高中数学解析几何大题(附有答案及详解)

47． 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
48． 如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设圆22
4
:5
O x y +=
，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；
①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.
49． 已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；
（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，
22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.
50． 已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为1
2，动点M 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），
N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S
的取值范围.
51． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；
（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.
52． 已知以1C 为圆心的圆22
1:1C x y +=.
（1）若圆22
2:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；
（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若13
2
PC PQ ⋅=
，求m 的值. 53． 已知圆()2
2:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．
（1）当切线P A P 的坐标；
（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．
54． 已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．
（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；
（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．
55． 在平面直角坐标系xOy
中，(A
，B ，C 是满足π
3
ACB ∠=的一个动点． （1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；
（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =
，求证：||k > 56． 平面上一动点C
的坐标为)
,sin θθ.
（1）求点C 轨迹E 的方程；
（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.
答案及解析
47．（1）2212
x y +=；（2）是定值，该定值为0．
【分析】
（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；
（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】
（1）由题意可知：22b =，1b =，
椭圆的离心率c e a ==
a =
①椭圆E 的标准方程：2
212
x y +=；
（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．
22
(2)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222
128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2
122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，
()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=
+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦
2
2222
222
8242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦
． ①120k k +=为定值．
【点睛】
关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()121212122
21x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦
.
48．（1）2214
x y +=；（2）①14- ；
①y
y =+
【分析】
（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；
（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】
（1）因为2222
223
4
c a b e a a -==
=，所以2a b =，
因为点⎛ ⎝⎭
在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，
所以椭圆方程为：2
214
x y +=；
（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O
到切线的距离d r =
=
整理可得：222
000044
2055
x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝
⎭
，
所以2
0201222
00441451544455
x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=
==---
，
①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，
所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，
由22
44y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222
418440k x kmx m +++-= 所以2841
P Q km
x x k -+=
+， 令0y =可得B m
x k
=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +=
=-，所以21
A km x k -=+， 所以2
28411
P Q km m km
x x k k k --+=
=-+++， 整理可得：()()()2222
814121k k k k +=++，
所以221k =
，解得：k =， 因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+
距离d ，
所以m
m =，
因为0B m
x k
=->
，所以当k =
m =
k =
时，m =；
所以所求1l
的方程为y =
或y = 【点睛】
思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法
（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.
49．（1）2
214
x y +=；（2）最小值为2
，0x =
或0x +-=.
【分析】
(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；
(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】
（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，
又椭圆的离心率为c e a =
c =2221b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=；
（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=
1=，即221m k =+，
设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则22
1114
x y +=，即221114x y =-，
又2F ，
21|2|MF x =-
=12x -，
同理222NF x =
，于是得)22124MF NF x x +=+， 由22
14y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪
⎩消去y 得：()222
148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+， 又km <0，且2
2
1m k =+，因此得
1228||14km x x k +=+
令2411t k =+≥
，则12x x +=113t =，即t =3
时等号成立，
于是得22MF NF +
存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值
为2，
由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0
，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或k m ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
. 所以所求直线2l
的方程为y x =
y x =
0x =
或0x +=.
【点睛】
关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2
214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，.
【分析】
（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；
（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】
解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =
1
2=. 化简得22230x y x ++-=，即()2
214x y ++=. 故曲线C 是以
1,0为圆心，半径为2的圆.
（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：
由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，
则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).
设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，DP .
以线段DP 为直径的圆的方程为()2
2
212p x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝
⎭
， 整理得22230x y x py +---=①
(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上， 由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)： 设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .
由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)， 即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.
整理得()22
1111110x x y y x y x ++---=.
又22
111230x y x ++-=，
整理得()111130x x y y x +++-=.
同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，
所以()()1112
2231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪
⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨
+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .
由()22
40,14
x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()
22
168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122
816p
y y p +=+.
点N 纵坐标122
4216N y y p
y p +=
=+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，
所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.
(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，
因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，
由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).
所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，半径12r =.
因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，
所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，52EF =.
又圆心1,02G ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
到直线3460x y +-=
的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则
点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31
122
d r -=-=； 点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31
222
d r +=
+=(如图).
则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 155
2222S =⨯⨯=.
因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，.
【点睛】
设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论： 圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：2
00()()()()x a x a y b y b r --+--=， 圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022
x x y y
x x y y D E F ++++++= 椭圆22
221x y a b
+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；
双曲线22
221x y a b
-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；
抛物线2
2y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.
特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.
51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.
【分析】
（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；
（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；
（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解； 【详解】
解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P
①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，
则
OP =，解得1x =-，故()1,1P --.
（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l
的距离，故min PO ==
所以min 1PA =.
（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为
()2
2
2
2
000022224x x x x x y +----⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 化简得()22
0020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，
可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，
联立()0022
21,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222
000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫
⎪⎝⎭
，
可得Q 点轨迹为22
111448x y ⎛
⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，半径R =
.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.
故存在点11,44T ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，使得线段TQ 长为定值.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．
52．（1；（2）m = 【分析】
（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.
（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】
（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=， 即2 2 10x y ++=；
故圆
1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =
故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，
由22
,
1,
y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222
481840,m m m ∆=--=->
解得
m < 12x x m +=-，2121
,2
m x x -=
所以()()()2
12121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，
又()()22
11121211212113,,2
PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=
， 又22
111x y +=
故12121
2
x x y y +=-，
故()2
1212122
x x m x x m +++=-
， 将12x x m +=-，2121,2
m x x -=代入可得222
112m m m --+=-，
解得
m =又因为m <
所以2
m =± 【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.
53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小
【分析】
（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；
（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为
()()2
2
22
42224b b b x b y +-+⎛
⎫++-=
⎪⎝
⎭，化简为()()
222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知22
220
20
x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则
AB =.
【详解】
（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，
所以2MP =
=，
解得0b =或45
b =
， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()2
2
22
42224b b b x b y +-+⎛⎫++-=
⎪⎝⎭
， 即()()
22
2220x y b x y y -+++-=，
由22
22020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩
， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧
=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
（3）因为圆N 方程为()()2
2
22
42224b b b x b y +-+⎛
⎫++-=
⎪⎝⎭
， 即()22
2220x y bx b y b ++-++=①
又圆22:430M x y y +-+=①
①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．
点()0,2M 到直线AB
的距离d =
所以相交弦长AB =
= 所以当25b =时，AB
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1
）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】
（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ； （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线
CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP
为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】
（1）2AOB π
∠=
，∴点O 到l 的距离2
d r =，
k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=
同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，
所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=， 上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的， 所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，
则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220
x y y +=⎧⎨
+=⎩，解得1
1x y =⎧⎨=-⎩，
故直线CD 过定点(1,1)-.
解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=， 即：22(2)0x tx y t y -+--=， 又C 、D 在圆22:2O x y +=上，
两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨
+=⎩
，解得1
1x y =⎧⎨=-⎩，
故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】
本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析． 【分析】
（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；
（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2
2
2
1m k ≥+
，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】
设ABC 的外心为1O ，半径为R ，
则有22sin AB
R ACB
=
=∠，
所以1π
cos 13
OO R ==即1(0,1)O ，
设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠）， 由CH AB ⊥，则有0x x =，
由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，
所以有(220
(3(1)1
2x x x y y y y
y y
---=-
===-，
则有()2
2
0014x y ++=（02y ≠-），
所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）； （2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有
d =
所以||
DE==，
设()
11
,
P x y，()
22
,
Q x y，
联立
22
21
y kx m
x y
=+
⎧
⎨
+=
⎩
，有()222
2210
k x kmx m
+++-=，
所以()
22
4220
k m
∆=+->，
||
PQ==
由||2||
DE PQ
=，
可得
()()
()
()
()
2222
22
22
222
22
418141
(1)8
4
122
22
k m k k
m m
k k k
k k
+++
+
-=-≤-
+++
++
，
所以()
22
2
22
2
48(1)
21
2
m m
k k
k
+
+≤
++
+
，
即有
()()
()
222
2
2
22
4181
(1)
22
k k m
m
k k
++
+≤+
++
，
所以
()()
()
222
22
2
22
4181
22(1)
22
k k m
m m
k k
++
+--≥-
++
，
即
22222
22
2222
22
1(1)101
222
k k m k m
m m
k k k k
⎛⎫
-=-⇒-≥⇒≥+
⎪
+++
⎝⎭
又0
∆>，可得
2
21
2
k
m<+，
所以
2
2
2
11
2
k
k
+<+，解得22
k
>，
故||k>
56．（1）
2
21
2
x
y
+=；（2）10
x y
±-=.
【分析】
（1）利用22
sin cos1
θθ
+=求得点C的轨迹E的方程.
（2）设直线l的方程为1
x my
=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1
PQ
MN
=求得m的值，从而求得直线l的方程.
【详解】 （1）设(),C x y ，
则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即cos sin y
θθ⎧
=
⎪⎨
⎪=⎩， 所以2
212
x y +=，
所以E 的方程为2
212
x y +=.
（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，
()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .
联立2221,1
x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22
+2210m y my --=，
此时()
2
81m ∆=+0>，且12222m y y m +=
+，12
21
2
y y m =-+
又由弦长公式得
MN =
整理得22
1
2
m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以22
12p p x my m -=-=+，
所以2222
22
p m PQ x m ++=+，
所以1PQ
MN =， 所以21m =，即1m =±.
综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =， 此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】
求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。