＋ ＋ 2 1－3 － n ＋1 3 －3 2 ＝2n ＋7n＋ ＋ 2 1 n ＋1 3 2 ＝ ·3 ＋2n ＋7n－ . － 2 2
数列的实际应用问题 解数列应用题，要充分运用观察、归纳、 解数列应用题，要充分运用观察、归纳、猜想等 手段，建立等差数列、等比数列、 手段，建立等差数列、等比数列、递推数列等模 比较典型的问题是存款的利息计算问题， 型．(比较典型的问题是存款的利息计算问题， 比较典型的问题是存款的利息计算问题 通常的储蓄问题与等差数列有关， 通常的储蓄问题与等差数列有关，而复利计算则 与等比数列有关． 与等比数列有关．)
(2)利用等比数列前 项和公式时注意公比 的取 利用等比数列前n项和公式时注意公比 利用等比数列前 项和公式时注意公比q的取 值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导 同时对两种数列的性质， 过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时 过程，利用好性质，可降低题目的难度， 有时还需利用条件联立方程求解． 有时还需利用条件联立方程求解．
1 (2)f(x1)＝f( )＝－ ， ＝－1， ＝ ＝－ 2 xn＋xn 2xn f(xn＋1)＝f( ) ＝ ＝ 2 )＝f( 1＋xn 1＋xnxn ＋ ＋ ＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn)， ＋ ＝ ， 数列{f(xn)}是以－1 为首项，以 2 为公比的等 是以－ 为首项， ∴数列 是以 比数列． 比数列． n－1 ＝－2 . ＝－ ∴f(xn)＝－【名师Fra bibliotek评】 名师点评】
{an·bn}(一个是等比数列，一个是 一个是等比数列， 一个是等比数列
等差数列)求和是典型的错位相减法求和， 等差数列 求和是典型的错位相减法求和，解题时 求和是典型的错位相减法求和 注意应用，同时注意公比q的情况． 注意应用，同时注意公比 的情况． 的情况
若将本例(2)中 改为c 互动探究 若将本例 中cn＝an·bn改为 n＝an＋bn， 的前n项和 又如何求{c 的前 项和S 又如何求 n}的前 项和 n.