复变函数积分变换复习题

复变函数及拉普拉斯变换复习题
一、选择题 1.复数z=
16258
25-i 的辐角为（ ）02-4 A.arctan 12
B.-arctan
12 C.π-arctan 1
2
D. π+arctan
12
2.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ） A.圆 B.直线
C.椭圆
D.双曲线
3.复数z=--355
(cos
sin )ππ
i 的三角表示式为（ ） A.-+3454
5(cos sin )ππi
B.3454
5(cos sin )ππ-i
C. 3454
5
(cos sin )ππ+i
D.--3454
5
(cos sin )ππi
4.设z=cosi ，则（ ）
A.Imz=0
B.Rez=π
C.|z|=0
D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4
B.24
01k k ππ
-=±⋅⋅⋅,,, C.
π4
D.24
01k k ππ
+
=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π
3
，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23
π
，0<|w|<4 B.0<argw<π
3
，0<|w|<4 C.0<argw<
23
π
，0<|w|<2
D.0<argw<
π
3
，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任
一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()
()-+⎰
1
等于（ ）
A.211πi
n f a n ()!
()()++
B.2πi n f a !()
C.2πif a n ()()
D.
2πi n f a n !
()()
9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C
()-+⎰
1
等于（ ）
A.1
B.2πi
C.0
D.12πi
10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dz
z C ||
⎰
等于（ ） A.0 B.2πi C.2π
D.-2π
11.设函数f z e d z
()=⎰ξξξ0
，则f(z)等于（ ）
A.ze z +e z +1
B.ze z +e z -1
C.-ze z +e z -1
D.ze z -e z +1
12.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C +⎰
1
2
等于（ ）
A.2+πi
B.2-πi
C.--2πi
D.-+2πi
13.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C
323++⎰
，其中C 为正向圆周|z -1|=2
B.e dz z C ⎰
，其中C 为正向圆周|z|=5
C.z
z
dz C sin ⎰
，其中C 为正向圆周|z|=1 D.
cos z
z dz C -⎰
1
，其中C 为正向圆周|z|=2 14．复数方程z=2+θi e (θ为实参数，0≤θ<2π)所表示的曲线为（ ）04-4 A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆
D ．抛物线
15．已知4z arg 2π
=，则argz=（ ） A ．8
π
B ．
4
π C ．
2
π
D ．π
16．Re(cosi)= （ ） A ．2
e e 1
-+
B ．2
e e 1--
C ．2e e 1+--
D ．2
e e 1--
17．设f(z)=(1-z)e -z ，则)z (f '=（ ）
A ．(1-z)e -z
B ．(z -1)e -z
C ．(2-z)e -z
D ．(z -2)e -z
18．设e z =i 31+，则Imz 为（ ）
A ．ln2
B ．3
2π C ．2k π,k=1,0±…
D ．
3
π
+2k π,k=0, 1±… 19．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰
=C dz z z
cos （ ） A ．i π
B ．2i π
C ．0
D ．1
20．设C 为正向圆周|z -1|=1，则积分dz )1z (2z 3z 5C
3
2⎰
-+-等于（ ）
A ．5i π
B ．7i π
C ．10i π
D ．20i π
21．设C 为正向圆周|ξ|=1.则当|z|>1时，f(z)==-ξ-ξξπ⎰
C
3
)z )(2(d i
21（ ）
A ．0
B ．1
C ．
3
)2z (2-
D ．
3
)2z (2--
22．设z=3+4i,，则Re z 2=( )05-4 A ．-7
B ．9
C ．16
D ．25
23．下列复数中，使等式z
1
=-z 成立的是( ) A ．z=e 2πi
B ．z=e πi
C ．z=i
2e π-
D ．z=i 43e π
24．设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A ．z=(1+i)t
B ．z=e it +2i
C ．z=t+t
i
D ．z=2cost+i3sint
25．下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0<|z-i|<1
B ．0<Imz<π
C ．|z-3|+|z+3|<12
D ．0<argz<4
3π
26．若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则f '(z)=( )
A ．y u i x u ∂∂+∂∂
B ．x v i y v ∂∂+∂∂
C ．
x
v i x u ∂∂-∂∂ D ．
x
v
i y v ∂∂-∂∂ 27．设f(z)=⎪⎩⎪
⎨⎧≠=-0z ,z
e 0
z ,A 1z 在整个复平面上解析，则常数A=( )
A ．0
B ．e -1
C ．1
D ．e
28．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b 为( ) A ．a=-1,b=1 B ．a=1, b=1 C ．a=-1,b=-1
D ．a=1,b=-1
29．设z 为复数，则e -iz =( ) A ．cosz+isinz
B ．sinz+icosz
C ．cosz-isinz
D ．sinz-icosz 30．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续，则下列式子错误．．的是( ) A ．⎰⎰=z
C
dz )z (f )z (g dz )z (f )z (g
B ．⎰
⎰
-
-
=C
C ,dz )z (f dz )z (f 其中C －
为C 的反向曲线
C ．⎰⎰⎰±=±C
C
C
dz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (
D ．
⎰⎰=C
C
dz )z (f 3dz )z (f 3
31．设C 为从-I 到I 的左半单位圆周，则⎰=C
dz |z |( )
A ．i
B ．2i
C ．-i
D ．-2i 32． 设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．
⎰-C dz 1
z z
B ．⎰
C 3zdz cos z
C ．⎰
C dz z
z sin
D ．
⎰
-C z
dz 3
z e 33．设D 是单连通区域，C 是D 内的正向简单闭曲线，则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )
A ．f(z)=
⎰
ζ-ζζπC d z )
(f i 21, z 在C 的外部 B ．f (n)(z)=
⎰
ζ-ζζπ+C 1n d )z ()
(f i 21，z 在C 的内部，n ≥2 C ．f (n)(z)=⎰
ζ-ζζπC n d )
z ()
(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 D ．f (n)(z)=
⎰
ζ-ζζπ+C 1
n d )z ()
(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 34．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z
z
+=_
，则a 2+b 2的值（ ）08-4 A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1
D ．大于1
35．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3
arg π
=
w B ．6
arg π
=
w
C ．6
arg π
-
=w
D ．3
arg π
-
=w
36．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 2
2ln π
+
C ．i 2
2ln π
-
D ．i i 2Arg 2ln +
37．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C
⎰
=（ ）
A ．i π6
B ．i π4
C ．i π2
D ．0
38．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e z
C
2
-⎰
=（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2π
D ．i e 22π-
39．设C 为正向圆周|z |=2，则
dz z e z z
C
4
)
1(++⎰
=（ ） A ．
i e
3π B ．e
6π
C ．ei π2
D ．
i e 3
π 40．设z =1-i ,则Im(21
z
)=（ ）09-4 A ．-1 B ．-
2
1 C ．
2
1 D ．1
41．复数z =i
i
-+23的幅角主值是（ ） A ．0 B ．4π C ．
2
π D ．
4
3π 42．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（ ）
A ．1-2πi
B ．)22(π
n π-i
C ．1+)i π(n π2
2-
D ．1+i π
(n π)2
2+
43．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（ ） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =1
44．积分⎰
=2i i
πz dz e （ ）
A ．)1(1
i +π
B ．1+i
C ．
πi
2
D ．
π
2
45．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰
-C dz z z 1
)
3/sin(2π=（ ） A ．i π2
3- B ．i π3- C ．
i π4
3 D ．
i π2
3
46．设C 是正向圆周3=z ，则
⎰
-
C
dz z z 3
)
2
(sin π
=（ ） A ．i π2- B ．i π- C ．i π
D ．2i π
47．拉普拉斯变换()[]()dt e t f t f L st ⎰=+∞-0
中的f(t)的自变量的范围是 （ ）
（A ）()+∞,0 （B ）[)+∞,0 （C ）()+∞∞-, （D ）()0,∞-
48．拉普拉斯变换()()dt e t f s F st ⎰=+∞
-0中的参数s 是 （ ）
（A ） 实变数 （B ）虚变数 （C ）复变数 （D ）有理数
49．若()[]()s F t f L =，那么()[]
=-t f e L at （ ）
（A ）()a s F - (B)()a s F + (C)()e s F as - (D)()a s F s
+1
50．若t ≥0时函数f(t)有拉氏变换()[]1=t f L ，则 （ ）
（A ）()()t u t f = （B ）()t t f = （C ）()()t t f δ= （D ）()1=t f 51．若()[]()s F t f L =，那么()[]=+a t f L （ ）
（A ）()s F e as - （B ）()s F e as （C ）()a s F e as -- （D ）()a s F e as +
52．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡t f t L 1（ ）
（A ）()s F '- （B ）()s F s 1
（C ）()ds s F s ⎰+∞ （D ）()ds s F s ⎰0
53．若()[]()s F t f L =，那么()[]='t f L （ ）
（A ）()s F ' （B ）()s sF （C ）()s F s ' （D ）()()0f s sF -
54．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰dt t f L t 0 （ ） （A ）()s F s 1
（B ）()ds s F s ⎰+∞ （C ）()ds s F s ⎰0
（D ）()s F s e -
55．若()[]()s F t f L =，当0>a 时，那么()[]=at f L （ ）
（A ）
()s F a 1 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 1 （C ）⎪⎭
⎫
⎝⎛a s aF （D ）()a s F - 56．若()[]()s F t f L =，且()()000='=f f ，那么()[]=''t f L （ ）
（A ）()s F s ' （B ）()s F '' （C ）()s F s 2 （D ）()s F s '2 二、填空题
1.复数z=4+48i 的模|z|= .
2.设z=(1+i)100，则Imz= .
3.设z=e 2+i ，则argz= .
4.f(z)=z 2
的可导处为 . 5.方程lnz=
π
3
i 的解为 . 6.设C 为正向圆周|z|=1，则
()1
z
z dz C +=⎰
. 7.设C 为正向圆周|z -i|=1
2
，则积分
e z z i dz z C
π()-=⎰
2
.
8.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=
sin
πζ
ζζ3-⎰
z
d C
，其中|z|<2，则'=f ()1 . 9．设i z 10
1
103+-=，则=_
z ____________.
10．方程i z 3
1ln π
+
=的解为____________.
11．设C 为从i 到1+i 的直线段，则
=⎰
zdz C
Re ____________.
12．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰
dz z z C 3_
)(____________.
13．设C 为正向圆周|z |=2，则
⎰
=-
C
dz z z 3
2)
2
(cos π
____________.
14．复数1i --的指数形式为__________.
15．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 16．区域0<arg z<
4
π
在映射w =z 3下的像为__________.
17．设C 为正向圆周,2=z 则
⎰
=-C z
dz z e 1
2__________. 18.若z 1=e 1+i π
,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.
19.若cosz=0，则z=________.
20.设f ′(z)=
⎰
==ζ<-ζζ
ζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2
________. 21．在复数域内，方程cosz=0的全部解为 。

22．设C 为自点z 1=-i 至点z 2=0的直线段，则⎰
=C
zdz .
23．设z=x+iy ，Re(ie z )= 。

24．若C 为正向圆周|z -3|=2，则
=+⎰
dz i
z 1
C . 25．f(z)在单连通区域
D 内解析，)z (Φ是f(z)的一个原函数，C 为D 内一条正向闭曲线，则
⎰
=ΦC
)n (dz )z ( .
26．arg(1+i)= .
27．设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为 . 28．设f(z)=ze z , 则=')z (f .
29．设函数f(z)在单连通区域D 内解析，且F(z)=⎰
ζζ0
z d )(f , 其中z,0D ∈, 则)z (F '= .
三、计算题
1.求u=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1.
2.计算积分I=
z z
z dz C
+⎰
||
的值，其中C 为正向圆周|z|=2. 3.计算积分I=
e z i z i dz z
C
π()()-+⎰
22
3的值，其中C 为正向圆周|z -1|=3.
4．设复数)
2)(1(--=
i i i
z
（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点.
5．设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线.
6．设)()(2
323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值.
7．设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=，
求),(y x v .
8．设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =
.)
(21
3
dz a z ze i
z
C
-⎰
π 9．将曲线的参数方程z =3e it +e -it （t 为实参数）化为直角坐标方程. 10．设C 是正向圆周⎰
+-=-C
z
dz z z e z .2
3,2
1
12计算
11．计算z =(1+i )2i 的值.
12．设v (x ,y )=arctan )(),0(z f x x y
>是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ).
13．设C 是正向圆周2=z ，计算.)
1(2
dz z z e I C
z
⎰
-=
14.计算复数z=327-的值.
15.已知调和函数v=arctg
x
y
,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 16.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.
17.求积分I=⎰
+C dz z i
的22值，其中C ：|z|=4为正向.
18.求积分I=⎰
+C z
dz )
i z (e 的42
值，其中C ：|z|=2为正向.
19．求出复数z=4)i 31(+-的模和辐角.
20．设z=x+iy ，满足Re(z 2+3)=4，求x 与y 的关系式.
21．设u=ax 3-3xy 2，v=3x 2y -y 3，z=x+iy.问当a 取何值时，v 是u 的共轭调和函数，并求出
以u 为实部的解析函数f(z). 22．求积分I=
dz z
3
z 2C ⎰
-的值，其中C 为从-2到2的上半圆周.
23．设C 为正向圆周|z|=R(R ≠1)，计算积分I=dz )
1z (ze C
3
z ⎰
-.
24．求方程cosz=5在复平面上的全部解.
25．讨论函数w=xy-x+iy 2的可导性，并在可导点处求其导数.
26．设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=3(2)z
C ze dz z -⎰ .
27．设C 为从0到1+2i 的直线段，计算积分I=⎰
C
zdz Re .
四、积分变换题
1、 利用拉氏变换解常微分方程初值问题：''-'+=='=-⎧⎨⎩y y y y y 210001,
(),().
2、 求函数2
22)4(4
)(-+=p p p F 的拉氏逆变换.
3、求函数t e t t f t 3sin 5)1(3)(22-++=的拉普拉斯变换.
4、.(1)求t e 的拉氏变换L [e t ];
(2)设F （s ）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L [y ″(t)]存在，且y(0)=0， y ′(0)=0，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)];
(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==+'-''.)(y ,)(y e y y y t
00002
5、(1)求
t
e
-的拉氏变换()F s ；
(2)设F(s)=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L [y ″(t)]存在，且y(0)=0， y ′(0)=1，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)]；
（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==-'+''-1)0(y ,0)0(y e 2y 3y 2y t
6. （1）求sint 的拉氏变换 [sint]；
（2）设F(p)= [y(t)]，若函数y(t)可导，而且y(0)=0，求 [)t (y ']；
（3）利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 ⎩
⎨
⎧==+'0)0(y t
sin y y 7．(1)求cost 的拉氏变换L [cost]
(2)设F(p)=L [[y(t)], 其中函数y(t)可导，而且y(0)=0.求L [[)t (y '].
(3)利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 ⎩
⎨⎧==-'0)0(y t cos 2y y
复变函数与拉普拉斯变换复习题参考答案
一、单项选择题
1.B
2.D
3.C
4.A
5.A
6.B
7.A
8.D
9.C 10.A 11.D 12.C 13.D 14.B 15.A 16. A 17.D 18.D 19. B 20. C 21. A 22. A 23.C 24. B 25. C 26. B 27. C 28.D 29. C 30.A 31. B 32.A 33.D 34.B 35.A 36.B 37.C 38.B 39.A 40.C
41.B 42.C 43.C 44.A 45.D 46.B 47.B 48.C 49.B 50.C 51.B 52.C 53.B 54.A 55.B 56.C
二、填空题
1. 8
2. 0
3. 1
4. z=0
5. z=1
2
133(),+i e i 或π
6. 4πi
7. -+2ππ()i
8. ππππ
23233i i ,cos 或⋅ 9.311010
i -
-
10.(
)
1311.ln 1cos sin 233322i e i z z e i e e ππππ+
⎛⎫⎛⎫+=+⇒==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为
11.1.2 因为设z x yi =+,则1
1
Re 2c zdz xdx ==⎰⎰
12.1i +.因为设cos sin z t i t =+,0,
2t π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,则 ()()()()()2
_
2
3
22
2
2
()cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos 1C z zdz t i t t t d t i t t i t t i t dt i
π
π
=-++=--+=+⎰⎰⎰
13.2.i π因为由高阶求导公式
()223
2
cos 122cos 2!
()2
C
z z dz i i z z ππππ
=
''=⋅
=-⎰
32i π-
322i
π⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭ 15. 32i - 16.30arg 4
w π
<<
17.22i e π.
18.若z 1=e 1+i π
,z 2=3+i ，则
z 1·z 2=(cos sin )(3)(3)3e i i ie i e ei ππ++=-+=-.
19.若cosz=0，则z=___2
k π
π+
_____.
20.设f ′(z)=⎰
==ζ<-ζζ
ζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2
________.
()()2e c o s
2(e c o s z )
()2e c o s z +C
z z
z f z i i f z i ζζπζππ='''==
⇒=⋅
21．() 0,1,2,2
k k k z ππ=+=±± , 22．1
2
.
23．sin x y e - 24．0 25．0 26．
4
π 27．()2
2
11x y -+= 28．()1z z e + 29．()f z -.
三、计算题
1.解1： ∂∂∂∂u x x y u
y
x y =+=-2222,,
由C -R 条件，有∂∂∂∂v y u x =，∂∂∂∂v x u
y
=-
， ∴ v v
y
dy x y dy xy y x ==+=++⎰
⎰
∂∂ϕ()()2222. 再由
∂∂ϕ∂∂v x y x x y u
y
=+'=-+=-
222()， 得'=-=-+ϕϕ(),(),x x x x C 22于是
∴ v=2xy+y 2-x 2+C. 由v(0,0)=1, 得C=1. 故v=2xy+y 2-x 2+1.
解2：v(x,y)=∂∂∂∂v x dx v
y
dy C x y ++⎰
(,)(,)00
=
()()(,)
(,)
222200y x dx x y dy C x y -+++⎰
=-x 2+2xy+y 2+C 以下同解1.
2.解1：
z z z dz zdz i i d C
C +==
⋅+-⎰⎰
⎰
||Re cos (cos sin )1
2
222θθθθπ
π
=4i (cos ).1240
+=⎰
θθππ
d i
解2：z z z z dz e e ie d C i i i ||||+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=
+
⎛⎝
⎫⎭
⎪⎰⎰
-22
2220
2θ
θπθ
θ =2i(2π+0)=4πi.
3.解：因在C 内f(z)=
e z i z i z
π()()-+22
3有二阶极点z=i ，所以
f z dz i d
dz
z i f z z i C
()!lim[()()]=
-→⎰
212π =23232
3
ππππi e z i e z i z i
z z lim[
()
()
]→+-
+
=
π
π16
12().-+i 4．解：
1331
(1) , Re ,Im 1310101010
(2) i z z z i z =
=-+=-=-=
（3）在第二象限。

5
1x =
化简为2
12x y =-，是一条抛物线。

6．解：设()()2
3
32,, ,u x y a bx v x y c y y y x x =+=+
223, 2u u a b bxy y x x y ∂∂=+=∂∂
222, 3v v cxy c y x x y
∂∂==+∂∂ 由C-R 条件得：22
22
3322a b c y y x x cxy bxy
⎧+=+⎪⎨=-⎪⎩
从而得33a c b b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得1
33a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
7．解：由C-R 条件得
22u v
x y x y
∂∂=--=∂∂
则()()2
,2v v x y dy xy x y y ϕ∂=
=--+∂⎰
同理
()222u v
y x y x y x
ϕ∂∂'=-=-=-∂∂ 则()()22, x x x c x ϕϕ'==+ ()2
2,2v x y xy c y x =--+
8．解：令()z f z z e =，由高阶导数公式得原积分 ()()()1
1
2222
2!
a z a z a
f z z J a z e e ==''=
==++ 9．解：设z x yi =+，
()()()3cos sin cos sin 4cos 2sin z t i t t i t t i t =++-+-=+⎡⎤⎣⎦ 则4cos , 2sin x t y t ==
所以曲线的直角坐标方程为
2
2
1164
y x
+= 10．解：()()()1
/2221212z
z
c c
z z z e e
e J dz dz i ei z z z z ππ=-====-----⎰⎰
11．解：
()(
)
22ln 12241i
i i i i n z i e
e
ππ⎡⎤⎛
⎫++ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣
⎦=+==
2224ln2
42n i n i e
e
ππππ⎛
⎫⎛
⎫-++-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭== ()()42cos ln 2sin ln 2n i e
ππ⎛
⎫-+ ⎪
⎝
⎭=+⎡⎤⎣⎦（n 是整数）
12．解：设()()(),,f z u x y v x y =+，则由C-R 条件得
()2222,0v y v x
x x y y y
x x ∂∂=-=>∂∂++ ()()()
()222
21
,ln 2
x u x y dx y y y x y x ϕϕ=
+=+++⎰
()2222
u y v y
y y x y y
x x ϕ∂∂=+=-=∂∂++
()()0,y y c ϕϕ'==
所以 ()()
221
,ln 2
u x y c y x =
++ ()()
()
221ln arctan 02 =ln z arg ln y
f z c i x y x x
i z c z c
=+++>++=+ 13．解：作正向圆周1211:,:1,33
z z C C =
-=则 ()()12
2211z
z
e e J dz dz z z z z c c =+--⎰⎰
21
11221!1!1z z z z e e i i z z ππ=='
⎛⎫
⎛⎫
=+ ⎪
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭
()()()0
1222221z z z z e e i
ei e i z πππ=--=+=-- 14.计算复数z=327-的值.
23
3
533
(0,1,2)
33,(0)2233,(1)33,(2)2k i
i i
i
z e k e k e k e k ππ
πππ+=
=
==⎧=+=⎪
⎪⎪==-=⎨⎪⎪=-=⎪⎩
15.已知调和函数v=arctg
x
y
,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 222
22222222
2(,)1
,11()1()ln ||x y x x y x y
v x y arctg
x
y y x x x v v x y x y y y x x x y
f z u iv v iv i
x y x y x iy z f z z C z z z z
=-
-⇒====++⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-'⇒=+=+=+++-===⇒=+⋅ 解：
16.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.
2222
,222222221
x y y x u x axy by v x xy y
u v x ay x y a u v ax by x y b =++=-++=⇒+=+⇒==-⇒+=-⇒=-
17.求积分I=
⎰
+C
dz z i 的2
2
值，其中C ：|z|=4为正向.
212222C C C z C i I dz z i i i i ππ===++=+=-=⎰⎰⎰ 为被积函数在内的奇点，如右图
18.求积分I=⎰
+C z
dz )
i z (e 的42
值，其中C ：|z|=2为正向.
()242
2
211(cos sin )
3!3322()2
i
z z C i z i
z C e i i i I dz e e i i z πππ-=-=-'''====-+⎰ 为被积函数在内唯一的奇点，
19．求出复数z=4)i 31(+-的模和辐角. 解:23
12i e
π-+=, 824
33(1)1616i i e e π
π
-+==
216, a r g 3
z z
π
== 20．设z=x+iy ，满足Re(z 2+3)=4，求x 与y 的关系式. 解: z x iy =+,()
(
)
2
22Re 3Re 324xyi y x z +=-++= 即2
2
2234, 1y y x x -+=-=
21．设u=ax 3-3xy 2，v=3x 2y -y 3，z=x+iy.问当a 取何值时，v 是u 的共轭调和函数，并求出
以u 为实部的解析函数f(z). 解:由C-R 条件,
u v x y
∂∂=∂∂,有22
223333a y y x x -=-,得1a = 所以()(
)2
3
323
333f z u iv x i y y y x x z =+=-+-=
22．求积分I=
dz z
3
z 2C ⎰
-的值，其中C 为从-2到2的上半圆周.
解:由已知有()22cos sin i z i e θθθ==+
()0
234cos 4sin 383C z dz i i d i z π
θθθπ-=+-=+⎰⎰
23．设C 为正向圆周|z|=R(R ≠1)，计算积分I=
dz )
1z (ze C
3
z ⎰
-.
解:当1R <时,函数3
(1)
z
ze z -在全平面解析, 30(1)z
C ze dz z =-⎰
当1R >时, ()()()
3
1
1
2232(1)z
C z z ze z z
dz i i e i ze z e z πππ==''===+-⎰
24．求方程cosz=5在复平面上的全部解.
解:由欧拉公式知cos 52
iz iz
e e
z -+=
= 即()
2
1010iz
iz e e -+=
解得5iz e =±
(
(
)
(()l n 5622l n 2
6 0,1,2,
z i k i k i k ππ=-±+
=
+=±± 25．讨论函数w=xy-x+iy 2的可导性，并在可导点处求其导数. 解:2
, ,u xy x v y =-=则
1, , 0, 2
u u v
v
y x y x y x y
∂∂∂∂=-===∂∂∂∂ 以上导数均在全平面解析,由C-R 条件有 120
01
y y x x y -==⎧⎧⎨
⎨
==-⎩⎩得 所以,函数W 只在z i =-处可导,且导数为 2z i
u v w i x x =-∂∂⎡⎤
'=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦
26．设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=3(2)z
C ze dz z -⎰ .
解:()z f z z e =在21z -<解析,由高阶导数公式有
()()[]
2332
2
2!24222!(2)(2)z z
z z
C C z z ze ze i dz dz i i i z e z e e i z z πππππ==⎡⎤''====+⎢⎥--⎣⎦⎡⎤⎰⎰⎣
⎦
27．设C 为从0到1+2i 的直线段，计算积分I=⎰
C
zdz Re .
解:直线方程为()12, 01z i t t =+≤≤
()1
1
R e 122C z d z t i d t i
=⋅+=+⎰⎰
四、积分变换题
1、 解：设()()L y t F s =⎡⎤⎣⎦，将方程两边取拉氏变换
()()()()()()
()2
2
11
12111
111111t
F s sF s F s s s
s F s s s s s y t e
L s s -+-+=
--=
⋅=--⎡⎤=-=-⎢⎥-⎣⎦
2、()()()221
22111111222
222t t
y t t t e e L s s --⎡⎤=⋅+⋅=+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 3、()()33
2
66
315
29
F s s s
s s =
+++++ 4、（1）1()1
F s s =
- （2）()()()()2;L y t sF s L y t F s s '''==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
（3）设()()L y t F s =⎡⎤⎣⎦，将方程两边取拉氏变换
()()()()()
()()2
3
21
3121
1
111
2
1t
F s sF s F s s s F s s y t t e L s --+=
-=
-⎡⎤==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
5、(1)()11
F s s =
+ (2) ()()()()2
;1L y t sF s L y t F s s '''==-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
(3) 设()()L y t F s =⎡⎤⎣⎦，将方程两边取拉氏变换
()()()()()2
12
1231
1111
2121
11
1111212122t t F s sF s F s s s F s s s y t e e L s s ---+-=
+=-
++-⎡⎤=-+=-+⎢⎥+-⎣⎦
6. （1）求sint 的拉氏变换 [sint]；
（2）设F(p)= [y(t)]，若函数y(t)可导，而且y(0)=0，求 [)t (y ']； （3）利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 ⎩
⎨
⎧==+'0)0(y t
sin y y 解:(1)[]2
1
sin 1L t p
=
+ (2)()()L y t pF p '=⎡⎤⎣⎦
(3)对微分方程两边做拉氏变换,得()()2
1
1pF p F p p
+=
+ 解之,得()()
()22
1
11121111p F p p p p p ⎡⎤-==-⎢⎥++++⎣
⎦ 取拉氏逆变换得()1cos sin 2
t
y t t t e -=
-+⎡⎤⎣⎦ 7．(1)求cost 的拉氏变换L [cost]
(2)设F(p)=L [[y(t)], 其中函数y(t)可导，而且y(0)=0.求L [[)t (y '].
(3)利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 ⎩
⎨⎧==-'0)0(y t
cos 2y y
解:(1)[]2
cos 1p
L t p
=
+ (2)()()
()L y t pF p '= (3)对方程作拉氏变换,有 ()(
)2
21p
p F p F p p
-=
+ 解得()()
()
22
21111
11p
p F p p p p p
-=
=
--++-
所以()()1cos sin t
y t F p t t e L -==-+⎡⎤⎣⎦。