安徽省亳州市完全中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析

安徽省亳州市完全中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 记，，则＝（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
C
2. 下列说法中:①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；
③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行.其中正确的说法个数为【】
A. B. C. D.
参考答案：
B
3. 设a=log410，b=log23，c=20.5，则（）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞b＞a
参考答案：
C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=log410=＞b=log23＞=1.5，
c=20.5=，
∴a＞b＞c．
故选：C．
4. A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（）
A、钝角三角形
B、锐角三角形
C、等腰三角形
D、等边三
角形参考答案：
解析：A
由韦达定理得：
在中，
是钝角，是钝角三角形。

5. 已知数列{a n}的通项公式，前n项和为S n，若，则的最大值是（）
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
参考答案：
B
【分析】
将{a n}的通项公式分解因式，判断正负分界处，进而推断的最大最小值得到答案.
【详解】数列{a n}的通项公式
当时，当或是
最大值为或
最小值为或
的最大值为
故答案为B
【点睛】本题考查了前n项和为的最值问题，将其转化为通项公式的正负问题是解题的关键.
6. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )
A．①②B．②③C．③④D．①④
参考答案：
B
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时
需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．
解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；
②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；
③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；
④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．
故选B．
点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件
7. 已知定义在R上的可导函数满足：当时，；当时，
．则下列结论：
①②③④其中成立的个数是
（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
D
8. 已知函数为奇函数，且当时，，则= （）
A.2
B.1
C.0
D.-2
参考答案：
D 9. 函数的定义域为
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
D
10. （5分）函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）
A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）
参考答案：
C
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：确定f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）
=e+4﹣3=e+1＞0，根据零点存在定理，可得结论．
解答：∵函数f（x）=e x+4x﹣3在R上是增函数，
求f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，
∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是（，）
故选：C．
点评：本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的值域是，那么函数的定义域是
.
参考答案：
略
12. 已知函数f
（x ）=则f （﹣1）= ；f（2）= ；f （log23）= ．
参考答案：
,1,.
【考点】分段函数的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数直接求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=，
则f（﹣1）=2﹣1=．
f（2）=f（1）=f（0）=20=1；
f（log23）=f（log23﹣1）=f（log2）==．
给答案为：；1；．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
13. 若log a（3a﹣2）是正数，则实数a的取值范围是．
参考答案：
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．
【分析】对底数a分类讨论结合对数函数的单调性可得a的不等式组，解不等式组综合可得．
【解答】解：由题意可得log a（3a﹣2）是正数，
当a＞1时，函数y=log a x在（0，+∞）单调递增，
则3a﹣2＞1，解得a＞1；
当0＜a＜1时，函数y=log a x在（0，+∞）单调递减，
则0＜3a﹣2＜1，解得＜a＜1；
综上可得实数a的取值范围为：
故答案为：
【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及分类讨论的思想，属基础题．
14. 函数的最小正周期为★；
参考答案：
15. 下列四个命题中
①“”是“函数的最小正周期为”的充要条件；
②“”是“直线与直线相互垂直”的充要条件；
③ 函数的最小值为
其中假命题的为（将你认为是假命题的序号都填上）
参考答案：
①，②，③解析：①“”可以推出“函数的最小正周期为”
但是函数的最小正周期为，即
② “”不能推出“直线与直线相互垂直”
反之垂直推出；③ 函数的最小值为
令
16. 已知幂函数，若，则的取值范围是
参考答案：
(3,4)
17. 已知一个球的表面积为，则这个球的体积为。

参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某赛季甲、乙两位运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示.
（1）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； （2）试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两位运动员的测试成绩进行分析.
参考答案：
（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(x ，y )表示基本事件， 则从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，共包含以下基本事件： (79，75)，(79，83)，(79，84)，(79，91)，(79，92)， (82，75)，(82，83)，(82，84)，(82，91)，(82，92)， (85，75)，(85，83)，(85，84)，(85，91)，(85，92)， (88，75)，(88，83)，(88，84)，(88，91)，(88，92)， (91，75)，(91，83)，(91，84)，(91，91)，(91，92)， 基本事件总数n ＝25，
设“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A ，则事件A 包含以下基本事件： (79，75)，(82，75)，(85，75)，(85，83)，(85，84)，
(88，75)，(88，83)，(88，84)，(91，75)，(91，83)，(91，84)， 事件A 包含的基本事件数m ＝11，
所以P (A )＝
＝
．
（Ⅱ）
甲
＝(79＋82＋85＋88＋91)＝85；
乙
＝ (75＋83＋84＋91＋92)＝85
甲得分的方差
s ＝ [(79－85)2＋(82－85)2＋(85－85)2＋(88－85)2＋(91－85)2)]＝18；
乙得分的方差
s ＝
[(75－85)2＋(83－85)2＋(84－85)2＋(91－85)2＋(92－85)2)]＝38．
从计算结果看，甲
＝
乙
，s ＜s ，所以甲、乙两位运动员平均水平相当，甲运动员比乙运动员发挥稳
定．
19. 销售甲、乙两种商品所得利润分别是y 1、y 2万元，它们与投入资金x 万元的关系分别为
，y 2=bx ，（其中m ，a ，b 都为常数），函数y 1，y 2对应的曲线C 1、C 2如图所示．
（1）求函数y 1、y 2的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
参考答案：
解：（1）由题意
，解得
，
又由题意得（x≥0）
（2）设销售甲商品投入资金x 万元，则乙投入（4﹣x ）万元 由（1）得
，（0≤x≤4）
令，则有=，，
当t=2即x=3时，y取最大值1．
答：该商场所获利润的最大值为1万元
略
20. 已知函数
（1）当时，求函数在上的最值；
（2）若函数在上的最大值为1，求实数的值.
参考答案：
（1）当a=1时
（2）对称轴
21. 某企业生产的某种产品，生产总成本（元）与产量x（吨）（）函数关系为
，且函数是[0,80]上的连续函数
（1）求a的值；
（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？
参考答案：
(1) ；(2) 当产量吨，平均生产成本最低.
【分析】
（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．
【详解】（1）设，
由函数是上的连续函数.
即，代入得
（2）设平均生产成本为，
则
当中，，函数连续且在[0,25]单调递减，单调递增
即当，元
当，，由，当且仅当取等号，即当，元
综上所述，当产量吨，平均生产成本最低.
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.
22. （10分）已知函数f（x）=|x2﹣x|﹣ax．
（Ⅰ）当a=时，求方程f（x）=0的根；
（Ⅱ）当a≤﹣1时，求函数f（x）在，上的最小值．
点评：本题考查函数的单调性以及最值问题，培养了学生的分类讨论的思想，属于中档题参考答案：
考点：幂函数图象及其与指数的关系；函数的最值及其几何意义．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）根据解方程的方法解方程即可
（Ⅱ）先化为分段函数，在分类讨论，根据函数的单调性求出最值
解答：（Ⅰ）当a=时，由f（x）=0，得）=|x2﹣x|﹣x．
显然，x=0是方程的根，当x≠0时，|x﹣1|=，x=或．
所以，方程f（x）=0的根0，=或．
（Ⅱ）f（x）=
当a≤﹣1时，函数y=﹣x2+（1﹣a）x的对称轴x=≥1，所以函数f（x）在（0，1）上为增函
数，结合函数y=x2﹣（a+1）x的对称轴x=≤0，可知函数f（x）在（﹣∞，]上为减函数，在
上是单调递增函数，f（x）的最小值为f（﹣2）=2a+6，
（2）当，即﹣5＜a≤1时，
函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
f（x）的最小值为f（）=﹣．…（9分）
综上所述，函数f（x）的最小值min=。